函数形式与结构变化

在前面我们主要关注标准的线性回归模型，假设变量之间存在简单的线性关系。但现实经济世界远比这复杂得多。当你正在研究中国房地产市场，发现房价与面积的关系并非简单的线性关系——小户型的单价往往更高，而超大户型可能存在折价。又或者，你在分析中国经济增长时发现，2008年金融危机前后的经济运行机制发生了根本性变化。

函数形式与结构变化的研究帮助我们构建更贴近现实的经济模型，捕捉经济关系中的非线性特征和时间变化，从而提高模型的解释力和预测精度。

在经济建模中，许多复杂关系可以通过变量变换和灵活的模型设计来捕捉，同时保持参数的线性可解释性。实际应用中，像二元变量、非线性模型、经济结构变化等方法为分析和理解经济现象提供了丰富的工具。通过这些技术，研究者能够有效评估政策干预的效果，例如“家电下乡”政策对农村消费的影响，或是理解互联网行业在不同阶段中显现出的网络效应等非线性特征。同时，这些方法也有助于揭示重大事件（如COVID-19疫情）对经济结构的冲击，进一步分析消费模式的转变。另外，灵活的建模还能用于比较城乡等不同群体之间的行为差异，加深对经济运行机制的认识。

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二元变量

二元变量的基本概念

二元变量（也称为虚拟变量或哑变量，Dummy Variable）是回归分析中用于处理质性（分类）因素的最重要工具之一。它只取 $0$ 或 $1$ 两种数值：$1$ 表示某种特征的存在或属于某个群体，$0$ 则表示特征不存在或不属于该群体。

想象你是一位人力资源专家，正在分析员工薪酬结构的影响因素。除了教育年限、工作经验等数量化的数据外，性别、是否有子女、是否担任管理岗位等质性因素同样会对薪酬产生显著作用。二元变量的引入，使得“是/否”类的信息能够被纳入量化统计分析之中。

假设变量 $D$ 表示是否有子女，则变量定义为：

$$D = \begin{cases} 1, & \text{有18岁以下子女时} \\ 0, & \text{没有18岁以下子女时} \end{cases}$$

二元变量在收入方程中的应用

我们以中国已婚女性收入的实证研究为例，来理解二元变量的实际作用。考虑如下对数线性模型：

$$\ln(\text{收入}) = \beta_1 + \beta_2 \cdot \text{年龄} + \beta_3 \cdot \text{年龄}^2 + \beta_4 \cdot \text{教育年限} + \beta_5 \cdot D_{\text{有子女}} + \varepsilon$$

其中 $D_{\text{有子女}}$ 是二元变量，有18岁以下子女时取 $1$，否则取 $0$。

对 $428$ 个观测的估计结果如下：

有子女系数的经济含义：在对数线性模型中，二元变量的系数 $\beta$ 反映了有无该特征导致的对数差异。以此例为例，$\beta_5 = -0.351$，表示有18岁以下子女女性的收入相比无子女女性的对数平均差为 $-0.351$。

准确解释其百分比影响时，需要做如下转换：

$$\text{相对变化} = 100\% \times [\exp(\beta_5) - 1] = 100\% \times [\exp(-0.351) - 1] \approx -29.6\%$$

也就是说，有子女的女性收入低约 $30\%$。当系数较小（如绝对值 $<$ 0.1）时，通常直接用系数近似为百分比变化，但系数较大时，建议采用指数变换计算更为准确。

艺术品签名的价值研究

二元变量的另一个经典应用，是揭示特定特征（如艺术家签名）对市场价值的因果效应。以莫奈画作拍卖为例，回归模型如下：

$$\ln(\text{价格}) = \beta_1 + \beta_2 \cdot \ln(\text{面积}) + \beta_3 \cdot \text{长宽比} + \beta_4 \cdot D_{\text{签名}} + \varepsilon$$

其中 $D_{\text{签名}} = 1$ 表示画作有艺术家签名，$0$ 表示无签名。

模型估计结果汇总如下：

签名效应的经济解释：

• $\beta_4 = 1.255$，意味着有签名画作的价格高出无签名画作： $$100\% \times [\exp(1.255) - 1] \approx 251\%$$ 即有签名画作平均售价为无签名的 $$ 倍。

多分类变量的处理

若定性因素不是简单二选一（如类型、地区分组），则需引入多个二元变量。例如，电影票房的研究模型如下：

$$\ln(\text{票房}) = \beta_1 + \beta_2 \cdot \text{预算} + \beta_3 \cdot D_{\text{动作片}} + \beta_4 \cdot D_{\text{喜剧片}} + \beta_5 \cdot D_{\text{动画片}} + \beta_6 \cdot D_{\text{恐怖片}} + \varepsilon$$

每个$D$变量为相应类型时取$1$，否则为$0$，其余未列明的影片类型作为基准组。

统计结果举例如下：

注：票房效应按 $100\% \times [\exp(\text{系数})-1]$ 精确化。

关于“虚拟变量陷阱”应警惕： 设分类变量总共有 $K$ 个类别，只能包含 $K-1$ 个虚拟变量（或含 $K$ 个变量但去掉常数项）。在本电影研究中，总共有 13 类，模型只设 4 个变量，剩余 9 类自动归入基准组。如果错误地加入全部13个虚拟变量，每个样本观测的虚拟变量之和恒等于1，与常数项完全共线，导致矩阵不可逆。

季节调整的应用

在宏观分析中，二元变量的另一典型作用是季节调整。例如季度消费函数建模：

$$C_t = \beta_1 + \beta_2 \cdot \text{收入}_t + \delta_1 \cdot D_{\text{春季}} + \delta_2 \cdot D_{\text{夏季}} + \delta_3 \cdot D_{\text{秋季}} + \varepsilon_t$$

其中 $D_{\text{春季}}, D_{\text{夏季}}, D_{\text{秋季}}$ 等为季度虚拟变量，$D=1$时表示属于该季度，否则为。冬季被省略，作为基准组。

这种设置等效于：先剔除（调整）季节性波动，再分析消费和收入的基本关系，大幅提高模型拟合与解释能力。通过二元变量建模季节变动后，可以更清楚观察经济变量之间真实的因果关系。

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处理变量间的非线性关系

在实际经济建模中，很多变量之间的关系往往不是简单的线性函数，往往会呈现出阈值、弹性、递增/递减甚至相互作用等非线性特征。我们可以通过多种方法刻画这种非线性，包括分段线性回归、对数线性模型、半对数模型以及交互效应建模。下面分别介绍这些经典方式。

分段线性回归

现实中的经济关系经常存在阈值效应。例如，个人收入与年龄的关系在不同年龄段可能截然不同：$18$岁前主要是零或极低收入，$18$-$22$岁期间（即高中毕业后至大学毕业）收入快速增长，$22$岁以后进入稳定增长期。此时，**分段线性回归（piecewise linear regression）**能够很好地刻画这些结构性变化。

分段线性模型可设为：

$$\text{收入} = \beta_1 + \beta_2 \cdot \text{年龄} + \delta_1 d_1(\text{年龄}-18) + \delta_2 d_2(\text{年龄}-22) + \varepsilon$$

其中：

• $d_1 = 1$ 当$\text{年龄} \geq 18$，否则为$0$
• $d_2 = 1$ 当，否则为

每一段的斜率含义如下：

• $16\leq\text{年龄}<18$，斜率为 $\beta_2$
• $18\leq\text{年龄}<22$，斜率为 $$

实际建模时，这种方法可以在保证函数连续的前提下灵活处理区间内斜率变化，广泛应用于收入、教育、消费等存在“临界点”现象的经济变量研究中。

分段线性回归不仅适用于上述年龄-收入问题，也可以用于识别政策实施前后、危机发生点、或市场准入门槛等产生结构性变化的经济现象。例如，最低工资法实施前后工资分布、房地产限购政策前后房价走势等等，都可以应用此法。

对数线性模型

对数线性模型（log-log model）在经济学中极为重要，因为它能够直接反映弹性。其基本形式为：

$$\ln(y) = \beta_1 + \beta_2 \ln(x_1) + \beta_3 \ln(x_2) + \varepsilon$$

其中，$\beta_2$ 是 $y$ 对 $x_1$ 的弹性（elasticity）。也就是说，当$x_1$ 增加 时， 的平均变化为 ，具有非常直观的经济解释。因此对数-对数模型在需求、供给、成本、生产、消费等领域极为常用。

中国能源消费弹性分析
能源需求模型写作：

$$\ln(\text{能源消费}) = \beta_1 + \beta_2 \ln(\text{能源价格}) + \beta_3 \ln(\text{收入}) + \beta_4 \cdot \text{时间趋势} + \varepsilon$$

假设回归获得以下估计结果：

• 价格弹性：$\beta_2 = -0.3$ （说明能源价格每上升$1\%$，能源消费下降$0.3\%$，为缺乏弹性的需求）
• 收入弹性：$\beta_3 = 0.8$（说明收入每增加，能源消费增长，体现能源为必需品）

这些结论说明：调节能源需求，收入增长的作用更大，结构调整和技术进步则能有效控制能源消耗总量。这些信息对能源政策制定具有重要的指导意义。

对数线性模型还具有使序列稳定、缓解异方差性、减弱极端值影响等优点，因此在计量经济学和实证分析中非常常见。

半对数模型

半对数模型（semi-log model）常用于分析增长率，设有两种形式。最常见的一种是自变量为线性，因变量取对数：

$$\ln(y) = \beta_1 + \beta_2 x + \varepsilon$$

此时$\beta_2$ 的经济含义是$x$每增加1单位，$y$的平均增长率为$\beta_2 \times 100\%$。这种结构特别适用于分析时间趋势、分析政策效应等。

中国GDP增长趋势
设有模型：

$$\ln(\text{GDP}) = \beta_1 + \beta_2 \cdot \text{年份} + \varepsilon$$

如果$\beta_2 = 0.08$，则说明中国GDP年均增长率为$8\%$。半对数模型相当于隐含一个指数趋势，即假设增长率是恒定的，非常适合初步描述长期增长过程。

扩展：

• 若发现某时期增长率有突变，可以考虑引入分段线性、交互项、虚拟变量等方法来允许不同时期（如改革开放前后）有不同的增长率。
• 另一种半对数模型为 $y = \beta_1 + \beta_2 \ln(x) + \varepsilon$，这种形式常见于需求函数的估算，$\beta_2$是每变动1%，的绝对变动量。

交互效应

在实际经济活动中，一个变量的影响往往依赖于另一个变量的水平。**交互项（interaction term）**能够捕捉这种“相互作用”的现象。例如：

$$\text{制动距离} = \beta_1 + \beta_2 \cdot \text{速度} + \beta_3 \cdot \text{路面湿度} + \beta_4 \left(\text{速度} \times \text{路面湿度}\right) + \varepsilon$$

在该模型下，速度系数的边际效应不再恒定，而是随着路面湿度的不同而变化。具体地：

• 速度对制动距离的边际效应：$\frac{\partial \text{制动距离}}{\partial \text{速度}} = \beta_2 + \beta_4 \cdot \text{路面湿度}$

实际应用举例：

• 在工资回归中，性别与教育年限的交互项可用于检验教育对不同性别群体工资回报是否存在差异。
• 在政策评估中，“政策实施”与“地区”或“行业”交互项可以考察政策效应的异质性。

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识别和处理非线性关系

多项式回归

在实际建模过程中，我们经常会发现变量之间的关系并不是线性的。这时，多项式回归是一种直观且常用的方法。它通过向回归模型中添加自变量的平方项、立方项等高阶幂，可以灵活捕捉变量之间的曲线关系。例如：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \beta_3 x^3 + \cdots + \epsilon$$

电力行业的成本函数研究

让我们通过电力行业的案例，体会多项式回归的实际意义：Nerlove 对美国 145 家电力公司成本函数做了深入分析，发现简单对数线性模型难以完全解释数据特征。

简单对数线性模型：

$$\ln(\text{成本}) = \beta_1 + \beta_2 \ln(\text{产出}) + \beta_3 \ln(\text{劳动价格}) + \beta_4 \ln(\text{资本价格}) + \varepsilon$$

在用该模型进行残差分析时，发现残差图呈现明显的非随机性模式，暗示模型遗漏了某些关键的非线性特征。

如上图所示，残差呈现明显的“U 型”系统性模式，说明模型少考虑了某一类非线性结构。

改进的二次对数模型：

$$\ln(\text{成本}) = \beta_1 + \beta_2 \ln(\text{产出}) + \beta_3 [\ln(\text{产出})]^2 + \beta_4 \ln(\text{劳动价格}) + \beta_5 \ln(\text{资本价格}) + \varepsilon$$

引入二次项后，模型性能明显提升。从下表可以看出：

例如，二次项的 $t$ 检验为：

$$t = \frac{0.051}{0.0054} = 9.44$$

高度显著，表明二次项不能忽略。

规模经济的分析：

在二次模型下，产出的弹性为：

$$\frac{\partial \ln(\text{成本})}{\partial \ln(\text{产出})} = 0.152 + 2 \times 0.051 \times \ln(\text{产出})$$

• 当弹性 $< 1$ 时，存在规模经济（生产越多，成本增加相对较慢）
• 当弹性 $= 1$ 时，规模报酬不变
• 当弹性 $> 1$ 时，规模不经济

最小成本点的计算如下：

$$\ln(\text{产出}) = \frac{1-0.152}{2 \times 0.051} = 8.31 \implies \text{产出} = e^{8.31} \approx 4079$$

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内在线性模型

有些表面看似非线性的模型，实际上可以通过变量变换转化为线性回归形式，这类模型称为内在线性模型（intrinsically linear models）。这样，我们就可以用最小二乘法进行线性回归估计，优化效率并方便解释。

CES 生产函数举例

原始 CES（常弹性替代）生产函数形式如下：

$$\ln(y) = \ln(\gamma) - \frac{\nu}{\rho} \ln\left[\delta K^{-\rho} + (1-\delta) L^{-\rho}\right] + \varepsilon$$

通过泰勒级数展开和变量转化，可近似为：

$$\ln(y) = \beta_1 + \beta_2\ln(K) + \beta_3\ln(L) + \beta_4[\ln(K/L)]^2 + \varepsilon$$

其中参数间有如下转换关系：

函数形式的选择策略

在实际的经济建模过程里，决定采用何种函数结构需兼顾数据特性和理论预期。常见的考虑因素可以归纳为下表：

选择函数形式的系统步骤

提示：函数形式选择应综合运用理论分析、可视化和统计检验，避免单一依据带来的偏误。

标准化回归

在比较多个自变量对因变量的影响强度时，由于各变量量纲和尺度不同，使用原始回归系数直接比较容易产生误导。标准化回归可以解决这个问题。

标准化变量定义：

$$x^* = \frac{x - \bar{x}}{s_x}$$

即将每个自变量减去其均值再除以其标准差。经过标准化后的回归系数，其含义是：当解释变量增加一个标准差时，因变量平均变化多少个标准差。

中国消费函数的标准化回归分析

下表根据对中国消费函数的实证分析，展示各变量标准化后的影响排序：

从标准化系数可以看出，收入是影响消费的最核心因素，其次为财富，而利率和通胀预期影响相对较小。

标准化回归允许我们跨变量、跨模型地比较影响力，是解释多元回归结果时非常实用的工具。

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结构变化的检验与处理

结构变化的经济背景

在现代经济系统中，经济结构并不是静态的，而是会随着时间、政策和外部冲击而发生实质性变化。所谓“结构变化”，本质上是指变量之间的关系（如回归方程的系数）在特定时点或群体之间发生了显著改变。

举例来说：

时间序列中的结构断点：

• 1978年中国改革开放，$GDP$增长模式发生转折
• 2008年金融危机对全球贸易和信贷体系的剧烈冲击
• 新冠疫情（COVID-19）对消费习惯和供应链结构带来的根本性影响

截面数据中的群体异质性：

• 城乡居民消费、储蓄与投资行为的差异
• 不同收入阶层的消费倾向和风险偏好
• 不同地区经济发展模式与政策响应的差异

因此，在实证分析中，结构变化的识别与处理对于模型的有效性和政策建议的正确性至关重要。

Chow检验

Chow检验是检测结构变化最经典、应用最广泛的方法之一。其基本思想是将样本分为不同时期或组别，对每段分别估计回归模型，并与全样本合并估计结果进行比较，考察模型残差平方和（RSS）差异是否显著。

中国加入WTO对进出口结构的影响

考虑如下回归模型来分析中国加入WTO（2001年）前后外贸进出口总额与经济因素的关系：

$$\ln(\text{进出口总额}) = \beta_1 + \beta_2 \ln(\text{GDP}) + \beta_3 \ln(\text{汇率}) + \beta_4 \ln(\text{外商投资}) + \beta_5 \cdot \text{时间趋势} + \varepsilon$$

我们希望检验2001年中国加入WTO是否引发了外贸结构的显著变化，即进出口总额与主要影响因素的关系（回归系数）是否发生了突变。

Chow检验的数学推导

设：

• $RSS_1$ ：加入WTO前阶段（$n_1$个观测）残差平方和
• $RSS_2$ ：加入WTO后阶段（个观测）残差平方和

Chow统计量公式如下：

$$F = \frac{(RSS - (RSS_1 + RSS_2))/K}{(RSS_1 + RSS_2)/(n_1 + n_2 - 2K)}$$

• 若 $F$ 显著大于临界值，则拒绝结构稳定假设。

实际数据计算：

1. 分段回归：

   • 加入前（1990-2001）：$RSS_1 = 0.032$
   • 加入后（2002-2014）：$RSS_2 = 0.021$
   • 合计：$RS{S}_1+RS{}_{}$

$$F[5,20] = \frac{0.215 - 0.053}{5} \Big/ \frac{0.053}{20} = 35.2$$

临界值 $F_{0.05}(5,20) = 2.71$，由于 $35.2 \gg 2.71$，我们强烈拒绝结构稳定性假设。

结论：2001年中国加入WTO确实显著改变了外贸结构及其与经济变量的关系。

部分参数结构变化的检验

有时实际情况不是所有参数都变化，更多是部分参数（如截距或个别系数）发生转变。可依据感兴趣的参数设定不同的检验约束。

例如，若怀疑只有常数项变动（消费基准不同），其余弹性（系数）保持稳定，则原假设 $H_0$ ：“除了常数项外，其他系数在两时期相同”。

说明即使假设部分参数“结构稳定”，数据表现依然拒绝，结构变化是全面而显著的。

样本量有限时的预测检验（Fisher方法）

若某一时期观测不足（如近年极端事件），标准Chow检验难以实施。这时可用Fisher预测检验：

操作流程如下：

1. 使用时间较长的样本（$n_1$）来拟合回归模型；
2. 将该模型用于较短时期（$n_2$）的数据进行预测，计算预测残差，得到 $e^{*T}e^*$；

$$F[n_2, n_1 - K] = \frac{(e^{*T}e^* - e_1^Te_1)/n_2}{e_1^Te_1 / (n_1 - K)}$$

• 拒绝原假设表明短期内确实发生了结构突变。

此方法特别适合检验局部年份、极端冲击或“事件研究”时期的数据异常性。

异方差情况下的结构变化检验

经典Chow检验假设两组数据误差方差相同。当异方差问题存在时，F统计量可能不再有效，此时需要更为稳健的检验方法。

常用的选择是Wald检验：

$$W = (b_1 - b_2)^\top [\operatorname{Var}(b_1) + \operatorname{Var}(b_2)]^{-1} (b_1 - b_2)$$

• 其中 $b_1,b_2$ 为两个阶段或群体参数向量，$\operatorname{Var}(\cdot)$为其协方差阵；
• 当样本量足够大时，$W \sim \chi^2[K]$ 分布，对异方差稳健，不要求方差齐性。

双重差分法（DID）

结构变动不仅仅是被动发生，很多时候是由于政策干预。**双重差分法（Difference-in-Differences, DID）**是一种广泛用于评估政策或自然冲击净效应的计量统计方法。

其基本设定为：

$$y_{it} = \beta_1 + \beta_2 \cdot \text{时间虚拟变量}_t + \beta_3 \cdot \text{处理组虚拟变量}_i + \beta_4 (\text{时间} \times \text{处理组})_{it} + \varepsilon_{it}$$

其中，$\beta_4$ 即为政策净效应的估计值。

以中国“家电下乡”政策评估为例，对照组为城市居民，处理组为农村居民，前后观测政策变化前后的结果：

双重差分法的最大优势在于能够同时控制不可观测的时间趋势和群体固有异质性，从而更准确地识别因果效应，使政策评估结果更具说服力和可信度。

自然实验与因果识别

自然实验通常由外生事件（如自然灾害、政策突变、大规模人口迁移等）“意外”地为经济学研究提供准实验环境，是研究结构变化和因果推断的强力工具。

案例：Mariel船民事件对美国劳动市场的冲击

• 1980年，古巴Mariel港开放，约7万难民涌入迈阿密，导致当地劳动力骤增7%；
• Card（1990）利用该天然“冲击”，设迈阿密为处理组，洛杉矶等城市为对照组，采用双重差分模型检验移民对本地就业与工资的影响。

建模如下：

$$\text{失业率}_{it} = \beta_1 + \beta_2 \text{迈阿密}_i + \beta_3 \text{冲击后}_t + \beta_4 (\text{迈阿密} \times \text{冲击后})_{it} + \varepsilon_{it}$$

研究发现，尽管劳动力供给“激增”，但本地工人的就业和工资并未受到显著影响。这一结果对移民经济政策产生了重要学术与政策意义。

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核心要点总结

函数形式选择的框架

我们建立了处理复杂经济关系的完整工具箱：

结构变化与模型应用的要点

在现代经济分析中，结构变化是必须关注的问题。通常建议先对全样本进行估计并观察残差分布，再结合理论和直觉判断可能存在的断点，并借助 Chow 检验等工具进行正式的结构突变检验。同时，应充分考虑异方差性和有限样本对结果的影响。在政策效果评估时，优先采用自然实验和双重差分等方法，以最大程度控制混淆因素，并通过稳健性检验加强结论的可信度，同时区分统计显著性和实际政策意义。

实际建模中，应保持模型设定的灵活性，不拘泥于简单线性模式，利用残差分析发现潜在问题。函数形式的选择应兼顾经济理论和数据特征，模型结果也需对设定微调保持稳健。归根结底，有效的经济模型不仅要有理论基础，还需服务于实际政策分析，根据现实情况不断优化调整。