风险资产的投资理论

前面的那只合同柜掀翻，纸片撒了一桌：每种天气一份财富、一个概率。提出每种可能结果的全貌，仿佛计划对一切未来逐项分析。但实际上，在投资组合分析里，没人会盯着整张结果表去作决策。在均值—方差模型的适用假设下，投资者用两个关键数字概括选择——只留下两枚图钉，钉在浅灰色网格的桌面上：均值 $\mu$ 代表所有可能结果的“中心”，标准差 $\sigma$ 则描述这些结果分布的“离散”。这极大简化了问题。

所有可行的资产组合，在桌面上就变成了点、线和一片区域。当你调整组合权重时，这些点在桌面上移动，描绘出投资世界的可能性空间。此章专注于这两枚图钉构筑的指标桌，讨论“收益往上好，风险往右坏”——寻求无差异曲线与有效边界相切的最优解。在这样的框架下，风险与收益的权衡变得一目了然，也为后续的分析工具和决策建立基础。

桌上只准留两枚图钉

完整分布是 $\{w_s,\pi_s\}_{s=1}^{S}$ 。均值-方差理论承认分布有无数细节，但决策只问两个数字。这是一次有意的收桌：丢掉偏度、峰度、路径，只留位置和离散。后面若发现肥尾会伤人，再把第三枚图钉钉回来——那是 VaR 的课。现在先练两枚图钉怎么用。

图钉的刻度：均值、方差、标准差

\mu_w=\sum_s \pi_s w_s,\qquad \sigma_w^2=\sum_s \pi_s(w_s-\mu_w)^2,\qquad \sigma_w=\sqrt{\sigma_w^2}

均值是概率加权的中心。方差是离差平方的加权平均，单位是“元的平方”，不直观；标准差把单位变回来，和收益率、财富同量纲。桌面的横轴通常用 $\sigma$ ，纵轴用 $\mu$ 。

效用写成 $U(\mu,\sigma)$

投资者的效用直接定义在桌面上： $U=U(\mu_w,\sigma_w)$ 或 $U(\mu_w,\sigma_w^2)$ 。基本形状只有两笔：

\frac{\partial U}{\partial \mu}\gt 0,\qquad \frac{\partial U}{\partial \sigma}\lt 0

更高的图钉越好，更靠右的图钉越差。这个简化在两类情况下与完整期望效用重合：财富近似正态，或 $v(w)=aw-bw^2$ 这种二次效用。否则它是工作近似——够用来画可行集、切点和风险价格。

两枚图钉如何随权重滑动

桌上先放两样东西：无风险资产，收益率钉死为 $r_f$ ， $\sigma=0$ ，是纵轴上的一个点；风险资产（可理解为市场组合），期望 $r_m$ 、标准差 $\sigma_m$ 。把财富的 $x$ 放进风险资产， $1-x$ 放进无风险，组合的两枚图钉是

r_x=x r_m+(1-x)r_f,\qquad \sigma_x=x\sigma_m

期望是加权平均；波动与 $x$ 成正比——无风险那一枚不贡献方差。 $x$ 从 0 扫到 1，桌面上走出一条从 $(0,r_f)$ 到 $(\sigma_m,r_m)$ 的直线。这就是最简单的风险-收益边界。斜率

\frac{r_m-r_f}{\sigma_m}

叫做风险价格：每多承受一单位 $\sigma$ ，市场补偿多少额外期望收益。拖动权重，看点如何在直线上走。

$x$ 越大，期望和风险都随之提升。 $x=0$ 时组合是无风险资产， $x=1$ 时全是风险资产。
组合点会在线段 $((0, r_f), (\sigma_m, r_m))$ 上移动，斜率即为风险价格。
超过 $x=1$ 是借钱加杠杆，点会越过 $M$ ， $\mu$ 和 $\sigma$ 一起放大。

说明样例（ $x=60\%$ 时）：

组合期望 $\mu = 0.6 \times 11\% + 0.4 \times 3\% = 7.8\%$
组合风险 $\sigma = 0.6 \times 20\% = 12.0\%$
风险价格 $(r_m-r_f)/\sigma_m = (11\%-3\%)/20\% = 0.40$

场景	解释
$x=0$	只买无风险资产，点在纵轴
$0 < x < 1$	组合在无风险与市场间，风险与期望线性提升
$x>1$	加杠杆，点继续往右上

无差异曲线在同一张桌上凸向西北：同样 $\sigma$ 要更高 $\mu$ ，或同样 $\mu$ 要更低 $\sigma$ 。最优组合是曲线与边界的切点，切点处

MRS=-\frac{\partial U/\partial\sigma}{\partial U/\partial\mu}=\frac{r_m-r_f}{\sigma_m}

主观上“再多一单位风险要多少补偿”，刚好等于桌上那条直线的报价。

风险价格是全场统一的

每个人面对同一条边界、同一个斜率。均衡时所有人的 MRS 都被拧到同一个风险价格上；差别只在切点位置——更厌恶的人 $x$ 更小，甚至接近 0；更能扛的人 $x$ 更大，甚至借钱超过 1。风险像一种有统一市价的商品：不是每人各自喊价，而是桌面斜率出清“谁来持有 $\sigma$ ”。

第三枚要小心：相关把点推离直线

单只资产的风险就是它自己的 $\sigma$ 。多资产时，你真正钉在桌上的是组合的 $\sigma_p$ ：

\sigma_p^2=\sum_i\sum_j w_i w_j\,\mathrm{Cov}(r_i,r_j)

两只资产时

\sigma_p^2=w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_A w_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B

$\rho=1$ ：组合点走在两点的直线上，分散无效。 $\rho\lt 1$ ：可行集向左弯出一条弓，同样 $\mu$ 可以换更小的 $\sigma$ 。 $\rho=-1$ ：弓可以碰到纵轴，风险被对冲掉。上一章空调与取暖是 $\rho=-1$ 的极限；桌面上那条弓，就是相关系数画出来的。

单个资产对这张桌子的贡献，因此很少是它自己的 $\sigma$ ，而是它与已经在桌上的市场组合一起动的程度。这个相对度量是 $\beta$ ：

\beta_i=\frac{\mathrm{Cov}(r_i,r_m)}{\mathrm{Var}(r_m)}

$\beta$	在桌上的含义
$=1$	对市场收益的线性敏感度为 1，不表示总波动相同
$\gt 1$	放大市场波动
在 $(0,1)$	缓冲
$=0$	与市场收益的协方差为零，不保证统计独立
$\lt 0$	与市场收益平均呈反向线性关系，不是每次反向

科技成长股 $\beta\approx 1.5$ 的示意是：市场超额收益动 1%，它平均动 1.5%。对组合风险真正定价的，是这枚 $\beta$ ，不是它自己那根较长的 $\sigma$ 。

桌上的点会互相绊倒

均值-方差默认你能按市价买卖、对手方会履约。金融机构之间若互相欠着钱，一家的违约会把别人的图钉从桌上打落——这是对手方风险，传染后可能形成金融系统风险（systemic risk），与 CAPM 中不可分散的市场风险（systematic risk）需区分：不是某一只股票特有，而是网格本身在晃。

示意三条债权链：A 欠 B 十亿，B 欠 C 十亿，C 欠 A 十亿。账面净额可以接近零，但 A 若先断供，B 收不回、再欠 C，C 再回头压 A。流动性错配被当成偿付危机传播。教学上只需记住：相关在危机里会突然升向 1，桌面上精心弯出的弓会重新变成直线，分散“看起来有、用时没有”。

最后贷款人（通常是央行）做的事情可以拆解为以下几点：

向卡住的节点注入流动性，让整个链条得以继续运转，而不是去改变最终谁承担损失。
例如：A 借到钱还给 B，B 还给 C，C 再还给 A，最后大家再把钱还给央行。目标是打断挤兑，不是让亏损凭空消失。

2008 年的教学要点：

高度互联时，对手方风险会同步化，风险传染迅速。
VaR 在正常时期估计的相关系数（ $\rho$ ）在危机时常常失效。
监管因此强调“宏观审慎”、压力测试、逆周期资本等手段，承认桌面网格（金融系统相关结构）并非外生不变。

不用把金融危机神话化，把它当作“相关结构崩溃”的现实例子即可。

均衡：桌上每一点都要付对价

确定性下，在期限、税费和交易条件可比时，无套利约束相同收益组合的价格。有风险时，不能用每项资产的总标准差统一扣减预期收益；CAPM 在其假设下，用与市场组合的协方差所对应的 β 为系统性风险定价：

r_i=r_f+\beta_i(r_m-r_f)

超额收益与 $\beta$ 成正比。具体来说：

$\beta=0$ 的资产只赚无风险利率 $r_f$
$\beta=1$ 赚取完整的市场溢价
$\beta=1.5$ 赚 1.5 倍市场溢价

可以把 $\beta$ 作为横轴，期望总收益率作为纵轴，资产的期望收益会被这条直线“钉住”：

如果点在直线上方，说明资产“太便宜”（期望收益偏高），买入会推动价格上涨，使期望收益回到线上
如果点在直线下方，则说明资产“偏贵”，卖出会让期望收益回归线性关系

证券市场线截距是 $r_f$ ，斜率是市场溢价 $r_m-r_f$ 。价格调整的代数是

r_i=\frac{\mathbb{E}[p_1]-p_0}{p_0}

$p_0$ 涨则期望收益跌。CAPM 不保证你能赚到这条线上的数字，它说的是：若人人用 $\beta$ 给风险标价，价格会把期望收益推到这条线上。 特有风险在组合里被冲掉，不进入溢价。

第三枚图钉：VaR 量的是桌边以外

均值-方差看中心和平均离散。风险部门还想问：在正常市况下，未来一天损失超过某金额的概率有多大？风险价值（VaR）回答的就是这句。一日 5% VaR = 100 万元，意思是 $P(L\gt 100\text{万})=5\%$ ，或 $P(L\le 100\text{万})=0.95$ 。时间窗口和置信度都是参数，换一组数就换一把尺子。

它的管理意义大于神秘精度：强制机构用同一口径谈风险、设限额、配资本。局限同样硬。第一，正态假设低估肥尾，黑天鹅比钟形曲线答应的更常来。第二，危机里 $\rho_{ij}$ 上升，分散失效，VaR 在最需要它时偏乐观。第三，它只说“超过阈值的概率”，不说超过以后平均还要再亏多少——那是 ES / CVaR 的工作。VaR 是桌上的警戒线，不是保险单。

这张桌子后来还加了什么

实务里，均值-方差成为资产配置的口头禅，常见做法包括：

先选大类资产，再谈具体个股
养老、保险、主权基金等机构投资者会参考 $\mu$ - $\sigma$ 边界进行全球资产配置，并定期再平衡

理论上，发展主要有四个方向：

行为金融：关注投资者偏见与动量，将这些因素重新纳入分析体系
机器学习：用更多数据、更复杂模型来估算 $\mu$ 和协方差矩阵
跨境投资：协方差矩阵中加入了汇率和地缘政治等新因素
ESG：尝试把非财务因子转化为新的收益来源或风险源

“桌面”这个隐喻依旧有用——任何新的因子，最终都要回答两个问题：

它如何影响 $\mu$ 和 $\sigma$ ？
相关的风险能否被 $\beta$ 解释？

收起网格

投资理论把分布收成 $\mu$ 与 $\sigma$ ，在桌面上画出可行集与切点；风险价格是边界斜率；组合风险由相关决定； $\beta$ 才是被补偿的风险；CAPM 把超额收益写成 $\beta$ 乘市场溢价；VaR 补一刀尾部，但在相关崩溃时会说谎。下一章离开这张投资桌，改去打开另一只抽屉：愿意付的和实际付的，中间那截差额叫消费者剩余。

在均值-方差桌面上，下面哪一句最符合 CAPM 的定价直觉？

风险资产的投资理论