静电学边值问题 | 自在学

静电学边值问题

当空间中存在导体或介质分界面时，电场和电势的分布必须同时满足两个条件：一是在各均匀区域内服从拉普拉斯（或泊松）方程，二是在边界上满足规定的衔接条件。这类问题统称为边值问题。镜像法和分离变量法是处理此类问题最实用的两种方法：镜像法用虚拟电荷等效替代边界上的感应电荷效果，将复杂的边界问题化为自由空间中多个点电荷的叠加；分离变量法则将偏微分方程分解为若干常微分方程，再由正交展开确定各阶展开系数。

边值问题与唯一性定理

静电学中，给定区域内没有自由电荷时，电势 $\varphi$ 满足拉普拉斯方程 $\nabla^2\varphi = 0$ 。要唯一确定这个区域内的电势分布，仅靠方程本身是不够的，还必须给出边界上的条件：

唯一性定理：在给定区域内，若拉普拉斯方程的解满足区域边界上的全部边界条件，则该解是唯一的。这一定理使得镜像法成立——只要构造出满足同样边界条件的解，无论构造方式如何，它就是真正的解。

镜像法的基本思路

镜像法的核心：在求解区域之外放置一个或若干个假想的"像电荷"，使它们与真实电荷共同产生的电势，恰好在边界上满足原问题的边界条件。由唯一性定理，这个人为构造的电势即为区域内的真实解。

像电荷是辅助计算的虚拟量，并不真实存在于求解区域内；它们的作用相当于替代了导体表面复杂的感应电荷分布，使计算大大简化。

点电荷与接地导体平面

最经典的镜像问题：点电荷 $+q$ 位于无限大接地导体平面上方，与平面相距 $d$ 。接地意味着导体平面的电势为零。

取坐标系使平面为 $z=0$ ，点电荷位于 $(0,0,d)$ 。在平面下方 $(0,0,-d)$ 处放置像电荷 $-q$ 。由对称性， $z=0$ 平面上任意点到和到的距离相等，正负等量电荷产生的电势在该平面上恰好相消，满足接地条件。

平面上方（ $z > 0$ ）任意点 $(x, y, z)$ 处的电势：

\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}}\right)

由此可以求出导体平面（ $z=0$ ）上感应的面电荷密度：

\sigma = -\varepsilon_0\left.\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right|_{z=0} = -\frac{qd}{2\pi(x^2+y^2+d^2)^{3/2}}

感应电荷为负，正对 $+q$ 处（原点）感应密度最大，向外逐渐减弱。对整个平面积分，感应电荷总量恰好为 $-q$ ，这与电荷守恒及接地条件完全吻合。

例题　点电荷 $q = +1.0\,\mu\mathrm{C}$ ，位于接地导体平面上方 $d = 0.10\,\mathrm{m}$ 处，求该点电荷受到的静电力大小及方向。

用镜像法， $+q$ 受像电荷 $-q$ 的库仑吸引，两者距离为 $2d = 0.20\,\mathrm{m}$ ：

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2d)^2} = 9.0\times10^9 \times \frac{(1.0\times10^{-6})^2}{(0.20)^2} = 9.0\times10^9 \times \frac{1.0\times10^{-12}}{0.04} = 0.225\,\mathrm{N}

方向：垂直导体平面向下（被导体吸引）。

点电荷与导体平面之间的吸引力，并非来自某个真实存在的 $-q$ ，而是来自平面上感应电荷的合力。镜像法只是将这种分布感应效果等效替换为一个像电荷，使计算简化，不能误认为平面下方真的存在 $-q$ 。

点电荷与接地导体球

另一个重要的镜像问题：点电荷 $+q$ 距接地导体球（半径 $R$ ，球心在原点）的球心距离为 $a$ （ $a > R$ ），球面接地（电势为零）。

为使球面上电势处处为零，需在球内的"反演点"处放置一个像电荷。所谓反演点，是指对于点 $P$ （距球心 $a$ ），其关于球面的反演点 $P'$ 位于 $OP$ 连线上，且满足 $OP' \cdot OP = R^2$ ，即。

像电荷的量为：

q' = -\frac{R}{a}\,q

位于距球心 $b = R^2/a$ 处，在 $OP$ 延长线上。

下面对比两种典型镜像问题的参数：

例题　点电荷 $+q$ 距接地导体球球心 $a = 2R$ 处，求球面上正对点电荷处（最近点）的感应面电荷密度。

像电荷量 $q' = -q/2$ ，位于距球心 $b = R^2/(2R) = R/2$ 处。导体球面上的感应电荷密度可由电场的法向分量求出，正对点电荷处距真实电荷最近，感应密度绝对值最大，具体数值由积分给出，此处不赘述。关键结论是像电荷总量，对球面感应电荷总量也正好等于。

镜像法并不改变真实电荷分布，而是用"像"来等效替代导体表面感应电荷的整体效果。一旦确定了像电荷的位置和大小，求解区域内的电势就变成了多个点电荷的简单叠加。

球坐标下的分离变量法

对于具有球形对称或轴对称结构的问题（如球形导体、球形介质），在球坐标系 $(r, \theta, \phi)$ 下求解拉普拉斯方程更为方便。

拉普拉斯方程在球坐标中的完整形式：

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\phi^2} = 0

对于关于 $z$ 轴具有旋转对称性的问题（ $\varphi$ 与 $\phi$ 无关），令 $\varphi(r,\theta) = R(r)\,\Theta(\theta)$ 代入方程，可以将方程分离为两个独立的常微分方程：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right) = l(l+1)R \qquad (l = 0,1,2,\ldots)

\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}\theta}\right) + l(l+1)\Theta = 0

其中 $l$ 是分离常数（只能取非负整数才能得到有物理意义的解）。

径向方程的通解为幂函数形式：

R(r) = A_l\,r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}

$r^l$ 项在 $r\to 0$ 处有界，适用于包含球心的内部区域； $r^{-(l+1)}$ 项在 $r\to\infty$ 时趋于零，适用于球外的外部区域。

角度方程在变量替换 $x = \cos\theta$ 后化为勒让德方程，其正则解即为勒让德多项式 $P_l(\cos\theta)$ 。

勒让德多项式

勒让德多项式 $P_l(x)$ 定义在 $x\in[-1,1]$ 上，是角度方程的自然解。前几阶的具体表达式如下：

勒让德多项式最重要的性质是正交性：

\int_{-1}^{1} P_l(x)\,P_{l'}(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{2l+1}\,\delta_{ll'}

其中 $\delta_{ll'}$ 为克罗内克符号（ $l=l'$ 时等于 $1$ ，否则为）。这一正交性意味着：将任意满足边界条件的函数展开成勒让德多项式的级数后，可以利用正交性逐一确定各阶展开系数，与傅里叶级数的确定系数方法完全类似。

综合径向解与角度解，轴对称问题的电势通解为：

\varphi(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\!\left(A_l\,r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta)

展开系数 $A_l$ 和 $B_l$ 由具体边界条件逐一确定。

例题　均匀外电场 $E_0$ 沿 $z$ 轴正方向，空间中放置一个接地导体球，半径为 $R$ 。求球外的电势分布。

边界条件：① $r\to\infty$ 时， $\varphi\to -E_0 r\cos\theta$ ；② $r=R$ 时，。

球外电势中只能含 $r^{-(l+1)}$ 项（确保无穷远处有界）加上外电场项。由于外电场仅含 $l=1$ 的 $P_1(\cos\theta) = \cos\theta$ 项，故只需考虑：

\varphi = -E_0 r\cos\theta + \frac{B_1}{r^2}\cos\theta

代入 $r=R$ 、 $\varphi=0$ ： $-E_0 R + B_1/R^2 = 0$ ，解出。

最终球外电势：

\varphi(r,\theta) = -E_0\!\left(r - \frac{R^3}{r^2}\right)\cos\theta

第二项形如偶极场，是球面感应电荷对外场的修正；在 $r=R$ 处两项精确抵消，满足接地条件。

正交函数展开与傅里叶级数

勒让德多项式展开是更普遍的"正交函数展开"思想在球坐标下的体现。在矩形区域（直角坐标）中求解拉普拉斯方程时，正交展开通常以傅里叶级数的形式出现。

一个定义在 $[0, L]$ 上、在两端取零值的函数，可以展开为正弦级数：

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)

展开系数由正交性确定：

c_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x

在静电边值问题中，设矩形区域三面电势为零、第四面有给定电势分布 $V(x)$ ，则对 $V(x)$ 作傅里叶展开后，各阶系数即可用来构造整个区域内满足拉普拉斯方程的完整解。

下表汇总了两种坐标系中常用的正交函数展开方案：

正交函数展开的核心思想：将未知函数写成一组已知基函数（正弦、余弦、勒让德多项式等）的线性叠加，再利用基函数的正交性，通过积分逐一"筛选"出各阶系数。这与线性代数中用正交基分解向量的方法在数学结构上完全相同。

练习题

选择题

题目一（知识点：镜像法与接地导体平面）

点电荷 $+q$ 位于无限大接地导体平面上方，距平面 $d$ 处。用镜像法引入的像电荷为（　　）

A. $+q$ ，在平面下方距面 $d$ 处

B. $-q$ ，在平面下方距面 $d$ 处

C. $-q$ ，在平面下方距面 $2d$ 处

D. $+q$ ，在平面下方距面 $2d$ 处

题目二（知识点：接地导体球的镜像电荷量）

点电荷 $+q$ 距接地导体球（半径 $R$ ）球心 $a = 3R$ 处，球内像电荷量为（　　）

A. $-q$ 　　　B. $-\dfrac{q}{3}$ 　　　C. $-3q$ 　　　D. $+\dfrac{q}{3}$

题目三（知识点：勒让德多项式正交性）

关于勒让德多项式，下列说法正确的是（　　）

A. $P_0(x) = x$

B. $\displaystyle\int_{-1}^{1} P_1(x)\,P_2(x)\,\mathrm{d}x \neq 0$

C. $\displaystyle\int_{-1}^{1} P_2(x)\,P_2(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{5}$

D. 不同阶次勒让德多项式之积的积分总不为零

题目四（知识点：球坐标径向方程的通解）

球坐标下轴对称拉普拉斯方程的径向部分满足 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r^2\dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right) = l(l+1)R$ ，其通解为（　　）

A. $A\sin(lr) + B\cos(lr)$

B. $Ae^{lr} + Be^{-lr}$

C. $Ar^l + Br^{-(l+1)}$

D. $A\ln r + B$

计算题

题目五（知识点：镜像法——点电荷与接地导体平面）

点电荷 $q = +2.0\,\mu\mathrm{C}$ ，位于接地的无限大导体平面上方，距平面 $d = 0.20\,\mathrm{m}$ 。

（1）用镜像法写出平面上方空间中任意点 $(x,y,z)$ （ $z>0$ ）的电势表达式；

（2）求点电荷受到导体的静电吸引力大小。

题目六（知识点：分离变量法与勒让德展开）

均匀外电场 $E_0$ 沿 $z$ 轴正方向，空间中放置一个半径为 $R$ 的接地导体球。已知球外电势满足拉普拉斯方程，边界条件为：① $r\to\infty$ 时， $\varphi\to -E_0 r\cos\theta$ ；② 时，。

（1）写出球外电势的一般展开形式，并说明为何只需保留 $l=1$ 项；

（2）利用边界条件确定展开系数，写出球外完整的电势表达式；

（3）求球面（ $r=R$ ）上 $\theta=0$ （即 $z$ 轴正方向顶点）处的电场强度大小。

\varphi=0

q^{'}

=

-

\frac{R}{3 R}

q

=

-

\frac{q}{3}

q' = -\frac{R}{3R}\,q = -\frac{q}{3}

\sum_{l = 0}^{\infty}

\frac{B_{l}}{r^{l + 1}}

P_{l}

(

\cos

θ

)

\varphi = -E_0 r\cos\theta + \sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta)