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物理电动力学进阶麦克斯韦方程组与守恒律

麦克斯韦方程组与守恒律

当一道闪电划破天空，无线电波从天线向四面八方传播，X射线穿透人体到达胶片——这些现象的背后，是同一套方程在不同频率下的体现。19世纪中叶，麦克斯韦将法拉第的实验发现、安培的电流规律与高斯定律统一在四个方程之中，并预言了电磁波的存在，这是物理学史上最重要的理论综合之一。电磁场不仅传递力，还携带能量和动量，理解这套方程，就掌握了从静电到光的整个电磁世界。

位移电流

稳恒电流的安培定律写为 ∇×B=μ0J\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J}∇×B=μ0​J。对此式两边取散度，左侧恒为零（矢量恒等式：旋度的散度等于零），右侧得到 ∇⋅J=0\nabla \cdot \boldsymbol{J} = 0∇⋅J=0，这意味着任意截面上的电流密度是无散的。对于稳恒电流，这没有问题；但在电容器充放电的过程中，导线中有真实电流流过，而两极板之间并无导线——若在此处应用安培定律，就会遇到矛盾。

下面用一个具体情形说明这个矛盾。给一个平行板电容器充电，取两个以导线为边界的曲面 S1S_1S1​ 和 S2S_2S2​：S1S_1S1​ 是穿过导线的平面，穿过它的电流为 III；S2S_2S2​ 是从同一回路拉向极板之间的曲面，由于极板间无导线，穿过它的传导电流为零。同一条安培回路，选择不同的面，结论竟然不同——这说明稳恒安培定律在时变情形下并不自洽。

welearn-20934222.png

麦克斯韦引入了位移电流的概念。极板间的电场随充电过程而变化，设极板间的电场为 E\boldsymbol{E}E，其时间变化率 ∂E/∂t\partial\boldsymbol{E}/\partial t∂E/∂t 具有和电流密度相同的量纲效果。定义位移电流密度：

JD=ε0∂E∂t\boldsymbol{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}JD​=ε0​∂t∂E​

单位与传导电流密度相同，均为 A/m2\mathrm{A/m^2}A/m2。将安培定律修正为：

∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}∇×B=μ0​J+μ0​ε0​∂t∂E​

对修正后的方程取散度，右侧第一项 ∇⋅J\nabla \cdot \boldsymbol{J}∇⋅J 与第二项 ε0 ∂(∇⋅E)/∂t=∂ρ/∂t\varepsilon_0\,\partial(\nabla \cdot \boldsymbol{E})/\partial t = \partial\rho/\partial tε0​∂(∇⋅E)/∂t=∂ρ/∂t 之和，恰好等于连续性方程 ∇⋅J+∂ρ/∂t=0\nabla \cdot \boldsymbol{J} + \partial\rho/\partial t = 0∇⋅J+∂ρ/∂t=0 的左边，结果为零，矛盾消除。

  • 例题　平行板电容器极板面积 S=1.0×10−2 m2S = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{m^2}S=1.0×10−2m2，以 I=0.10 AI = 0.10\,\mathrm{A}I=0.10A 的电流充电，求极板间位移电流密度以及 ∂E/∂t\partial E/\partial t∂E/∂t 的大小。

极板间面电荷密度以速率 σ=Q/S\sigma = Q/Sσ=Q/S 增长，∂σ/∂t=I/S\partial\sigma/\partial t = I/S∂σ/∂t=I/S。极板间电场 E=σ/ε0E = \sigma/\varepsilon_0E=σ/ε0​，因此：

∂E∂t=1ε0∂σ∂t=Iε0S=0.108.85×10−12×1.0×10−2≈1.13×1012 V/(m⋅s)\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\partial\sigma}{\partial t} = \frac{I}{\varepsilon_0 S} = \frac{0.10}{8.85\times10^{-12}\times1.0\times10^{-2}} \approx 1.13\times10^{12}\,\mathrm{V/(m\cdot s)}∂t∂E​=ε0​1​∂t∂σ​=ε0​SI​=8.85×10−12×1.0×10−20.10​≈1.13×1012V/(m⋅s)

位移电流密度：

JD=ε0∂E∂t=IS=0.101.0×10−2=10 A/m2J_D = \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{I}{S} = \frac{0.10}{1.0\times10^{-2}} = 10\,\mathrm{A/m^2}JD​=ε0​∂t∂E​=SI​=1.0×10−20.10​=10A/m2

位移电流密度与极板上的传导电流密度数值相等，两者在量值上无缝衔接，这正是麦克斯韦修正的自洽之处。

位移电流并不是真实的电荷运动，而是变化的电场在数学上等效于电流的一种描述。它的引入使安培定律在时变条件下仍然成立，并且正是这一项导致了电磁波的存在——变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，两者相互激发，向外传播。

麦克斯韦方程组的完整形式

将高斯定律、磁场散度为零、法拉第感应定律与修正后的安培定律汇集在一起，得到真空中麦克斯韦方程组的微分形式：

∇⋅E=ρε0\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}∇⋅E=ε0​ρ​ ∇⋅B=0\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0∇⋅B=0 ∇×E=−∂B∂t\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}∇×E=−∂t∂B​ ∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}∇×B=μ0​J+μ0​ε0​∂t∂E​

四个方程，两个散度，两个旋度，完整地描述了电磁场与源（电荷密度 ρ\rhoρ 和电流密度 J\boldsymbol{J}J）之间的关系。

welearn-88121480.png 方程组的积分形式（利用散度定理和斯托克斯定理转换）：

∮SE⋅dA=Q内ε0,∮SB⋅dA=0\oint_S \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0},\qquad \oint_S \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A} = 0∮S​E⋅dA=ε0​Q内​​,∮S​B⋅dA=0 ∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dA,∮CB⋅dl=μ0I+μ0ε0ddt∫SE⋅dA\oint_C \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A},\qquad \oint_C \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A}∮C​E⋅dl=−dtd​∫S​B⋅dA,∮C​B⋅dl=μ0​I+μ0​ε0​dtd​∫S​E⋅dA

积分形式直观地联系了场量与宏观的总电荷、总电流，在具有对称性的问题中非常方便。

由第三、四个方程可以看出：变化的磁场激发旋转的电场，变化的电场激发旋转的磁场，两者互相激励，不依赖任何电荷或电流，就能在真空中以电磁波的形式向外传播，速度恰好是光速 c=1/μ0ε0≈3.0×108 m/sc = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \approx 3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}c=1/μ0​ε0​​≈3.0×108m/s。

麦克斯韦方程组中隐含着电荷守恒：对修正的安培定律取散度，结合高斯定律，直接得到连续性方程 ∂ρ/∂t+∇⋅J=0\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0∂ρ/∂t+∇⋅J=0。这意味着方程组内部是自洽的，无需单独假设电荷守恒，它是麦克斯韦方程组的逻辑结论。

标量势与矢量势

从麦克斯韦方程的第二个方程 ∇⋅B=0\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0∇⋅B=0 出发，由矢量恒等式可知，必然存在矢量场 A\boldsymbol{A}A，使得：

B=∇×A\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}B=∇×A

将此式代入法拉第定律 ∇×E=−∂B/∂t\nabla\times\boldsymbol{E} = -\partial\boldsymbol{B}/\partial t∇×E=−∂B/∂t，得到：

∇× ⁣(E+∂A∂t)=0\nabla\times\!\left(\boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right) = 0∇×(E+∂t∂A​)=0

括号内的量旋度为零，因此可以写成某个标量函数的梯度的负值，定义标量势 φ\varphiφ：

E=−∇φ−∂A∂t\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}E=−∇φ−∂t∂A​

在静电情形下，∂A/∂t=0\partial\boldsymbol{A}/\partial t = 0∂A/∂t=0，退化为熟悉的 E=−∇φ\boldsymbol{E} = -\nabla\varphiE=−∇φ。在时变情形下，电场不再仅由电荷决定，还有来自变化矢量势的贡献。

将 E\boldsymbol{E}E 和 B\boldsymbol{B}B 用势表示后代入麦克斯韦方程组，第二和第三个方程自动满足，只需从第一和第四个方程求解势函数。这将六个场分量（E\boldsymbol{E}E 和 B\boldsymbol{B}B 各三个）的求解问题，化简为四个势分量（φ\varphiφ 一个，A\boldsymbol{A}A 三个）的求解问题。

规范变换

A\boldsymbol{A}A 和 φ\varphiφ 的选取并不唯一。对矢量势加上任意标量函数 χ\chiχ 的梯度，对标量势减去 χ\chiχ 对时间的偏导，物理量 E\boldsymbol{E}E 和 B\boldsymbol{B}B 不变：

A′=A+∇χ,φ′=φ−∂χ∂t\boldsymbol{A}' = \boldsymbol{A} + \nabla\chi,\qquad \varphi' = \varphi - \frac{\partial\chi}{\partial t}A′=A+∇χ,φ′=φ−∂t∂χ​

这称为规范变换，χ\chiχ 称为规范函数。选择不同的规范（即不同的 χ\chiχ），能简化方程的形式或计算。

  • 洛伦兹规范

选择 χ\chiχ 使得：

∇⋅A+μ0ε0∂φ∂t=0\nabla\cdot\boldsymbol{A} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\varphi}{\partial t} = 0∇⋅A+μ0​ε0​∂t∂φ​=0

此即洛伦兹条件。在该条件下，φ\varphiφ 和 A\boldsymbol{A}A 满足形式完全对称的波动方程：

∇2φ−μ0ε0∂2φ∂t2=−ρε0\nabla^2\varphi - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}∇2φ−μ0​ε0​∂t2∂2φ​=−ε0​ρ​ ∇2A−μ0ε0∂2A∂t2=−μ0J\nabla^2\boldsymbol{A} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2} = -\mu_0\boldsymbol{J}∇2A−μ0​ε0​∂t2∂2A​=−μ0​J

两个方程形式相同，源分别为 −ρ/ε0-\rho/\varepsilon_0−ρ/ε0​ 和 −μ0J-\mu_0\boldsymbol{J}−μ0​J。洛伦兹规范与相对论的协变性兼容，是处理辐射和波传播问题时最常用的选择。

  • 库仑规范

选择 χ\chiχ 使得：

∇⋅A=0\nabla\cdot\boldsymbol{A} = 0∇⋅A=0

此即库仑规范（也称横场规范）。标量势满足：

∇2φ=−ρε0\nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}∇2φ=−ε0​ρ​

这与静电学中的泊松方程完全相同，因此 φ\varphiφ 能立即由当时刻的电荷分布写出，无需考虑推迟效应。库仑规范在处理量子电动力学和辐射场问题时有特别的优势。

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规范选择不影响任何可观测的物理结果——E\boldsymbol{E}E 和 B\boldsymbol{B}B 是可以测量的真实场量，而 φ\varphiφ 和 A\boldsymbol{A}A 本身不直接可测，只有通过对它们求梯度、旋度或时间导数才能得到物理场。不同规范下的势函数不同，但算出的电场和磁场完全相同。

波动方程与推迟解

在洛伦兹规范下，标量势和矢量势均满足形如：

□2Ψ≡∇2Ψ−1c2∂2Ψ∂t2=−f(r,t)\Box^2\Psi \equiv \nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = -f(\boldsymbol{r},t)□2Ψ≡∇2Ψ−c21​∂t2∂2Ψ​=−f(r,t)

的非齐次波动方程，其中 c=1/μ0ε0c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}c=1/μ0​ε0​​ 是真空中的光速，fff 是源项（对 φ\varphiφ 为 ρ/ε0\rho/\varepsilon_0ρ/ε0​，对 A\boldsymbol{A}A 为 μ0J\mu_0\boldsymbol{J}μ0​J）。

该方程的解与源之间存在推迟关系：场点在 ttt 时刻的势，只由源在更早的时刻 t′=t−∣r−r′∣/ct' = t - |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|/ct′=t−∣r−r′∣/c 的状态决定——信号从源点传到场点需要时间 ∣r−r′∣/c|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|/c∣r−r′∣/c，这就是电磁相互作用以光速传递的直接体现。

推迟势的表达式为：

φ(r,t)=14πε0∫ρ ⁣(r′, t−∣r−r′∣c)∣r−r′∣ d3r′\varphi(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho\!\left(\boldsymbol{r}',\,t-\dfrac{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}{c}\right)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}\,\mathrm{d}^3r'φ(r,t)=4πε0​1​∫∣r−r′∣ρ(r′,t−c∣r−r′∣​)​d3r′ A(r,t)=μ04π∫J ⁣(r′, t−∣r−r′∣c)∣r−r′∣ d3r′\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\boldsymbol{J}\!\left(\boldsymbol{r}',\,t-\dfrac{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}{c}\right)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}\,\mathrm{d}^3r'A(r,t)=4πμ0​​∫∣r−r′∣J(r′,t−c∣r−r′∣​)​d3r′

与静电和静磁中的势相比，唯一的区别是将源函数中的 ttt 换成了推迟时刻 tr=t−∣r−r′∣/ct_r = t - |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|/ctr​=t−∣r−r′∣/c。在源缓慢变化（准静态近似）的条件下，推迟效果可以忽略，两者退化为静态的泊松方程解。

  • 例题　有一个点电荷 qqq 固定在原点不动（不随时间变化），求其推迟势，并说明它是否与静电势一致。

由于电荷不随时间变化，ρ(r′,tr)=ρ(r′)=q δ3(r′)\rho(\boldsymbol{r}', t_r) = \rho(\boldsymbol{r}') = q\,\delta^3(\boldsymbol{r}')ρ(r′,tr​)=ρ(r′)=qδ3(r′)，推迟时刻的值与当前时刻相同，因此：

φ(r,t)=14πε0qr\varphi(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}φ(r,t)=4πε0​1​rq​

与静电势完全一致。推迟效应只在源随时间变化时才有可观的影响，静止电荷不会辐射电磁波，与直觉相符。

坡印廷定理

电磁场携带能量，这一点从最简单的例子就能看出：微波炉用电磁波加热食物，太阳能板用光（电磁波）发电，能量显然是通过电磁场传输过来的。

从麦克斯韦方程推导电磁场的能量守恒方程。将第四方程两侧点乘 E\boldsymbol{E}E，将第三方程两侧点乘 B/μ0\boldsymbol{B}/\mu_0B/μ0​，然后相减，利用矢量恒等式 B⋅(∇×E)−E⋅(∇×B)=∇⋅(E×B)\boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{E}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B}) = \nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})B⋅(∇×E)−E⋅(∇×B)=∇⋅(E×B)，整理得到坡印廷定理：

∂u∂t+∇⋅S=−J⋅E\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{S} = -\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}∂t∂u​+∇⋅S=−J⋅E

其中电磁场能量密度为：

u=12ε0E2+12μ0B2u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2u=21​ε0​E2+2μ0​1​B2

坡印廷矢量（能流密度）为：

S=1μ0E×B\boldsymbol{S} = \frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}S=μ0​1​E×B

S\boldsymbol{S}S 的单位是 W/m2\mathrm{W/m^2}W/m2，表示单位时间内穿过单位面积的电磁场能量，方向就是能量流动的方向。右侧 −J⋅E-\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}−J⋅E 是电磁场对电荷做功的功率密度（单位体积内单位时间传给电荷的能量），负号表示场失去能量给电荷。

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坡印廷定理用积分形式写出物理意义更直观：

−ddt∫Vu d3r=∮SS⋅dA+∫VJ⋅E d3r-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V u\,\mathrm{d}^3r = \oint_S \boldsymbol{S}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A} + \int_V \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}^3r−dtd​∫V​ud3r=∮S​S⋅dA+∫V​J⋅Ed3r

即：体积内电磁场能量的减少率，等于从边界面流出的能量加上电磁场对体积内电荷做的功。这是电磁场的能量守恒方程。

  • 例题　对于平面电磁波（在真空中传播），电场与磁场幅值之间满足 E=cBE = cBE=cB，且 E⊥B⊥k^\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}\perp\hat{\boldsymbol{k}}E⊥B⊥k^（k^\hat{\boldsymbol{k}}k^ 为传播方向）。计算坡印廷矢量的大小，并与能量密度的关系验证。
S=EBμ0=E⋅E/cμ0=E2μ0cS = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{E \cdot E/c}{\mu_0} = \frac{E^2}{\mu_0 c}S=μ0​EB​=μ0​E⋅E/c​=μ0​cE2​

又 c=1/μ0ε0c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}c=1/μ0​ε0​​，故：

S=ε0cE2S = \varepsilon_0 c E^2S=ε0​cE2

电磁场能量密度：

u=12ε0E2+12μ0B2=12ε0E2+E22μ0c2=ε0E2u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{E^2}{2\mu_0 c^2} = \varepsilon_0 E^2u=21​ε0​E2+2μ0​1​B2=21​ε0​E2+2μ0​c2E2​=ε0​E2

因此 S=cuS = cuS=cu，即坡印廷矢量大小等于能量密度乘以光速，与能量以光速传播完全自洽。

电磁场还携带动量。单位体积内电磁场的动量密度为：

g=μ0ε0S=Sc2=ε0(E×B)\boldsymbol{g} = \mu_0\varepsilon_0 \boldsymbol{S} = \frac{\boldsymbol{S}}{c^2} = \varepsilon_0(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})g=μ0​ε0​S=c2S​=ε0​(E×B)

太阳光对物体表面的辐射压力，正是电磁场动量传递给物体的体现。彗星的彗尾之所以背向太阳，部分原因就在于太阳光的辐射压。

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坡印廷定理表明，导线周围的电场和磁场共同决定了能量的传输路径。家用电路中，电能并不是在导线内部流动的——导线内的场很小，真正将能量从电源输送到灯泡的，是导线周围空间中的电磁场，坡印廷矢量描述的正是这条能量通道。

电磁场的宏观方程

实际物质中的麦克斯韦方程，需要区分自由电荷（可以自由移动的传导电子、离子）与束缚电荷（被束缚在分子中的电荷），以及自由电流与束缚电流（极化电流和磁化电流）。

引入电极化强度 P\boldsymbol{P}P（单位体积的电偶极矩）和磁化强度 M\boldsymbol{M}M（单位体积的磁偶极矩），束缚电荷密度与束缚电流密度为：

ρb=−∇⋅P,Jb=∇×M+∂P∂t\rho_b = -\nabla\cdot\boldsymbol{P},\qquad \boldsymbol{J}_b = \nabla\times\boldsymbol{M} + \frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t}ρb​=−∇⋅P,Jb​=∇×M+∂t∂P​

定义辅助场：

D=ε0E+P,H=Bμ0−M\boldsymbol{D} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P},\qquad \boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}D=ε0​E+P,H=μ0​B​−M

D\boldsymbol{D}D 称为电位移矢量（单位 C/m2\mathrm{C/m^2}C/m2），H\boldsymbol{H}H 称为磁场强度（单位 A/m\mathrm{A/m}A/m）。将总电荷分离为自由项与束缚项代入麦克斯韦方程，得到介质中的宏观方程：

∇⋅D=ρf,∇⋅B=0\nabla\cdot\boldsymbol{D} = \rho_f,\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0∇⋅D=ρf​,∇⋅B=0 ∇×E=−∂B∂t,∇×H=Jf+∂D∂t\nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}_f + \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}∇×E=−∂t∂B​,∇×H=Jf​+∂t∂D​

其中下标 fff 表示自由（free）源。

对于线性各向同性介质，本构关系给出：

D=εE=ε0εrE,B=μH=μ0μrH\boldsymbol{D} = \varepsilon\boldsymbol{E} = \varepsilon_0\varepsilon_r\boldsymbol{E},\qquad \boldsymbol{B} = \mu\boldsymbol{H} = \mu_0\mu_r\boldsymbol{H}D=εE=ε0​εr​E,B=μH=μ0​μr​H

其中 εr\varepsilon_rεr​ 是相对介电常数，μr\mu_rμr​ 是相对磁导率，两者均为无量纲的实数（对非色散介质而言）。

物理量真空值介质中单位
介电常数 ε\varepsilonεε0=8.85×10−12\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}ε0​=8.85×10−12εrε0\varepsilon_r\varepsilon_0εr​ε0​F/m\mathrm{F/m}F/m
磁导率 μ\muμμ0=4π×10−7\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}μ0​=4π×10−7μrμ0\mu_r\mu_0μr​μ0​H/m\mathrm{H/m}H/m
波速 vvvc=1/μ0ε0c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}c=1/μ0​ε0​​v=c/μrεr=c/nv = c/\sqrt{\mu_r\varepsilon_r} = c/nv=c/μr​εr​​=c/nm/s\mathrm{m/s}m/s

其中 n=μrεrn = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}n=μr​εr​​ 称为折射率。光在玻璃中传播比在真空中慢，就是因为玻璃的 εr>1\varepsilon_r > 1εr​>1，导致 n>1n > 1n>1，v<cv < cv<c。

在两种介质的交界面处，由宏观方程可以推导出场量的边界条件：

D1n−D2n=σf,B1n=B2nD_{1n} - D_{2n} = \sigma_f,\qquad B_{1n} = B_{2n}D1n​−D2n​=σf​,B1n​=B2n​ E1t=E2t,H1t−H2t=KfE_{1t} = E_{2t},\qquad H_{1t} - H_{2t} = K_fE1t​=E2t​,H1t​−H2t​=Kf​

其中 σf\sigma_fσf​ 是界面上的自由面电荷密度，KfK_fKf​ 是界面上的自由面电流密度（大多数情形下两者均为零）。

  • 例题　相对介电常数 εr=4\varepsilon_r = 4εr​=4、相对磁导率 μr=1\mu_r = 1μr​=1 的介质中，光速变为多少？折射率是多少？
n=μrεr=1×4=2,v=cn=3.0×1082=1.5×108 m/sn = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r} = \sqrt{1\times4} = 2,\qquad v = \frac{c}{n} = \frac{3.0\times10^8}{2} = 1.5\times10^8\,\mathrm{m/s}n=μr​εr​​=1×4​=2,v=nc​=23.0×108​=1.5×108m/s

光在该介质中的速度为真空光速的一半，这与许多光学玻璃（折射率约为 1.51.51.5 到 2.02.02.0）的实际情况接近。

介质中的宏观方程与真空中的麦克斯韦方程形式完全类似，只需将 ε0\varepsilon_0ε0​ 替换为 ε=εrε0\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0ε=εr​ε0​，μ0\mu_0μ0​ 替换为 μ=μrμ0\mu = \mu_r\mu_0μ=μr​μ0​，且方程中只出现自由电荷和自由电流，束缚源的效果已经吸收进 D\boldsymbol{D}D 和 H\boldsymbol{H}H 之中。

练习题

选择题

  • 题目一（知识点：位移电流）

一个平行板电容器正在被充电，以下关于极板间位移电流的说法正确的是（　　）

A. 位移电流是真实的电荷运动电流，方向与极板间电场方向相同

B. 位移电流的大小等于导线中传导电流的大小，并与之共同维持安培定律的自洽性

C. 位移电流产生的磁场方向与传导电流产生的磁场方向相反

D. 位移电流只在真空中存在，介质中不存在

答案：B

位移电流 ID=ε0 dΦE/dtI_D = \varepsilon_0\,\mathrm{d}\Phi_E/\mathrm{d}tID​=ε0​dΦE​/dt，在充电过程中其值等于导线中的传导电流。A 错，位移电流并非真实电荷运动；C 错，位移电流产生的磁场方向与传导电流方向的磁效应一致，因为两者在安培定律中地位相同；D 错，介质中也有位移电流（用 D\boldsymbol{D}D 替代 ε0E\varepsilon_0\boldsymbol{E}ε0​E）。

  • 题目二（知识点：坡印廷定理）

在真空中传播的平面电磁波，电场幅值为 E0E_0E0​，磁场幅值为 B0B_0B0​，且 E0=cB0E_0 = cB_0E0​=cB0​。以下关于坡印廷矢量的说法正确的是（　　）

A. 坡印廷矢量的方向与电场方向相同

B. 坡印廷矢量的大小为 E0B0/μ0E_0 B_0 / \mu_0E0​B0​/μ0​，方向为电磁波的传播方向

C. 坡印廷矢量描述的是电场的能量密度

D. 坡印廷矢量的大小随时间不变

答案：B

坡印廷矢量 S=E×B/μ0\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}/\mu_0S=E×B/μ0​，大小为 E0B0/μ0E_0 B_0/\mu_0E0​B0​/μ0​，方向为 E×B\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}E×B，即电磁波传播方向。A 错，方向为 E×B\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}E×B，与 E\boldsymbol{E}E 方向垂直；C 错，S\boldsymbol{S}S 描述能量流密度，不是能量密度；D 错，平面波的 EEE 和 BBB 随时间做正弦振荡，S\boldsymbol{S}S 也随时间变化（瞬时值），只有时间平均值是常数。

  • 题目三（知识点：规范变换）

对矢量势 A\boldsymbol{A}A 和标量势 φ\varphiφ 进行规范变换 A′=A+∇χ\boldsymbol{A}' = \boldsymbol{A} + \nabla\chiA′=A+∇χ，φ′=φ−∂χ/∂t\varphi' = \varphi - \partial\chi/\partial tφ′=φ−∂χ/∂t，以下说法正确的是（　　）

A. 电场 E\boldsymbol{E}E 会发生改变，但磁场 B\boldsymbol{B}B 不变

B. 磁场 B\boldsymbol{B}B 会发生改变，但电场 E\boldsymbol{E}E 不变

C. 电场 E\boldsymbol{E}E 和磁场 B\boldsymbol{B}B 均不发生改变

D. 电场和磁场是否改变，取决于 χ\chiχ 的具体形式

答案：C

规范变换是精心设计的，目的就是保证物理可观测量 E\boldsymbol{E}E 和 B\boldsymbol{B}B 不变。变换后 B′=∇×A′=∇×(A+∇χ)=∇×A=B\boldsymbol{B}' = \nabla\times\boldsymbol{A}' = \nabla\times(\boldsymbol{A}+\nabla\chi) = \nabla\times\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}B′=∇×A′=∇×(A+∇χ)=∇×A=B（梯度的旋度为零）；E′=−∇φ′−∂A′/∂t=−∇φ+∂(∇χ)/∂t−∂A/∂t−∂(∇χ)/∂t=E\boldsymbol{E}' = -\nabla\varphi' - \partial\boldsymbol{A}'/\partial t = -\nabla\varphi + \partial(\nabla\chi)/\partial t - \partial\boldsymbol{A}/\partial t - \partial(\nabla\chi)/\partial t = \boldsymbol{E}E′=−∇φ′−∂A′/∂t=−∇φ+∂(∇χ)/∂t−∂A/∂t−∂(∇χ)/∂t=E，两者均不变。

  • 题目四（知识点：介质中的麦克斯韦方程与折射率）

相对介电常数 εr=9\varepsilon_r = 9εr​=9，相对磁导率 μr=1\mu_r = 1μr​=1 的均匀介质，其折射率 nnn 和光在其中的传播速度 vvv 分别为（　　）

A. n=3n = 3n=3，v=c/3v = c/3v=c/3

B. n=9n = 9n=9，v=c/9v = c/9v=c/9

C. n=3n = 3n=3，v=3cv = 3cv=3c

D. n=3n = \sqrt{3}n=3​，v=c/3v = c/\sqrt{3}v=c/3​

答案：A

折射率 n=μrεr=1×9=3n = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r} = \sqrt{1\times9} = 3n=μr​εr​​=1×9​=3，光速 v=c/n=c/3≈1.0×108 m/sv = c/n = c/3 \approx 1.0\times10^8\,\mathrm{m/s}v=c/n=c/3≈1.0×108m/s。注意折射率等于 μrεr\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}μr​εr​​，不是直接等于 εr\varepsilon_rεr​。

计算题

  • 题目五（知识点：位移电流与安培-麦克斯韦定律）

一个圆形平行板电容器，极板半径 R=5.0 cm=5.0×10−2 mR = 5.0\,\mathrm{cm} = 5.0\times10^{-2}\,\mathrm{m}R=5.0cm=5.0×10−2m，极板间距 d=2.0 mmd = 2.0\,\mathrm{mm}d=2.0mm（忽略边缘效应）。电容器以恒定电流 I=2.0 AI = 2.0\,\mathrm{A}I=2.0A 充电。

（1）求极板间电场对时间的变化率 ∂E/∂t\partial E/\partial t∂E/∂t；

（2）求极板间半径 r=2.0 cmr = 2.0\,\mathrm{cm}r=2.0cm 处的磁感应强度大小（利用安培-麦克斯韦定律取圆形安培回路）。

  • 解：

  • （1） 极板面积 S=πR2=π×(5.0×10−2)2=7.85×10−3 m2S = \pi R^2 = \pi\times(5.0\times10^{-2})^2 = 7.85\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}S=πR2=π×(5.0×10−2)2=7.85×10−3m2。

极板间电场 E=σ/ε0=Q/(ε0S)E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 S)E=σ/ε0​=Q/(ε0​S)，对时间求导：

∂E∂t=Iε0S=2.08.85×10−12×7.85×10−3≈2.87×1013 V/(m⋅s)\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{I}{\varepsilon_0 S} = \frac{2.0}{8.85\times10^{-12}\times7.85\times10^{-3}} \approx 2.87\times10^{13}\,\mathrm{V/(m\cdot s)}∂t∂E​=ε0​SI​=8.85×10−12×7.85×10−32.0​≈2.87×1013V/(m⋅s)
  • （2） 在极板间取半径 r=2.0×10−2 mr = 2.0\times10^{-2}\,\mathrm{m}r=2.0×10−2m 的同轴圆形安培回路（r<Rr < Rr<R，在极板范围内）。回路内无传导电流，只有位移电流。穿过该圆面的位移电流：
ID(r)=ε0∂E∂t⋅πr2=I⋅r2R2I_D(r) = \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\cdot\pi r^2 = I\cdot\frac{r^2}{R^2}ID​(r)=ε0​∂t∂E​⋅πr2=I⋅R2r2​

代入安培-麦克斯韦定律：

B⋅2πr=μ0ID(r)=μ0Ir2R2B\cdot 2\pi r = \mu_0 I_D(r) = \mu_0 I\frac{r^2}{R^2}B⋅2πr=μ0​ID​(r)=μ0​IR2r2​B=μ0Ir2πR2=4π×10−7×2.0×2.0×10−22π×(5.0×10−2)2B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} = \frac{4\pi\times10^{-7}\times2.0\times2.0\times10^{-2}}{2\pi\times(5.0\times10^{-2})^2}B=2πR2μ0​Ir​=2π×(5.0×10−2)24π×10−7×2.0×2.0×10−2​=4π×10−7×2.0×2.0×10−22π×2.5×10−3=1.6×10−85.0×10−3≈3.2×10−6 T= \frac{4\pi\times10^{-7}\times2.0\times2.0\times10^{-2}}{2\pi\times2.5\times10^{-3}} = \frac{1.6\times10^{-8}}{5.0\times10^{-3}} \approx 3.2\times10^{-6}\,\mathrm{T}=2π×2.5×10−34π×10−7×2.0×2.0×10−2​=5.0×10−31.6×10−8​≈3.2×10−6T

极板间 r=2.0 cmr = 2.0\,\mathrm{cm}r=2.0cm 处的磁感应强度约为 3.2 μT3.2\,\mu\mathrm{T}3.2μT，方向沿圆周切线（由右手定则与位移电流方向确定）。

  • 题目六（知识点：坡印廷定理与电磁场能量）

真空中有一列沿 +x+x+x 方向传播的平面电磁波，电场为 E=E0cos⁡(kx−ωt) y^\boldsymbol{E} = E_0\cos(kx - \omega t)\,\hat{\boldsymbol{y}}E=E0​cos(kx−ωt)y^​，其中 E0=100 V/mE_0 = 100\,\mathrm{V/m}E0​=100V/m，ω=2π×109 rad/s\omega = 2\pi\times10^9\,\mathrm{rad/s}ω=2π×109rad/s，k=ω/ck = \omega/ck=ω/c。

（1）写出对应的磁场 B\boldsymbol{B}B 的表达式；

（2）计算坡印廷矢量的瞬时表达式和时间平均值大小；

（3）计算电磁场能量密度的时间平均值。

  • 解：

  • （1） 平面电磁波中，E\boldsymbol{E}E、B\boldsymbol{B}B 和传播方向 k^\hat{\boldsymbol{k}}k^ 互相垂直，且 B=E/cB = E/cB=E/c，B\boldsymbol{B}B 方向由 k^×E^\hat{\boldsymbol{k}}\times\hat{\boldsymbol{E}}k^×E^ 确定。k^=x^\hat{\boldsymbol{k}} = \hat{\boldsymbol{x}}k^=x^，E^=y^\hat{\boldsymbol{E}} = \hat{\boldsymbol{y}}E^=y^​，故 B^=x^×y^=z^\hat{\boldsymbol{B}} = \hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{y}} = \hat{\boldsymbol{z}}B^=x^×y^​=z^：

B=E0ccos⁡(kx−ωt) z^=1003.0×108cos⁡(kx−ωt) z^≈3.33×10−7cos⁡(kx−ωt) z^ (T)\boldsymbol{B} = \frac{E_0}{c}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\boldsymbol{z}} = \frac{100}{3.0\times10^8}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\boldsymbol{z}} \approx 3.33\times10^{-7}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\boldsymbol{z}}\,(\mathrm{T})B=cE0​​cos(kx−ωt)z^=3.0×108100​cos(kx−ωt)z^≈3.33×10−7cos(kx−ωt)z^(T)
  • （2） 坡印廷矢量：
S=E×Bμ0=E02cos⁡2(kx−ωt)μ0c x^\boldsymbol{S} = \frac{\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}}{\mu_0} = \frac{E_0^2\cos^2(kx-\omega t)}{\mu_0 c}\,\hat{\boldsymbol{x}}S=μ0​E×B​=μ0​cE02​cos2(kx−ωt)​x^

代入数值（μ0c=4π×10−7×3.0×108≈377 Ω\mu_0 c = 4\pi\times10^{-7}\times3.0\times10^8 \approx 377\,\Omegaμ0​c=4π×10−7×3.0×108≈377Ω）：

S=E02μ0ccos⁡2(kx−ωt)=(100)2377cos⁡2(kx−ωt)≈26.5cos⁡2(kx−ωt) W/m2S = \frac{E_0^2}{\mu_0 c}\cos^2(kx-\omega t) = \frac{(100)^2}{377}\cos^2(kx-\omega t) \approx 26.5\cos^2(kx-\omega t)\,\mathrm{W/m^2}S=μ0​cE02​​cos2(kx−ωt)=377(100)2​cos2(kx−ωt)≈26.5cos2(kx−ωt)W/m2

时间平均值（⟨cos⁡2⟩=1/2\langle\cos^2\rangle = 1/2⟨cos2⟩=1/2）：

⟨S⟩=E022μ0c=(100)22×377≈13.3 W/m2\langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} = \frac{(100)^2}{2\times377} \approx 13.3\,\mathrm{W/m^2}⟨S⟩=2μ0​cE02​​=2×377(100)2​≈13.3W/m2
  • （3） 电场和磁场的能量密度时间平均值各占一半且相等：
⟨u⟩=ε0⟨E2⟩=ε0⋅E022=8.85×10−12×(100)22≈4.43×10−8 J/m3\langle u\rangle = \varepsilon_0\langle E^2\rangle = \varepsilon_0\cdot\frac{E_0^2}{2} = 8.85\times10^{-12}\times\frac{(100)^2}{2} \approx 4.43\times10^{-8}\,\mathrm{J/m^3}⟨u⟩=ε0​⟨E2⟩=ε0​⋅2E02​​=8.85×10−12×2(100)2​≈4.43×10−8J/m3

验证：⟨S⟩=c⟨u⟩=3.0×108×4.43×10−8≈13.3 W/m2\langle S\rangle = c\langle u\rangle = 3.0\times10^8\times4.43\times10^{-8} \approx 13.3\,\mathrm{W/m^2}⟨S⟩=c⟨u⟩=3.0×108×4.43×10−8≈13.3W/m2，与（2）结果一致。

  • 位移电流
  • 麦克斯韦方程组的完整形式
  • 标量势与矢量势
  • 规范变换
  • 波动方程与推迟解
  • 坡印廷定理
  • 电磁场的宏观方程
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题

目录

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