波导与谐振腔 | 自在学

波导与谐振腔

微波在雷达技术诞生时期被发现可以在空心金属管中高效传输。现代通信基站的馈线、微波炉内部的能量通道、医学核磁共振设备的射频激发腔体，以及遍布全球的光纤网络，其工作原理都与电磁波在受限空间内的传播密切相关。以下内容系统讨论电磁波在金属波导和谐振腔中的行为规律，以及光纤传播的基本图像。

趋肤效应与表面阻抗

工频交流电（50 Hz）在铜导线中传输时，电流基本均匀分布于整个截面。但当频率升至微波段（数 GHz）时，导体内部的电流几乎完全集中在表面极薄的一层——这就是趋肤效应（skin effect）。

趋肤效应的根源在于高频磁场在导体内部感生涡流，涡流的方向恰好抵消导体内部的电场，使得电磁场向内部传播时快速衰减。对于电导率为 $\sigma$ 、磁导率为 $\mu$ 、角频率为 $\omega$ 的导体，沿表面法线方向（取 $z$ 轴向内）的场分量满足：

E(z) = E_0\, e^{-z/\delta}\, e^{\,i(z/\delta\,-\,\omega t)}

其中 $\delta$ 称为趋肤深度，定义为电场幅值衰减到表面值 $1/e$ 时对应的深度：

\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}

趋肤深度与频率的平方根成反比，频率越高，趋肤深度越浅，电流越集中在表面。

由于实际波导管壁厚度（通常毫米量级）远大于趋肤深度，可以认为电流完全集中在内壁极薄的表面层中。单位面积的欧姆耗散功率正比于表面电阻 $R_s$ ：

R_s = \frac{1}{\sigma\delta} = \sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}

$R_s$ 随频率升高而增大（ $R_s \propto \sqrt{\omega}$ ），因此波导在更高频率工作时，管壁损耗也会相应增加。完整的表面阻抗写作，其实部对应欧姆损耗，虚部对应表面层内的电感效应。

趋肤效应在工程中有一个直接应用：微波频段的导线或波导，其内壁只有最表面几微米参与导电，因此镀银处理（银的电导率最高）可以有效降低管壁损耗，而不必整体使用贵金属。

波导中的电磁模式

空心金属管波导中的电磁场必须满足理想导体边界条件：导体表面切向电场为零，法向磁场为零。这一约束使得电磁波只能以特定的模式（mode）传播，而不像自由空间中的任意平面波。

设波导沿 $z$ 轴延伸，场量按 $e^{\,i(kz - \omega t)}$ 形式传播。将麦克斯韦方程组对 $z$ 方向作分量分解，可以证明：横截面内的电场和磁场分量，都可以由纵向分量 $E_z$ 和完全确定。因此波导中的模式只有两类：

纵向分量满足二维亥姆霍兹方程：

\nabla_t^2 \psi + k_c^2\,\psi = 0

其中 $\psi$ 代表 $E_z$ （TM 模）或 $H_z$ （TE 模）， $\nabla_t^2$ 是横截面内的二维拉普拉斯算子，称为截止波数。纵向传播波数与的关系为：

k = \sqrt{k_0^2 - k_c^2}, \qquad k_0 = \frac{\omega}{c}

当 $k_0 < k_c$ （即工作频率低于截止频率 $\omega_c = c\,k_c$ ）时，变为纯虚数，场沿方向呈指数衰减，该模式无法传播——被截止。

波导的截止特性类似于高通滤波器：工作频率必须高于某一临界值（截止频率），对应模式才能沿波导传播。频率越低的模式其截止频率越低，最低截止频率的模式称为主模。

矩形波导的传播模式

矩形截面波导是实际中应用最广泛的波导结构，设截面尺寸为 $a\times b$ ，以 $a > b$ 为惯例。

对 TE 模， $H_z$ 满足亥姆霍兹方程并配合边界条件 $\partial H_z/\partial n\big|_{\text{wall}} = 0$ ，分离变量后得到：

H_z = H_0\cos\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right)e^{\,i(kz-\omega t)}

其中非负整数 $m,n$ 不同时为零。对应的截止波数与截止频率分别为：

k_c^{(mn)} = \pi\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}, \qquad f_c^{(mn)} = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}

对于 TM 模，边界条件变为 $E_z\big|_{\text{wall}} = 0$ ，解的形式含正弦函数，且要求 $m\geq 1,\; n\geq 1$ 。

由于 $a > b$ ，截止频率最低的模式是 $\mathrm{TE}_{10}$ 模（ $m=1,\,n=0$ ）：

f_c^{(10)} = \frac{c}{2a}

$\mathrm{TE}_{10}$ 被称为主模，工程中通常将波导设计为只有主模工作的单模状态，工作频率范围在 $f_c^{(10)}$ 到第二个模式截止频率之间。

下面列出了矩形波导中若干低阶模式的截止频率（以主模截止频率为基准）：

单模工作带宽为主模截止频率的 $1\sim2$ 倍区间（ $a=2b$ 时为 $1\sim2$ 倍频程）。

例题　标准矩形波导 WR-90 的内径尺寸为 $a = 22.86\ \mathrm{mm}$ ， $b = 10.16\ \mathrm{mm}$ ，求 $\mathrm{TE}_{10}$ 模的截止频率，以及工作频率 $f = 10 G$ 时的相速度与群速度。

截止频率：

f_c = \frac{c}{2a} = \frac{3\times10^8}{2\times0.02286} \approx 6.56\ \mathrm{GHz}

工作频率 $f = 10\ \mathrm{GHz}$ 时，频率比：

\frac{f_c}{f} = \frac{6.56}{10} = 0.656,\qquad \sqrt{1-\left(\frac{f_c}{f}\right)^2} = \sqrt{1-0.430} = \sqrt{0.570} \approx 0.755

相速度（超光速，但不携带信息）：

v_p = \frac{c}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}} = \frac{c}{0.755} \approx 1.32\,c \approx 3.97\times10^8\ \mathrm{m/s}

群速度（信号与能量传播的实际速度，小于 $c$ ）：

v_g = c\sqrt{1-\left(\frac{f_c}{f}\right)^2} = 0.755\,c \approx 2.27\times10^8\ \mathrm{m/s}

两者满足 $v_p \cdot v_g = c^2$ ，这是波导中的一个普遍关系。

波导中的相速度可以超过光速，这并不违反相对论——相速度是等相位面的移动速度，并非信号或能量的传播速度。携带信息的群速度始终小于 $c$ 。

波导中的能量传输与衰减

波导传输的功率由坡印廷矢量的截面积分给出。对于 $\mathrm{TE}_{10}$ 模，时均传输功率为：

P = \frac{ab}{4}\frac{k}{\omega\mu}\left|E_0\right|^2

其中 $E_0$ 是横向电场的峰值幅度， $k$ 是纵向波数， $\mu$ 是波导内填充介质的磁导率。

实际波导管壁并非理想导体，管壁欧姆损耗会导致场幅值沿传播方向按 $e^{-\alpha z}$ 衰减， $\alpha$ 称为衰减常数。由于趋肤效应，管壁单位长度的功率耗散 $P_{\text{loss}}/L$ 正比于表面电阻 $R_s$ 与管壁表面磁场强度的平方的积分。

对 $\mathrm{TE}_{10}$ 模，衰减常数为：

\alpha = \frac{R_s}{b\eta}\frac{1+(2b/a)(f_c/f)^2}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}

其中 $\eta = \sqrt{\mu/\varepsilon}$ 为介质波阻抗（真空中 $\eta_0 = 377\ \Omega$ ）。

下表对比了不同频率下 WR-90 铜波导（主模 $\mathrm{TE}_{10}$ ）的典型衰减：

接近截止频率时衰减急剧增大，工程上通常选择工作频率为截止频率的 $1.3\sim1.8$ 倍，以获得较低衰减与较宽带宽的折中。

波导在微波频段的传输损耗远小于同轴电缆，这是波导在雷达、卫星通信等高功率微波系统中被广泛采用的根本原因。

谐振腔与品质因数

将矩形波导两端用金属短路板封闭，就构成了矩形谐振腔。类似于弦的谐振，腔内只有满足三个方向边界条件的特定频率（本征频率）才能存在稳定的振荡模式。

矩形谐振腔（尺寸 $a\times b\times d$ ）的谐振频率为：

f_{mnp} = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2+\left(\frac{p}{d}\right)^2}

其中 $m,n,p$ 为非负整数，且不多于一个为零（对应 TE 或 TM 振荡模式）。最低谐振频率模式（ $a > b \leq d$ 时为 $\mathrm{TE}_{101}$ ）对应：

f_{101} = \frac{c}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{d^2}}

谐振腔储存的电磁能量 $W$ 在电场能量与磁场能量之间来回转换，类似于弹簧振子中动能与势能的相互转化。

描述谐振腔能量损耗的关键参数是品质因数 $Q$ （quality factor），定义为：

Q = \omega_0\frac{W}{P_{\text{loss}}} = 2\pi\frac{\text{储存的总能量}}{\text{每个周期的能量损耗}}

$Q$ 值越高，腔的选频性越好，谐振峰越尖锐。对于矩形腔的 $\mathrm{TE}_{101}$ 模：

Q_{101} = \frac{(a^2+d^2)^{3/2}\,abd}{2\delta\left[a^3(b+2d)+d^3(b+2a)\right]/4}

实际中常用近似公式说明 $Q$ 值的量级：

Q \approx \frac{V_{\text{腔}}}{\delta \cdot S_{\text{壁}}}

即 $Q$ 值约等于腔内体积 $V_{\text{腔}}$ 除以趋肤深度 $\delta$ 与腔壁面积 $S_{\text{壁}}$ 的乘积。频率升高时减小，值近似按增大。

例题　铜制矩形谐振腔，尺寸 $a = d = 3\ \mathrm{cm}$ ， $b = 2\ \mathrm{cm}$ ，求 $\mathrm{TE}_{101}$ 模的谐振频率。

f_{101} = \frac{c}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{d^2}} = \frac{3\times10^8}{2}\sqrt{\frac{1}{(0.03)^2}+\frac{1}{(0.03)^2}}

= \frac{3\times10^8}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{0.03} = \frac{3\times10^8\times1.414}{0.06} \approx 7.07\ \mathrm{GHz}

该腔的谐振频率位于 X 波段，适用于微波滤波器和振荡器设计。

光纤的多模传播

光纤是利用全反射原理在细玻璃纤维中引导光波传播的介质波导。标准光纤由纤芯（折射率 $n_1$ ）和包层（折射率 $n_2 < n_1$ ）组成。光在纤芯与包层界面以大于全反射临界角 $θ_{c} = \arcsin (n_{2} /$ 入射时，发生全反射，能量完全留在纤芯内部传播。

与金属波导类似，光纤中的光也只能以特定模式传播。决定模式数量的关键参数是归一化频率（ $V$ 数）：

V = \frac{2\pi a}{\lambda}\sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \frac{2\pi a}{\lambda}\cdot\mathrm{NA}

其中 $a$ 是纤芯半径， $\lambda$ 是真空中波长， $\mathrm{NA} = \sqrt{n_1^2-n_2^2}$ 称为数值孔径。

当 $V < 2.405$ （贝塞尔函数 $J_0$ 的第一个零点）时，光纤只支持基模 $\mathrm{HE}_{11}$ 传播，称为单模光纤。通信用单模光纤纤芯直径通常为 $8\sim10\ \mu\mathrm{m}$ ，工作波长或。

多模光纤（纤芯直径 $50\ \mu\mathrm{m}$ 或 $62.5\ \mu\mathrm{m}$ ）中可以同时传播大量模式，不同模式的群速度略有差异，导致光脉冲在传播过程中展宽，限制了可用带宽。这种效应称为模间色散，是多模光纤传输距离受限的主要因素。

光纤的传输损耗极低：1.55 μm 波长的单模光纤损耗仅约 0.2 dB/km，比铜缆低数个数量级，这使得跨洋海底光缆在无中继的情况下可传输数百公里。

练习题

选择题

题目一（知识点：趋肤效应与趋肤深度）

铜波导工作在频率 $f_1 = 1\ \mathrm{GHz}$ 时，趋肤深度为 $\delta_1 = 2.1\ \mu\mathrm{m}$ 。当频率提高到 $f_{}$ 时，铜的趋肤深度变为（　　）

A. $4.2\ \mu\mathrm{m}$ 　　B. $1.05\ \mu\mathrm{m}$ 　　C. $0.525\ \mu\mathrm{m}$ 　　D. $8.4\ \mu\mathrm{m}$

题目二（知识点：矩形波导的截止频率）

矩形波导截面宽度 $a = 4\ \mathrm{cm}$ ， $b = 2\ \mathrm{cm}$ ，真空填充。下列哪个频率可以使 $\mathrm{TE}_{10}$ 模传播，同时保持单模工作状态？（　　）

A. $3\ \mathrm{GHz}$ 　　B. $4.5\ \mathrm{GHz}$ 　　C. $6\ \mathrm{GHz}$ 　　D. $9\ \mathrm{GHz}$

题目三（知识点：波导中的相速度与群速度）

某矩形波导工作在 $\mathrm{TE}_{10}$ 模，主模截止频率为 $f_c$ ，工作频率为 $f = 1.25\,f_c$ 。以下关于相速度和群速度的说法，正确的是（　　）

A. $v_p = v_g = c$

B. $v_p < c,\; v_g < c$

C. $v_p > c,\; v_g < c,\; v_p \cdot v_g = c^2$

D. $v_p > c,\; v_g > c$

题目四（知识点：谐振腔的品质因数）

谐振腔的品质因数 $Q$ 增大时，以下变化正确的是（　　）

A. 谐振频率升高，谐振带宽增大

B. 谐振频率不变，谐振带宽减小

C. 谐振频率降低，谐振带宽减小

D. 谐振频率不变，谐振带宽增大

计算题

题目五（知识点：矩形波导截止频率与传播特性）

一段标准矩形波导，内径 $a = 2.286\ \mathrm{cm}$ ， $b = 1.016\ \mathrm{cm}$ ，填充空气（视为真空）。

（1）求 $\mathrm{TE}_{10}$ 、 $\mathrm{TE}_{20}$ 、 $\mathrm{TE}_{01}$ 、四种模式的截止频率；

（2）若工作频率为 $f = 9.0\ \mathrm{GHz}$ ，判断上述哪些模式可以传播；

（3）对于可以传播的 $\mathrm{TE}_{10}$ 模，求其相速度与群速度。

题目六（知识点：谐振腔的谐振频率与品质因数）

一个铜制立方体谐振腔，边长 $a = b = d = 3.0\ \mathrm{cm}$ ，腔内为真空，铜的电导率 $\sigma = 5.8\times10^7\ \mathrm{S/m}$ 。

（1）求 $\mathrm{TE}_{101}$ 模（即 $\mathrm{TE}_{mnp}$ 中 $m=1,n=0,p=1$ ）的谐振频率；

（2）在该谐振频率下，铜的趋肤深度 $\delta$ 是多少？

（3）利用近似估算公式 $Q \approx a/(3\delta)$ ，估算此腔的品质因数 $Q$ 。

H

z

f = 10\ \mathrm{GHz}

δ

\delta

n_{1}

)

\theta_c = \arcsin(n_2/n_1)

2

=

4

G H z

f_2 = 4\ \mathrm{GHz}

0

f_0

模式	截止频率	是否传播（ $f > f_c$ ？）
$\mathrm{TE}_{10}$	6.56 GHz	是
$\mathrm{TE}_{20}$	13.11 GHz	否
$\mathrm{TE}_{01}$	14.76 GHz	否
$\mathrm{TE}_{11}$	16.17 GHz	否