机械波

石头扔进平静的水面，一圈圈涟漪向四周扩散；人说话时声音传向远方；地震时大地振动能量穿越数千公里……这些现象背后的共同本质，就是机械波。波是振动在介质中的传播，它把能量从一个地方搬运到另一个地方，而介质本身并不随波流动。理解机械波，是掌握声学、光学乃至现代通信技术的重要出发点。

波的形成与传播

波的产生需要两个基本条件：一是振动源（产生扰动的物体），二是传播介质（弹性介质，如空气、水、固体）。

以绳波为例：将一根绳子的一端固定，用手持另一端上下抖动，手附近的绳子开始振动，这个振动通过绳子内部的弹性相互作用，依次带动相邻部分振动，振动状态就这样一级一级地向远端传播，形成绳波。

关键要明确：振动传播出去的是振动的状态（即能量和信息），而不是介质本身的迁移。绳子上每一段都在做上下振动，并未整体向右移动。这一点是理解波动的核心。

横波与纵波

根据介质质点的振动方向与波的传播方向之间的关系，机械波分为两大类。

• 横波：质点振动方向与波的传播方向垂直。绳波是典型的横波——手上下抖动（振动方向：竖直），而波沿绳子向前传播（传播方向：水平），两者相互垂直。横波在传播时，介质中会出现凸起（波峰）和凹陷（波谷）交替出现的形状。

• 纵波：质点振动方向与波的传播方向平行。声波是典型的纵波——气体分子来回振动（振动方向：前后），而声波也是向前传播的（传播方向：前后），两者平行。纵波在传播时，介质出现疏密相间的分布，疏的地方分子稀疏，密的地方分子密集。

波的基本物理量

描述一列波，需要以下几个核心物理量。

• 波长 $\lambda$：相邻两个振动状态完全相同的质点之间的距离，即一个完整波形的长度，单位为 m。在横波中，相邻两个波峰（或波谷）之间的距离就是一个波长。

• 频率 $f$：单位时间内通过某点的完整波形数，等于波源的振动频率，单位为 Hz。频率由波源决定，在波从一种介质进入另一种介质时，频率保持不变。

• 周期 $T$：波前进一个波长所需的时间，也是介质中每个质点完成一次完整振动的时间，$T = 1/f$，单位为 s。

• 波速 $v$：波在介质中传播的速度，即单位时间内波形向前推进的距离，单位为 m/s。

三者之间存在一个最基本的关系：在一个周期 $T$ 内，波正好向前传播了一个波长 $\lambda$ 的距离，因此：

$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$

这个公式是波动学中最核心的定量关系，适用于所有类型的波（机械波、电磁波、光波等）。

例题一：已知某列声波的频率为 680 Hz，在空气中的波速为 340 m/s，求该声波的波长。

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{680} = 0.5 \text{ m}$

该声波波长为 0.5 m，属于可听声波范围。

例题二：一列横波在绳子上传播，测得波长 $\lambda = 0.4$ m，周期 $T = 0.2$ s，求波速。

$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0.4}{0.2} = 2 \text{ m/s}$

波速的决定因素

波速由传播介质的性质决定，与波源的振动频率无关。同一种介质中，介质的弹性越强、密度越小，波速越大；温度升高时，气体中的声速也会增大。

$v_{\text{声}} \approx 331 + 0.6\,t \text{ (m/s)}$

其中 $t$ 是摄氏温度。在 $0°C$ 时声速约为 331 m/s，在 $20°C$ 时声速约为 $331 + 0.6\times20 = 343$ m/s，通常取 340 m/s 作近似值。

当波从一种介质进入另一种介质时，频率不变（由波源决定），但波速会改变，波长随之改变：

$\lambda = \frac{v}{f} \implies \lambda \text{ 随 } v \text{ 改变}$

例题三：声波从空气（波速 340 m/s）进入水中（波速 1480 m/s），频率不变为 500 Hz，求在水中的波长。

$\lambda_{\text{水}} = \frac{v_{\text{水}}}{f} = \frac{1480}{500} = 2.96 \text{ m}$

在空气中：$\lambda_{\text{气}} = 340/500 = 0.68$ m。进入水中后频率不变，但波速增大，波长也相应增大。

波的叠加与干涉

两列波在同一介质中传播时，在相遇的区域会同时产生影响。叠加原理指出：在相遇区域，各质点的位移等于每列波单独传播时在该点产生的位移的矢量和。两列波叠加后，各自继续传播，互不影响。

干涉是叠加的一种特殊形式。当两列频率相同、相位差恒定的波叠加时，会在空间形成稳定的强弱分布图样，称为干涉图样。

干涉的结果取决于两列波在某点引起的振动是否同步： 若两列波到达某点时振动方向始终相同（同相叠加），该点振幅最大，称为相长干涉（亮纹或响处）；若两列波到达某点时振动方向始终相反（反相叠加），该点振幅为零，称为相消干涉（暗纹或静处）。

例题四：两个完全相同的声波源 $S_1$ 和 $S_2$，频率均为 340 Hz，在空气（波速 340 m/s）中传播。P 点到 $S_1$ 的距离为 2.0 m，到 $$ 的距离为 2.5 m，判断 P 点是相长还是相消干涉。

先求波长：$\lambda = v/f = 340/340 = 1.0$ m

路程差：$\Delta d = 2.5 - 2.0 = 0.5$ m $= \dfrac{1}{2}\lambda$

路程差为半波长，属于相消干涉，P 点振幅为零，该点听不到声音。

衍射现象

波在传播过程中，遇到障碍物或小孔时，能绕过障碍物边缘继续传播，这种现象称为衍射（绕射）。

衍射是波特有的现象，不是直线传播时所能解释的。声音能绕过墙角传到室内，无线电波能绕过山丘传播，都是衍射的体现。

衍射明显与否，取决于障碍物（或小孔）的尺寸与波长的相对大小：

$\text{障碍物（或小孔）尺寸} \leq \lambda \implies \text{衍射明显}$

$\text{障碍物（或小孔）尺寸} \gg \lambda \implies \text{衍射不明显，近似直线传播}$

多普勒效应

当波源与观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的发射频率不同，这种现象称为多普勒效应。

规律很直观：波源向观察者靠近时，接收频率升高（音调变高）；波源远离时，接收频率降低（音调变低）。

生活中最典型的例子：救护车鸣笛迎面驶来时，听到的音调较高；救护车驶过后远去，音调明显降低。汽车鸣笛驶过路口时，旁观者同样能听到这种“由高到低”的音调变化，这就是多普勒效应的直接体验。

定量来说，若波速为 $v$，波源频率为 $f_0$，波源相对介质的速度为 $v_s$（靠近为正），观察者相对介质的速度为 $v_o$（靠近波源为正），则观察者接收到的频率为：

$f = f_0 \cdot \frac{v + v_o}{v - v_s}$

例题五：一辆救护车以 $v_s = 20$ m/s 的速度向静止的行人驶来，车上警报器频率 $f_0 = 800$ Hz，空气中声速 $v = 340$ m/s，求行人听到的频率。

$f = f_0 \cdot \frac{v}{v - v_s} = 800 \times \frac{340}{340 - 20} = 800 \times \frac{340}{320} = 800 \times 1.0625 = 850 \text{ Hz}$

行人听到的频率为 850 Hz，比原声高约 50 Hz，音调明显升高。

多普勒效应的实际应用极为广泛：

练习题

1. 关于机械波的传播，下列说法正确的是（　　）

A．波传播时，介质中的质点随波一起向前移动

B．横波中，质点的振动方向与波的传播方向垂直

C．机械波可以在真空中传播

D．波的频率由传播介质决定，与波源无关

2. 一列声波在空气中传播时，波速 $v = 340$ m/s，波长 $\lambda = 0.68$ m，当该声波从空气进入水中（声速 1360 m/s）时，下列说法正确的是（　　）

A．频率变小，波长不变

B．频率不变，波长变大

C．频率变大，波速不变

D．波速不变，频率变大

3. 两列频率相同的声波在同一介质中传播，在空间某点 P，两列波到达该点的路程差为 $1.5\lambda$（$\lambda$ 为波长），则该点发生的是（　　）

A．相长干涉，振幅最大

B．相消干涉，振幅为零

C．无法判断，因为不知道频率大小

D．两列波在 P 点互相抵消后消失

4. 关于多普勒效应，下列说法正确的是（　　）

A．多普勒效应只发生在声波中，光波不存在多普勒效应

B．波源向观察者运动时，观察者接收到的频率低于波源频率

C．利用多普勒效应可以测量运动物体的速度

D．多普勒效应中，波源的振动频率发生了改变

5.（计算题） 一列机械横波沿水平绳子向右传播，已知波速 $v = 6$ m/s，频率 $f = 3$ Hz。

（1）求该波的波长 $\lambda$；

（2）求该波的周期 $T$；

（3）若绳子上某质点此时的位移为振幅的一半，经过半个周期后，该质点的位移大小是多少（设振幅为 $A$）？

6.（计算题） 一辆汽车以 $v_{\text{车}} = 25$ m/s 的速度匀速驶向静止在路边的测速雷达。雷达发射频率为 $f_0 = 5.0\times10^9$ Hz 的无线电波，无线电波的波速为 m/s。

（1）求雷达发射的无线电波的波长；

（2）汽车接收到雷达信号的频率 $f_1$（汽车相当于运动的观察者靠近波源）；

（3）若汽车将接收到的信号以频率 $f_1$ 反射回去，雷达接收到反射波的频率 $f_2$ 是多少？（此时汽车相当于运动的波源靠近静止的雷达）

（2）周期

$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \text{ s}$

（3）经过半个周期后的位移

简谐运动中，质点的位移随时间按余弦（或正弦）规律变化。半个周期后，质点完成半次完整振动，回到对称位置。

设此时位移为 $x_0 = \dfrac{A}{2}$（正方向），根据余弦函数的对称性：

经过半个周期 $\dfrac{T}{2}$ 后，位移变为 $-x_0 = -\dfrac{A}{2}$。

位移大小仍为 $\dfrac{A}{2}$（方向相反）。

（1）波长 $\lambda =$ 2 m；（2）周期 $T \approx$ 0.33 s；（3）经过半个周期，位移大小仍为 $\dfrac{A}{2}$，方向与原来相反。

（2）汽车接收到的频率 $f_1$

汽车（观察者）以 $v_o = 25$ m/s 靠近静止的雷达（波源），由多普勒公式：

$f_1 = f_0 \cdot \frac{c + v_o}{c} = 5.0\times10^9 \times \frac{3\times10^8 + 25}{3\times10^8}$

$f_1 = 5.0\times10^9 \times \left(1 + \frac{25}{3\times10^8}\right) \approx 5.0\times10^9 \times 1.0000000833$

$f_1 \approx 5.000000417\times10^9 \text{ Hz}$

频率增大了约 $\Delta f = f_0 \cdot \dfrac{v_o}{c} = 5.0\times10^9 \times \dfrac{25}{3\times10^8} \approx 417 \text{ Hz}$

（3）雷达接收到的反射频率 $f_2$

现在汽车以 $f_1$ 发射信号（可近似为 $f_0$），并以 $v_s = 25$ m/s 向静止的雷达靠近：

$f_2 = f_1 \cdot \frac{c}{c - v_s} \approx f_0 \cdot \frac{c}{c - v_s} = 5.0\times10^9 \times \frac{3\times10^8}{3\times10^8 - 25}$

$f_2 \approx 5.0\times10^9 \times \left(1 + \frac{25}{3\times10^8}\right) \approx 5.000000417\times10^9 \text{ Hz}$

总频率差（发射与接收之差）：

$\Delta f = f_2 - f_0 \approx 2f_0 \cdot \frac{v_{\text{车}}}{c} = 2 \times 5.0\times10^9 \times \frac{25}{3\times10^8} \approx 833 \text{ Hz}$

雷达正是通过测量这个频率差 $\Delta f$，反算出车速 $v_{\text{车}} = \dfrac{\Delta f \cdot c}{2f_0}$，这就是多普勒测速的基本原理。

（1）波长 $\lambda =$ 0.06 m；（2）$f_1 \approx 5.0\times10^9 + 417$ Hz；（3）$f_2 \approx 5.0\times10^9 + 833$ Hz，频差约 833 Hz，可由此计算车速。