电磁场的能量与动量

静电场对电荷有力的作用，稳恒磁场对电流和运动电荷也有力的作用。做功与能量转移必然伴随其中。把能量看成只贮存在电荷或电流上并不完整——麦克斯韦理论表明，能量可以分布在电场与磁场占据的空间里，并且能够以电磁波的形式在空间流动。坡印廷矢量描述这种能流；光与电磁波照到物体表面时，还会产生辐射压力，与光子的动量相联系。下面从能量密度出发，逐步建立这一整套图像。

电场与磁场的能量密度

在真空中，电场强度为 $\vec{E}$ 的区域，单位体积内贮存的电场能量由电场能量密度 $u_E$ 表示：

$u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

其中 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F/m}$ 为真空介电常量，$E = |\vec{E}|$ 为电场大小。同理，磁感应强度为 的区域，为：

$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$

其中 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{H/m}$ 为真空磁导率，$B = |\vec{B}|$。若同一空间同时存在电场和磁场，总电磁能量密度为两者之和：

$u = u_E + u_B = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$

下表归纳了两种能量密度的公式、量纲及典型数量级对比的思路（具体数值随 $E$、$B$ 而变）：

示例一：平行板电容器两极板间为匀强电场，场强大小 $E = 2.0 \times 10^5\ \text{V/m}$，求电场能量密度。

$u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times (2.0 \times 10^5)^2 \approx 0.177\ \text{J/m}^3$

示例二：长直螺线管内部近似匀强磁场，$B = 0.50\ \text{T}$，求磁场能量密度。

$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(0.50)^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} \approx 9.95 \times 10^4\ \text{J/m}^3$

对比可见，在常见实验室强度下，磁场往往能在局部空间集中更高的能量密度；而弱电场区域的 $u_E$ 可以非常小。讨论问题时，应针对具体 $E$、$B$ 代入计算，不宜笼统比较。

从电容器贮能到体积积分

平行板电容器电容为 $C$，带电 $Q$ 时，教材中给出的贮能为 $W = \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{1}{2}CU^2$。把极板间电场视为匀强场，场强 ，极板间体积 ，则总电场能量也可写成对 的积分：

$W = \int u_E\,\mathrm{d}V = u_E \cdot S d = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \cdot S d$

将 $E = U/d$、平行板 $C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ 代入，可验证该式与 $$ 一致。这说明。

示例三：极板面积 $S = 0.02\ \text{m}^2$，板间距 $d = 1.0\ \text{mm}$ 的真空平行板电容器，充电至 $U = 100\ \text{V}$。先求 $E = U/d$，再求 与总电能 。

$E = \frac{U}{d} = \frac{100}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5\ \text{V/m}$

$u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \approx \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{10} \approx 4.43 \times 10^{-2}\ \text{J/m}^3$

$W = u_E \cdot S d \approx 4.43 \times 10^{-2} \times 0.02 \times 10^{-3} \approx 8.9 \times 10^{-7}\ \text{J}$

与 $W = \dfrac{1}{2}CU^2$、$C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ 直接算出的结果相同，两种角度互相印证。

坡印廷矢量与能流密度

电磁波或一般电磁场中，能量在空间流动。坡印廷矢量定义为：

$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E} \times \vec{B}$

其大小表示单位时间通过单位截面的电磁能量，即能流密度，单位是 $\text{W/m}^2$（与光强同量纲）。$\vec{S}$ 的方向就是能量传播方向：对平面电磁波，$\vec{E}$、 与传播方向两两垂直，且满足真空中的波阻抗关系 。

下面列出坡印廷矢量与相关量的要点：

示例四：在真空中一列平面电磁波，某时刻某点 $E = 600\ \text{V/m}$，$B = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{T}$，且 $\vec{E} \perp \vec{B}$。估算坡印廷矢量大小。

$S = \frac{1}{\mu_0}EB = \frac{600 \times 2.0 \times 10^{-6}}{4\pi \times 10^{-7}} = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7}} \approx 955\ \text{W/m}^2$

该数量级与太阳光在地面附近的能流密度可比（晴天直射约 $1000\ \text{W/m}^2$ 量级），便于建立直观尺度。

示例五：直流电路中，导线表面外侧附近 $\vec{E}$ 沿导线方向有切向分量（与电流、电阻上的电压对应），$\vec{B}$ 环绕电流；在电源外部导体附近，$$ 指向导体内部或沿能量从电源传向负载的方向。不必死记箭头细节，核心认识是：，焦耳热来自电磁能流进入导体后转化为内能。

真空平面电磁波中的能量配比

真空中沿 $z$ 方向传播的平面电磁波，电场与磁场振幅满足 $|E|/|B| = c$。此时对任一瞬间、任一位置，电场能量密度与磁场能量密度数值相等：

$u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{2\mu_0} = u_B$

因此总电磁能量密度 $u = u_E + u_B$ 中，电、磁两部分各占一半。这与坡印廷矢量描述的能量传播图像一致：波向前推进时，电场能与磁场能同步交换、共同向前传递，而不是其中一种单独承担全部能量。

示例（估算）：若 $|E| = 300\ \text{V/m}$，则 $|B| = |E|/c \approx 10^{-6}\ \text{T}$。代入 $$、 两式可验算两者相等。这一关系在理解光的能量分配以及辐射压与光子动量时，可作为衔接。

辐射压力与光子动量

电磁波照射物体时，动量随能量一起到达表面，表现为辐射压力。完全吸收时，法向入射的平均辐射压强与能流密度（或平均坡印廷矢量大小）$\langle S \rangle$ 的关系常写为：

$p_{\text{吸收}} = \frac{\langle S \rangle}{c}$

完全反射（法向入射）时，动量改变加倍：

$p_{\text{反射}} = \frac{2\langle S \rangle}{c}$

光子图像下，单个光子能量 $E_\gamma = hf$，动量大小为：

$p = \frac{E_\gamma}{c} = \frac{hf}{c}$

这与相对论中静质量为零的粒子能量动量关系 $E = pc$ 一致。大量光子统计结果与波动说的辐射压一致。

示例六：太阳正对地球轨道处的能流密度约 $\langle S \rangle = 1.36 \times 10^3\ \text{W/m}^2$。若某航天器太阳帆对太阳光完全反射，帆面与阳光垂直，求辐射压强。

$p = \frac{2\langle S \rangle}{c} = \frac{2 \times 1.36 \times 10^3}{3.0 \times 10^8} \approx 9.1 \times 10^{-6}\ \text{Pa}$

压强虽小，但大面积帆在长时间累积下仍可产生可观加速度，太阳帆任务正是利用这一效应。

练习题

选择题

1. 真空中某区域电场能量密度与磁场能量密度相等，则 $E$ 与 $B$ 满足（　　）

A. $E = B$

B. $\dfrac{E}{B} = c$

C. $\dfrac{E}{B} = \sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$

D. $\dfrac{E}{B} = \varepsilon_0 \mu_0$

2. 坡印廷矢量 $\vec{S} = \dfrac{1}{\mu_0}\vec{E} \times \vec{B}$ 的单位与下列哪个物理量的单位相同（　　）

A. 能量 $W$

B. 功率 $P$

C. 电场强度 $E$

D. 能流密度（单位面积上的功率）

3. 用平行光垂直照射一块完全吸收光的平板，能流密度为 $\langle S \rangle$，则光对板产生的辐射压强为（　　）

A. $\langle S \rangle / c$

B. $2\langle S \rangle / c$

C. $\langle S \rangle \cdot c$

D. $\langle S \rangle^2 / c$

4. 频率为 $f$ 的光子，其动量大小为（　　）

A. $hf$

B. $hf/c$

C. $h/f$

D. $c/hf$

计算题

5. 真空中一匀强电场区域，$E = 3.0 \times 10^4\ \text{V/m}$，该区域内有一立方体盒子，边长 $a = 0.10\ \text{m}$，盒子内充满该电场。求盒子内贮存的电场能量。

6. 某激光束横截面积 $A = 2.0\ \text{mm}^2$，平均功率 $P = 0.60\ \text{W}$，光束在真空中传播。求平均能流密度 $\langle S \rangle$；若该光束垂直入射到完全吸收的表面，求辐射压强。

$u_E = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.0 \times 10^8 \approx 3.98 \times 10^{-3}\ \text{J/m}^3$

体积 $V = a^3 = (0.10)^3 = 1.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^3$，总能量：

$W = u_E V \approx 3.98 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \approx 3.98 \times 10^{-6}\ \text{J}$

即约 $4.0 \times 10^{-6}\ \text{J}$。

完全吸收，辐射压强：

$p_{\text{吸收}} = \frac{\langle S \rangle}{c} = \frac{3.0 \times 10^5}{3.0 \times 10^8} = 1.0 \times 10^{-3}\ \text{Pa}$

能流密度为 $3.0 \times 10^5\ \text{W/m}^2$，辐射压强为 $1.0 \times 10^{-3}\ \text{Pa}$。