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分析力学与拉格朗日方程

从牛顿力学出发处理复杂系统时，常常需要求解大量约束力。以一根细绳悬挂的单摆为例，绳子的张力虽然始终存在，却对摆的运动轨迹毫无贡献——我们真正关心的只有摆角随时间的变化。分析力学正是从这一角度出发：抛开约束力，选取最自然的独立变量来描述系统状态，将运动方程的推导变成一套统一的算法。拉格朗日方程是这套算法的核心，它适用于从单摆到多体系统、从平面运动到三维转动的各类力学问题。

广义坐标与自由度

描述一个力学系统的状态，需要给出系统中各质点的位置。然而，对于有约束的系统，各质点的坐标之间存在约束方程，真正独立的变量数往往远少于所有坐标的总数。

系统真正独立的运动自由数称为自由度，记为 $s$ 。对于包含 $N$ 个质点、受到 $k$ 个完整约束的系统：

s = 3N - k

用来完整描述系统构型的 $s$ 个独立变量 $q_1, q_2, \ldots, q_s$ 就称为广义坐标。广义坐标不必是直角坐标，可以是角度、面积、比值等任何能区分不同构型的量，只要满足独立性和完备性即可。

例一：单摆的广义坐标

质量为 $m$ 、摆长为 $l$ 的单摆，约束为 $x^2 + y^2 = l^2$ （摆长固定）。系统自由度，选取摆角作为唯一广义坐标。质点位置由完全确定：

x = l\sin\theta, \quad y = -l\cos\theta

这样，原本需要两个坐标描述的问题简化为一个广义坐标的问题，约束力（绳的张力）也自动从方程中消失。

拉格朗日函数

用广义坐标描述系统后，引入一个关键量——拉格朗日函数（简称拉氏量），定义为系统动能与势能之差：

L = T - V

其中 $T$ 是系统的总动能， $V$ 是系统的总势能， $L$ 是广义坐标 $q_i$ 、广义速度 $\dot{q}_i$ 和时间的函数：。

拉格朗日函数 $L = T - V$ 本身没有直接的物理“含义”，它是一个构造出来的数学工具。真正重要的是：由 $L$ 出发，通过拉格朗日方程可以自动给出正确的运动方程，而无需显式处理约束力。

例二：单摆的拉格朗日函数

以摆角 $\theta$ 为广义坐标，取悬挂点为势能零点（向下为负）。质点位置为 $(l\sin\theta,\, -l\cos\theta)$ ，速度大小为 $l\dot{\theta}$ ，因此：

T = \frac{1}{2}m(l\dot{\theta})^2 = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2

V = -mgl\cos\theta

L = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta

注意势能中取负号，是因为以悬挂点为零点时，质点位于 $y = -l\cos\theta$ 处，重力势能为 $V = mg(-l\cos\theta) = -mgl\cos\theta$ （取向上为正）。

哈密顿原理

分析力学的理论基础是哈密顿原理（也称最小作用量原理）。它不从力出发，而是从一个积分量——作用量出发，给出系统运动规律的变分表述。

定义从时刻 $t_1$ 到 $t_2$ 的作用量为：

S = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt

哈密顿原理陈述如下：在所有满足边界条件（即两端固定 $q_i(t_1)$ 和 $q_i(t_2)$ ）的可能路径中，真实运动的路径使作用量取驻值（通常为极小值），即：

\delta S = \delta\int_{t_1}^{t_2} L\,dt = 0

这里 $\delta$ 表示变分——对路径做微小扰动，但两端固定。哈密顿原理将运动规律从“力的方程”提升为“对全局路径的整体描述”，是分析力学最深刻的出发点。

哈密顿原理本质上说的是：自然界中的运动总是沿着“作用量取极值”的路径进行。这一思想与光学中的费马原理（光沿光程最短路径传播）有深刻的类比，体现了自然定律的极值性质。

拉格朗日方程的推导

从哈密顿原理出发，通过变分运算可以推导出拉格朗日方程。对作用量做变分，将 $\delta S = 0$ 展开，利用分部积分和边界条件（两端固定， $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$ ），最终得到对每个广义坐标成立的方程：

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, s

这就是拉格朗日方程，也称欧拉-拉格朗日方程。对于有 $s$ 个自由度的系统，共有 $s$ 个这样的方程，恰好对应 $s$ 个广义坐标。

拉格朗日方程的使用步骤：第一步写出系统的动能 $T$ 和势能 $V$ ，构造 $L = T - V$ ；第二步对每个广义坐标 $q_i$ 分别计算和；第三步代入方程，即可得到运动方程。

例三：用拉格朗日方程推导单摆方程

由例二已知 $L = \dfrac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta$ ，广义坐标为。

计算各偏导数：

\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}, \quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\ddot{\theta}

\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl\sin\theta

代入拉格朗日方程：

ml^2\ddot{\theta} - (-mgl\sin\theta) = 0 \implies \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

与上一部分内容用达朗贝尔原理得到的结果完全一致，但推导过程更加系统，约束力（绳的张力）始终未出现。

例四：弹簧-滑块在斜面上运动

质量为 $m$ 的滑块沿倾角为 $\alpha$ 的光滑斜面运动，通过劲度系数为 $k$ 的弹簧连接在斜面上方的固定点，弹簧自然长度为 $l_0$ 。取滑块沿斜面的位移 $x$ （从弹簧自然长度位置量起，沿斜面向下为正）为广义坐标。

动能： $T = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$

势能包括弹性势能和重力势能：

V = \frac{1}{2}kx^2 - mgx\sin\alpha

拉格朗日函数：

L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2 + mgx\sin\alpha

代入拉格朗日方程：

m\ddot{x} = -kx + mg\sin\alpha

令 $x_0 = mg\sin\alpha/k$ （平衡位置偏移量），令 $X = x - x_0$ ，方程化为标准简谐振动形式：

m\ddot{X} = -kX, \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

斜面的约束力（法向力）完全没有出现，方程自然给出了绕平衡位置的简谐振动。

守恒定理与循环坐标

拉格朗日方程将守恒定律与坐标的对称性紧密联系起来，这是分析力学最优美的特征之一。

循环坐标（可遗忘坐标）：若拉格朗日函数对某个广义坐标 $q_j$ 不显含（即 $\partial L/\partial q_j = 0$ ），则称 $q_j$ 为循环坐标。由拉格朗日方程：

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = 0 \implies p_j \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \text{常数}

对应的广义动量 $p_j$ 守恒。三种最常见的守恒定律对应关系如下：

对称性	循环坐标	守恒量	物理含义
空间平移不变	某方向位移 $q = x$	线动量 $p_x = m\dot{x}$	该方向无外力
空间旋转不变	方位角 $\phi$	角动量

能量函数与能量守恒：定义能量函数（哈密顿量的前身）为：

h = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L

当拉格朗日函数不显含时间（ $\partial L/\partial t = 0$ ），可以证明 $dh/dt = 0$ ，即 $h$ 守恒。对于保守系统（动能是广义速度的二次齐次函数，势能与速度无关）， $h = T + V = E$ ，即机械能守恒。

例五：平面极坐标下的自由粒子

质量为 $m$ 的粒子在平面内自由运动（无势能），用极坐标 $(r, \phi)$ 描述：

T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2), \quad V = 0

L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2)

观察到 $L$ 不含 $\phi$ ，故 $\phi$ 为循环坐标，对应守恒的广义动量为：

p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mr^2\dot{\phi} = \text{常数}

这正是粒子对原点的角动量 $L_z$ ，它的守恒来源于系统关于原点的旋转对称性。

拉格朗日方程的典型应用

二维各向同性谐振子

质量为 $m$ 的质点在平面内受弹性力约束，弹力指向原点，弹性系数均为 $k$ （各向同性）。用笛卡尔坐标 $(x, y)$ ：

T = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2), \quad V = \frac{1}{2}k(x^2 + y^2)

L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - \frac{1}{2}k(x^2 + y^2)

对 $x$ 和 $y$ 分别写出拉格朗日方程：

m\ddot{x} + kx = 0, \quad m\ddot{y} + ky = 0

两个方向的振动相互独立，固有角频率均为 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 。通解为：

x(t) = A_1\cos(\omega_0 t + \varphi_1), \quad y(t) = A_2\cos(\omega_0 t + \varphi_2)

当相位差 $\varphi_1 - \varphi_2 = 0$ 或 $\pi$ 时，轨迹为直线；当 $\varphi_1 - \varphi_2 = \pm\pi/2$ 且时，轨迹为圆。

平面双摆

平面双摆由两段摆组成：第一段摆长 $l_1$ 、质量 $m_1$ ，第二段通过铰链连接在第一段末端，摆长 $l_2$ 、质量 $m_2$ 。以两段摆的偏转角、（均相对于竖直方向）为广义坐标，系统有两个自由度。

第一个质点的坐标：

x_1 = l_1\sin\theta_1, \quad y_1 = -l_1\cos\theta_1

第二个质点的坐标（注意坐标叠加）：

x_2 = l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2, \quad y_2 = -l_1\cos\theta_1 - l_2\cos\theta_2

动能为：

T = \frac{1}{2}m_1 l_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\left[l_1^2\dot{\theta}_1^2 + l_2^2\dot{\theta}_2^2 + 2l_1 l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1 - \theta_2)\right]

势能为：

V = -(m_1 + m_2)gl_1\cos\theta_1 - m_2 gl_2\cos\theta_2

对 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 分别写出拉格朗日方程，即得双摆的运动方程（方程较复杂，此处略去展开式）。双摆方程的非线性耦合使其在较大振幅下表现出混沌行为，是经典力学中混沌现象的典型例子。

双摆在小角度下可以近似为两个耦合的简谐振子，方程变为线性，可以用矩阵方法求解简正模式（将在振动理论部分详细讨论）。一旦角度较大，运动将变得极度敏感于初始条件，微小的初始差异会导致运动轨迹的巨大偏离。

例六：两质量弹簧耦合系统

两个质量均为 $m$ 的滑块排列在光滑水平面上，两侧各通过劲度系数为 $k$ 的弹簧固定于墙壁，中间通过劲度系数为 $k'$ 的弹簧相连。取两滑块偏离各自平衡位置的位移 $x_1$ 、 $x_2$ 为广义坐标：

T = \frac{1}{2}m\dot{x}_1^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}_2^2

V = \frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}k'(x_2 - x_1)^2

分别对 $x_1$ 、 $x_2$ 写拉格朗日方程：

m\ddot{x}_1 = -kx_1 + k'(x_2 - x_1)

m\ddot{x}_2 = -kx_2 - k'(x_2 - x_1)

引入简正坐标 $q_+ = x_1 + x_2$ （同相模式）和 $q_- = x_1 - x_2$ （反相模式），两个方程解耦：

m\ddot{q}_+ = -kq_+, \quad \omega_+ = \sqrt{\frac{k}{m}}

m\ddot{q}_- = -(k + 2k')q_-, \quad \omega_- = \sqrt{\frac{k + 2k'}{m}}

同相模式中两滑块同步运动，中间弹簧不伸缩，频率较低；反相模式中两滑块反向运动，中间弹簧压缩/拉伸最大，频率较高。

练习题

1. 一个质点在平面内运动，用极坐标 $(r, \phi)$ 描述，若拉格朗日函数为 $L = \dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) - V(r)$ ，则下列说法正确的是：

A. $r$ 是循环坐标，对应的广义动量守恒

B. $\phi$ 是循环坐标，对应的广义动量 $p_\phi = mr^2\dot{\phi}$ 守恒

C. 两个广义动量都守恒

D. 两个广义动量都不守恒

答案：B

分析：循环坐标的判断依据是 $\partial L/\partial q_j = 0$ 。检查 $\partial L/\partial \phi$ ：由于 $L$ 中不含 $\phi$ （只含），故，是循环坐标，对应广义动量守恒，这正是角动量守恒。而（一般情况下），不是循环坐标，对应的方向动量不守恒。故选 B。

2. 关于广义坐标，下列说法正确的是：

A. 广义坐标必须是直角坐标系中的位置分量

B. 广义坐标的数目等于系统中质点的总数

C. 广义坐标的数目等于系统的自由度数，可以是角度、弧长等任意形式

D. 广义速度的量纲必须是 $\mathrm{m/s}$

答案：C

分析：广义坐标的选取是灵活的，只要能够完整描述系统的构型即可，不必是直角坐标，可以是角度、弧长、面积等，因此 A、D 错误。广义坐标的数目等于系统的自由度 $s = 3N - k$ ，而不是质点数 $N$ （有约束时 $s < 3N$ ），故 B 错误。C 正确。例如单摆的广义坐标是摆角 $\theta$ ，广义速度 $\dot{\theta}$ 的量纲是，而非。

3. 哈密顿原理（最小作用量原理）中，作用量 $S = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt$ 的“驻值条件”意味着：

A. 真实运动路径使作用量为零

B. 在满足边界条件的所有路径中，真实路径使作用量的一阶变分为零

C. 真实运动路径总是使作用量取极大值

D. 只有保守系统才能用哈密顿原理描述

答案：B

分析：哈密顿原理要求 $\delta S = 0$ ，即在两端时刻 $t_1$ 、 $t_2$ 处坐标固定的前提下，对路径做任意微小变动，作用量的一阶变分为零（驻值条件），不要求作用量本身为零（排除 A）。驻值可以是极小、极大或鞍点，并非必然是极小（排除 C 中的“总是极大值”）。对于非保守力（如摩擦力），如果用“广义势”等方法引入，哈密顿原理也可以推广，排除 D。故选 B。

4. 对于不显含时间的拉格朗日函数（ $\partial L / \partial t = 0$ ），能量函数 $h = \sum_i \dot{q}_i \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L$ 满足：

A. $h$ 一定等于动能 $T$

B. $h$ 随时间变化，不守恒

C. $h$ 守恒，且当动能是广义速度的二次齐次函数、势能不含速度时， $h = T + V$

D. $h$ 守恒，但 $h$ 始终为负值

答案：C

分析：当 $\partial L/\partial t = 0$ 时，可以直接对 $h$ 求时间导数并利用拉格朗日方程，证明 $dh/dt = 0$ ，即 $h$ 守恒，排除 B 和 D（ $h$ 可正可负，取决于初始能量）。当是广义速度的二次齐次函数时，由欧拉齐次函数定理；若不含速度，则，故，即机械能。不等于（排除 A），故选 C。

5. 质量为 $m = 1\,\mathrm{kg}$ 、摆长为 $l = 1\,\mathrm{m}$ 的单摆，用拉格朗日方程推导其运动方程，并在小角度近似下求固有角频率 $\omega_0$ 和周期 $T$ （取）。

解：

取悬挂点为势能零点，摆角 $\theta$ 为广义坐标。

动能： $T = \dfrac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2$

6. 两个质量均为 $m = 0.5\,\mathrm{kg}$ 的滑块在光滑水平面上，分别通过劲度系数 $k = 8\,\mathrm{N/m}$ 的弹簧连接到两侧固定墙壁，两滑块之间通过劲度系数 $k' = 4\,\mathrm{N/m}$ 的弹簧相连。用拉格朗日方程求出两个简正模式的角频率和。

解：

设两滑块偏离平衡位置的位移分别为 $x_1$ 、 $x_2$ （向右为正），作为广义坐标。

动能：

T = \frac{1}{2}m\dot{x}_1^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}_2^2

s = 2 - 1 = 1

s = 2 - 1 = 1

\partial L / \partial {\dot{q}}_{i}

\partial L/\partial \dot{q}_i

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