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哈密顿–雅可比理论与作用量-角变量

在正则变换理论中，最理想的目标是找到一个变换，使新哈密顿量变为零——这样所有新变量都是常数，运动方程直接积分完毕。哈密顿–雅可比理论正是实现这一想法的系统方法：它将求解运动方程的问题转化为求解一个偏微分方程。在此基础上，作用量-角变量进一步为周期运动的频率分析提供了极为简洁的工具，开普勒行星运动的轨道周期也可以用这套方法优雅地推导出来。

哈密顿–雅可比方程

在第二类生成函数 $F_2 = S(q_1,\ldots,q_n;\alpha_1,\ldots,\alpha_n;t)$ 中， $\alpha_i$ 为新广义动量（取为常数）。若要求新哈密顿量恒等于零：

K = H + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

将变换关系 $p_i = \partial S/\partial q_i$ 代入，就得到关于 $S$ 的偏微分方程：

H\!\left(q_1,\ldots,q_n;\;\frac{\partial S}{\partial q_1},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_n};\;t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

这就是哈密顿–雅可比方程，函数 $S(q,\alpha,t)$ 称为哈密顿主函数。

新广义动量 $\alpha_i$ 是 $n$ 个任意积分常数，通常由初始条件确定；新广义坐标 $\beta_i = \partial S/\partial\alpha_i$ 要么是常数，要么随时间线性变化。新哈密顿量意味着新变量在整个运动过程中保持不变。

一旦求得 $S(q,\alpha,t)$ ，从 $\beta_i = \partial S/\partial\alpha_i = \text{常数}$ 反解出，再由得到，运动轨迹便完全确定。

谐振子的哈密顿–雅可比求解

以一维谐振子为例，哈密顿量为：

H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2

将 $p = \partial S/\partial q$ 代入哈密顿–雅可比方程：

\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

由于 $H$ 不显含时间，尝试分离时间变量，令：

S(q,\alpha,t) = W(q,\alpha) - \alpha t

其中 $\alpha$ 是常数，代入后时间部分与空间部分各自独立，得到关于 $W$ 的常微分方程：

\frac{1}{2m}\left(\frac{dW}{dq}\right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = \alpha = E

这里 $\alpha$ 的物理意义正是系统的总能量 $E$ 。解出 $dW/dq$ ：

\frac{dW}{dq} = \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}

积分得 $W(q,E) = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}\;dq$ ，哈密顿主函数为。

新坐标 $\beta = \partial S/\partial\alpha = \partial W/\partial E - t$ ，它是常数，记为 $\beta = -t_0$ 。由对积分，利用换元可以完成积分，最终恢复出：

q(t) = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\sin\!\left(\omega t + \varphi_0\right)

振幅 $A = \sqrt{2E/(m\omega^2)}$ ，初相位 $\varphi_0$ 由初始条件确定，结果与直接求解运动方程完全一致。

例一：自由粒子的哈密顿主函数

质量为 $m$ 的自由粒子， $H = p^2/(2m)$ ，哈密顿–雅可比方程为：

\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^2 + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

设 $S = \alpha q - \alpha^2 t/(2m)$ （ $\alpha$ 为常数），验证： $\partial S/\partial q = \alpha$ ，，代入方程两边恰好为零。新坐标，立即给出匀速运动：

q(t) = \beta + \frac{\alpha}{m}t

速度 $v = \alpha/m = p/m$ ，与牛顿力学完全吻合。

哈密顿特征函数

当哈密顿量不显含时间（能量守恒系统）时，时间变量可以统一分离：

S(q,\alpha,t) = W(q,\alpha) - \alpha_1 t

其中 $\alpha_1 = E$ 为系统总能量，函数 $W(q,\alpha)$ 称为哈密顿特征函数，满足时间无关的方程：

H\!\left(q_1,\ldots,q_n;\;\frac{\partial W}{\partial q_1},\ldots,\frac{\partial W}{\partial q_n}\right) = E

哈密顿主函数 $S$ 与哈密顿特征函数 $W$ 的区别： $S$ 生成的正则变换使新哈密顿量为零（新变量全为常数）； $W$ 生成的正则变换则使新哈密顿量只依赖新动量 $\alpha_i$ ，所有新坐标变为循环坐标，新坐标随时间线性增长，变化率即为该方向的运动频率。

用 $W$ 生成正则变换后，新运动方程为：

\dot{\alpha}_i = 0, \quad \dot{\beta}_i = \frac{\partial H(\alpha)}{\partial \alpha_i} = \nu_i = \text{常数}

$\beta_i$ 随时间以速率 $\nu_i$ 均匀增长， $\nu_i = \partial H/\partial\alpha_i$ 的物理意义正是第个自由度的运动频率（单位：）。

变量分离法

当哈密顿量可以写成各坐标分量之和时，哈密顿–雅可比方程可以逐变量分离。设哈密顿量满足：

H = H_1(q_1, p_1) + H_2(q_2, p_2) + \cdots + H_n(q_n, p_n)

则哈密顿特征函数也相应分解为：

W(q_1,\ldots,q_n;\alpha) = W_1(q_1,\alpha_1) + W_2(q_2,\alpha_1,\alpha_2) + \cdots + W_n(q_n,\alpha_1,\ldots,\alpha_n)

每个 $W_i$ 满足独立的常微分方程，问题化为 $n$ 个单变量积分，求解难度大为降低。

例二：二维各向同性谐振子的变量分离

哈密顿量 $H = (p_x^2 + p_y^2)/(2m) + m\omega^2(x^2+y^2)/2$ ，在直角坐标下自然分离为：

H = \underbrace{\frac{p_x^2}{2m}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}}_{H_x} + \underbrace{\frac{p_y^2}{2m}+\frac{m\omega^2 y^2}{2}}_{H_y}

令 $W = W_x(x,\alpha_x) + W_y(y,\alpha_y)$ ，要求，，总能量。两个方向分别独立地满足一维谐振子的特征函数方程，各自积分求解，互不干扰。

例三：带中心势的平面运动

粒子在中心势 $V(r)$ 中运动，用极坐标 $(r,\theta)$ ， $H = p_r^2/(2m) + p_\theta^2/(2mr^2) + V(r)$ 。由于是循环坐标，，令，则满足：

\frac{1}{2m}\left(\frac{dW_r}{dr}\right)^2 + \frac{l^2}{2mr^2} + V(r) = E

这是关于 $r$ 的一维方程，直接积分可得 $W_r$ ，整个问题由此化为求两个积分，大大简化了计算。

单自由度的作用量-角变量

对在势阱中来回振荡的周期运动，定义作用量变量（单位： $\mathrm{J\cdot s}$ ）：

J = \oint p\;dq

积分沿相空间中的一条封闭轨道（恰好完成一个完整周期）进行， $J$ 的几何意义是相空间轨迹所围的面积。

$J = \oint p\,dq$ 的值只与轨道形状有关，不随时间变化。对谐振子，相空间轨迹是椭圆， $J$ 就等于该椭圆的面积 $\pi \cdot q_{\max} \cdot p_{\max}$ 。

将哈密顿量用 $J$ 表示为 $H = H(J)$ ，对应的角变量 $w$ 由哈密顿特征函数的偏导数给出：

w = \frac{\partial W(q,J)}{\partial J}

$w$ 随时间均匀增长，变化率（频率）为：

\dot{w} = \frac{\partial H}{\partial J} = \nu = \frac{1}{T}

其中 $T$ 为运动周期， $\nu$ 为每单位时间完成的振荡次数（单位： $\mathrm{Hz}$ ）。

例四：一维谐振子的作用量计算

一维谐振子 $H = p^2/(2m) + m\omega^2q^2/2 = E$ ，相空间轨迹是椭圆，两半轴分别为，。

J = \oint p\;dq = \pi\, q_{\max}\, p_{\max} = \pi\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\cdot\sqrt{2mE} = \frac{2\pi E}{\omega}

由此得 $H = E = \omega J/(2\pi)$ ，频率为：

\nu = \frac{\partial H}{\partial J} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{T}

与谐振子已知周期 $T = 2\pi/\omega$ 完全一致。

完全可分系统的作用量-角变量

对可以完全变量分离的 $n$ 自由度系统，对每个自由度分别定义作用量变量：

J_i = \oint p_i\;dq_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n

$n$ 个作用量 $(J_1,\ldots,J_n)$ 构成完整的守恒量组，哈密顿量表示为 $H = H(J_1,\ldots,J_n)$ ，对应的个角变量各自以频率均匀增长：

\nu_i = \frac{\partial H(J_1,\ldots,J_n)}{\partial J_i}

例五：各向异性谐振子的频率比

二维各向异性谐振子， $x$ 方向频率 $\omega_x$ ， $y$ 方向频率 $\omega_y$ ：

H = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{m\omega_x^2 x^2}{2} + \frac{p_y^2}{2m} + \frac{m\omega_y^2 y^2}{2}

两个方向作用量分别为 $J_x = 2\pi E_x/\omega_x$ ， $J_y = 2\pi E_y/\omega_y$ ，总能量。哈密顿量用作用量表示为：

H = \frac{\omega_x}{2\pi}J_x + \frac{\omega_y}{2\pi}J_y

两个方向频率：

\nu_x = \frac{\partial H}{\partial J_x} = \frac{\omega_x}{2\pi}, \quad \nu_y = \frac{\partial H}{\partial J_y} = \frac{\omega_y}{2\pi}

若 $\nu_x/\nu_y = \omega_x/\omega_y$ 是有理数，合运动在有限时间内回到起点（轨迹封闭，即李萨如图形）；若为无理数，轨迹最终填满某一矩形区域，运动称为的。

开普勒问题的作用量-角变量

行星绕太阳运动，引力势能 $V(r) = -k/r$ （ $k = GMm$ ），在极坐标 $(r,\theta)$ 下哈密顿量为：

H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}

$\theta$ 是循环坐标， $p_\theta = l$ （角动量）守恒。令 $W = W_r(r) + l\theta$ ，分离后得：

\frac{dW_r}{dr} = \sqrt{2mE + \frac{2mk}{r} - \frac{l^2}{r^2}}

定义两个作用量变量：

J_\theta = \oint p_\theta\;d\theta = 2\pi l

J_r = \oint p_r\;dr = \oint \sqrt{2mE + \frac{2mk}{r} - \frac{l^2}{r^2}}\;dr

对 $J_r$ 的积分用留数定理（ $E < 0$ 对应束缚轨道）求出：

J_r = 2\pi k\sqrt{\frac{-m}{2E}} - 2\pi l = 2\pi k\sqrt{\frac{-m}{2E}} - J_\theta

由此解出能量与作用量之间的关系：

E = -\frac{2\pi^2 mk^2}{\left(J_r + J_\theta\right)^2}

开普勒问题的能量只依赖 $J_r + J_\theta$ 的总和，与两个作用量各自的取值无关。这一性质称为退化性，它在物理上说明：只要总量子数相同，无论轨道椭圆率如何，束缚轨道能量就相同。在量子力学的氢原子问题中，这对应主量子数决定能量的规律。

两个方向的频率：

\nu_r = \nu_\theta = \frac{\partial H}{\partial J_r} = \frac{\partial H}{\partial J_\theta} = \frac{4\pi^2 mk^2}{\left(J_r + J_\theta\right)^3}

两个频率相等，正是椭圆轨道在一个周期内恰好封闭的深层原因。

例六：用作用量-角变量推导开普勒第三定律

轨道周期 $T = 1/\nu$ ，由 $E = -2\pi^2 mk^2/(J_r+J_\theta)^2$ 可得。代入频率表达式：

\nu = \frac{4\pi^2 mk^2}{(J_r+J_\theta)^3} = \frac{(-2E)^{3/2}}{2\pi\sqrt{m}\,k}

轨道半长轴 $a = -k/(2E)$ （由轨道能量与椭圆几何的关系得出），故：

T = \frac{1}{\nu} = \frac{2\pi a^{3/2}\sqrt{m}}{\sqrt{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}

这正是开普勒第三定律 $T^2 \propto a^3$ ，由作用量-角变量方法自然导出。

练习题

1. 关于哈密顿–雅可比方程，下列说法正确的是：

A. 哈密顿–雅可比方程是关于广义坐标的常微分方程，与拉格朗日方程等价

B. 哈密顿主函数 $S$ 是一个正则变换的生成函数，使新哈密顿量恒为零

C. 对不显含时间的系统，哈密顿主函数 $S$ 不能分离时间变量

D. 哈密顿特征函数 $W$ 与哈密顿主函数 $S$ 完全相同，二者没有区别

答案：B

分析：哈密顿–雅可比方程是关于 $S$ 的偏微分方程（对时间和各广义坐标均有偏导），而非常微分方程，A 错误。对不显含时间的系统，令 $S = W - Et$ 正好可以分离时间，C 错误。 $W$ 是 $S$ 在时间无关情形下的空间部分，二者相差 $-Et$ ，物理意义不同，D 错误。B 正确： $S$ 正是第二类生成函数，由定义，使新哈密顿量为零。

2. 一维谐振子相空间中的轨迹是椭圆，半长轴为 $q_{\max}$ ，半短轴为 $p_{\max}$ 。该椭圆面积与作用量 $J = \oint p\,dq$ 的关系是：

A. $J = 2\pi q_{\max} p_{\max}$

B. $J = q_{\max} p_{\max}$

C. $J = \pi q_{\max} p_{\max}$

D. $J = \pi q_{\max}^2$

答案：C

分析：椭圆的面积公式为 $S_{\text{椭圆}} = \pi ab$ ，其中 $a$ ， $b$ 分别为两半轴。相空间中谐振子轨迹是以 $q_{\max}$ 和为半轴的椭圆，绕一圈的积分恰等于椭圆面积，C 正确。注意不是（那是圆周长公式中的系数），A 错误。

3. 对一维谐振子，作用量变量 $J = 2\pi E/\omega$ ，由此得到频率 $\nu = \partial H/\partial J$ 等于：

A. $\omega$

B. $\omega/(2\pi)$

C. $2\pi\omega$

D. $1/\omega$

答案：B

分析：由 $J = 2\pi E/\omega$ 解出 $E = \omega J/(2\pi)$ ，即哈密顿量 $H = \omega J/(2\pi)$ 。对求偏导：，B 正确。这里是普通频率（每秒完成的振荡次数，单位），而是角频率（单位），二者相差因子，因此 A 错误。

4. 关于开普勒问题中作用量-角变量的退化性，下列说法正确的是：

A. 开普勒问题的能量同时依赖 $J_r$ 和 $J_\theta$ 各自的独立取值，改变任意一个都会改变能量

B. 开普勒问题的能量只依赖 $J_r + J_\theta$ 的总和，两方向频率相等

C. 退化性意味着所有轨道形状完全相同，没有椭圆轨道

D. 退化性只在经典力学中出现，量子力学中不存在对应现象

答案：B

分析：由 $E = -2\pi^2mk^2/(J_r+J_\theta)^2$ 可见，能量只取决于的总和，只要总量不变，改变各分量的分配（即改变轨道形状）不影响能量，B 正确，A 错误。退化性并不限制轨道形状，不同形状的椭圆可以有相同能量，C 错误。量子力学中氢原子能量也只依赖主量子数（对应），存在完全对应的退化性，D 错误。

5. 已知一维谐振子哈密顿量 $H = p^2/(2m) + m\omega^2q^2/2$ ，用哈密顿–雅可比方法求解。（一）写出哈密顿–雅可比方程并分离时间，给出关于哈密顿特征函数 $W(q,E)$ 的方程；（二）用换元计算的积分；（三）由为常数，推导出的表达式。

解：

（一）将 $p = \partial S/\partial q$ 代入哈密顿–雅可比方程并令 $S = W - Et$ ：

\frac{1}{2m}\left(\frac{dW}{dq}\right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2q^2 = E

6. 粒子在一维方势阱中运动，势能为 $V = 0$ （ $0 < q < L$ ），边界处反弹（即在 $q=0$ 和 $q=L$ 处反向，能量不变）。（一）在相空间中画出轨迹（文字描述）并计算作用量；（二）用表示哈密顿量；（三）求运动频率并验证与粒子来回一次的周期一致。

解：

（一）粒子动能全部为 $E = p^2/(2m)$ （势阱内 $V=0$ ），动量大小 $p_0 = \sqrt{2mE}$ （单位：）。在相空间中，轨迹是一个矩形：从到，（向右运动）；从到，（向左运动）。矩形面积即为：

q_{\max} = \sqrt{2E/(m\omega^2)}

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