7 / 12

哈密顿力学

拉格朗日力学以广义坐标和广义速度 $(q_i, \dot{q}_i)$ 描述系统的运动状态。哈密顿力学则将描述空间转变为广义坐标与广义动量 $(q_i, p_i)$ 构成的相空间。这不仅是数学上的重新表达，更深刻揭示了力学系统的对称结构，使守恒量的分析和自由度降维处理变得更加系统化。

勒让德变换

勒让德变换是连接拉格朗日力学与哈密顿力学的核心数学工具。其基本思想是：将一个函数对某个变量的依赖，转换为对该变量的偏导数（共轭变量）的依赖。

对于拉格朗日量 $L(q_i, \dot{q}_i, t)$ ，定义广义动量：

p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}

广义动量 $p_i$ 与广义速度 $\dot{q}_i$ 互为共轭变量。以广义动量代替广义速度作为独立变量，定义哈密顿量（Hamiltonian）：

H(q_i, p_i, t) = \sum_{i} p_i \dot{q}_i - L(q_i, \dot{q}_i, t)

等式右边的 $\dot{q}_i$ 需通过 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ 反解出来，表示为的函数。

勒让德变换并不改变物理内容，只是将独立变量从 $(q_i, \dot{q}_i)$ 替换为 $(q_i, p_i)$ 。这类似于热力学中从内能变换到焓：换一组独立变量，使方程形式更适合所研究的问题。

例一：一维谐振子的哈密顿量

质量为 $m$ 的质点在弹簧（刚度 $k$ ）约束下振动，位移为 $x$ 。拉格朗日量：

L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2

广义动量： $p = \partial L/\partial \dot{x} = m\dot{x}$ ，即 $\dot{x} = p/m$ 。哈密顿量：

H = p\dot{x} - L = p \cdot \frac{p}{m} - \left(\frac{p^2}{2m} - \frac{1}{2}kx^2\right) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2

这正是动能加势能，即总机械能。对于保守系统，哈密顿量就等于总能量。

哈密顿正则方程

从哈密顿量的全微分出发推导运动方程。对 $H(q_i, p_i, t)$ 求全微分：

dH = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt

另一方面，由定义 $H = \sum_i p_i\dot{q}_i - L$ 直接展开，利用拉格朗日方程，整理后对比两式各项系数，得到：

\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

这两组方程共 $2n$ 个一阶方程（ $n$ 为自由度数），等价于拉格朗日方程的 $n$ 个二阶方程。正则方程形式高度对称： $q_i$ 与 $p_i$ 以完全对称的方式出现，仅差一个负号。

哈密顿正则方程将力学问题化为 $2n$ 个一阶常微分方程组，是分析力学最优美的表达形式之一。方程的对称性背后是辛几何结构：正则坐标 $(q_i, p_i)$ 共同构成相空间的辛结构，这是现代力学与量子力学共同的数学基础。

例二：一维谐振子的正则方程

对 $H = p^2/(2m) + kx^2/2$ ，正则方程为：

\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx

第一式说明广义动量 $p = m\dot{x}$ （线动量的物理含义）；第二式即牛顿第二定律 $\dot{p} = F = -kx$ 。两式联立消去 $p$ ，回到。

例三：平面粒子的极坐标描述

质量为 $m$ 的粒子在平面内运动，极坐标 $(r, \varphi)$ ，在势 $V(r)$ 中。动能：

T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\varphi}^2)

广义动量： $p_r = m\dot{r}$ （径向动量）， $p_\varphi = mr^2\dot{\varphi}$ （角动量）。哈密顿量：

H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\varphi^2}{2mr^2} + V(r)

正则方程给出：

\dot{r} = \frac{p_r}{m}, \quad \dot{p}_r = \frac{p_\varphi^2}{mr^3} - \frac{dV}{dr}, \quad \dot{\varphi} = \frac{p_\varphi}{mr^2}, \quad \dot{p}_\varphi = -\frac{\partial H}{\partial \varphi} = 0

最后一式 $\dot{p}_\varphi = 0$ 表明角动量守恒，这正是循环坐标的直接体现。

循环坐标与守恒定理

若广义坐标 $q_k$ 不显含在哈密顿量中（即 $\partial H/\partial q_k = 0$ ），则称 $q_k$ 为（可忽略坐标）。由正则方程立即得：

\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} = 0

因此对应的广义动量 $p_k$ 是运动常数——守恒量。每一个循环坐标对应一个连续对称性，从而对应一个守恒量。

当 $H$ 不显含时间时，沿正则方程的轨迹有：

\frac{dH}{dt} = \sum_i \left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} = 0

这就是能量守恒定律的哈密顿力学表述。

循环坐标的存在与系统的对称性直接对应。每发现一个循环坐标，就得到一个守恒量，从而可以将系统降维处理。这种对称性与守恒量的深层联系，正是诺特定理在分析力学中的具体体现。

例四：中心力场的角动量守恒

中心力场 $V(r)$ 下，哈密顿量 $H = p_r^2/(2m) + p_\varphi^2/(2mr^2) + V(r)$ 不含，方位角是循环坐标，故角动量。无需求解完整运动方程，只需观察哈密顿量的结构，就能直接得到这一守恒定律。

鲁斯程序

当系统含有循环坐标时，可以用鲁斯程序（Routh's procedure）对循环部分做部分勒让德变换，将问题自由度降低。

设系统共有 $n$ 个自由度，其中 $s$ 个广义坐标 $q_\alpha$ （ $\alpha = 1, \ldots, s$ ）是循环坐标，其余 $q_\beta$ （）是非循环坐标。定义（Routhian）：

R(q_\beta, \dot{q}_\beta, p_\alpha, t) = \sum_{\alpha=1}^{s} p_\alpha \dot{q}_\alpha - L

鲁斯函数对非循环坐标满足拉格朗日方程，对循环坐标的共轭动量满足哈密顿方程：

\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_\beta} - \frac{\partial R}{\partial q_\beta} = 0 \quad \text{（非循环部分，拉格朗日形式）}

\dot{q}_\alpha = -\frac{\partial R}{\partial p_\alpha} \quad \text{（循环部分，哈密顿形式）}

系统的有效自由度从 $n$ 降低到 $n - s$ ，问题得到简化。

例五：中心力场问题的鲁斯降维

平面有心力问题中， $\varphi$ 是循环坐标，角动量 $l = p_\varphi$ 守恒。拉格朗日量：

L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\varphi}^2) - V(r)

将 $l = mr^2\dot{\varphi}$ 代入，消去循环坐标 $\varphi$ 及其速度 $\dot{\varphi} = l/(mr^2)$ ，有效拉格朗日量退化为：

L_{\text{eff}} = \frac{m\dot{r}^2}{2} - V_{\text{eff}}(r), \quad V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{l^2}{2mr^2}

问题从平面二维运动化为一维径向运动，角动量贡献等效为离心势 $l^2/(2mr^2)$ 。这是有心力问题等效一维势分析的哈密顿力学基础。

由变分原理推导哈密顿方程

哈密顿正则方程也可以直接从变分原理推导。定义相空间作用量：

S = \int_{t_1}^{t_2} \left[\sum_i p_i \dot{q}_i - H(q_i, p_i, t)\right] dt

将 $q_i(t)$ 和 $p_i(t)$ 都视为独立路径（端点固定），对 $S$ 做变分 $\delta S = 0$ 。

对 $\delta q_i$ 变分（分部积分并利用端点固定）：

-\dot{p}_i - \frac{\partial H}{\partial q_i} = 0 \implies \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

对 $\delta p_i$ 变分（无需分部积分）：

\dot{q}_i - \frac{\partial H}{\partial p_i} = 0 \implies \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}

两式恰好就是哈密顿正则方程。

在相空间变分框架中， $q_i$ 和 $p_i$ 作为相空间的独立坐标同等对待。这一视角揭示了相空间的辛结构——正则坐标变换必须保持相空间体积元 $\prod_i dq_i\,dp_i$ 不变（刘维尔定理），这是统计力学和量子力学的重要基础。

哈密顿原理的深化理解

哈密顿原理（最小作用量原理）指出：在所有连接端点 $q_i(t_1)$ 和 $q_i(t_2)$ 的可能路径中，真实运动路径使作用量

S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t)\,dt

取驻值（ $\delta S = 0$ ）。对这一原理有几点需要澄清：

“驻值”而非“极小值”：虽然历史上称为“最小作用量原理”，但真实路径使 $S$ 取的是驻值，不一定是极小值，某些情形下甚至取鞍点值。
作用量的量纲： $[S] = \mathrm{J\cdot s} = \mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}$ ，与普朗克常数相同。量子力学的路径积分方法正是建立在对所有可能路径的作用量求和的基础上，两者有深刻联系。

任意力学量 $f(q_i, p_i, t)$ 沿相空间轨迹的时间全导数为：

\frac{df}{dt} = \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) + \frac{\partial f}{\partial t}

代入哈密顿方程，得：

\frac{df}{dt} = \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) + \frac{\partial f}{\partial t} \equiv \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}

其中 $\{f, H\}$ 称为 $f$ 与 $H$ 的泊松括号。若 $f$ 不显含时间且 $\{f, H\} = 0$ ，则是守恒量。特别地，哈密顿量自身若不显含时间，则，能量守恒。

练习题

1. 对于哈密顿量 $H(q, p) = p^2/(2m) + V(q)$ 的系统，下列说法正确的是：

A. $H$ 等于动能减势能，当势能增大时 $H$ 减小

B. 若 $q$ 是循环坐标（ $H$ 不含 $q$ ），则广义速度 $\dot{q}$ 守恒

C. 哈密顿方程 $\dot{p} = -\partial H/\partial q$ 对应牛顿第二定律 $\dot{p} = -dV/dq$

D. 哈密顿量 $H$ 随时间的变化率无论何时都不为零

答案：C

分析： $H = p^2/(2m) + V(q)$ 是总能量（动能加势能），不是动能减势能，A 错误。循环坐标导致共轭动量守恒，即 $\dot{p}_k = 0$ ，是守恒而非广义速度守恒，B 错误。，恰是牛顿第二定律，C 正确。当不显含时间时，D 错误。

2. 质量为 $m$ 的粒子在平面极坐标 $(r, \varphi)$ 中的中心力场 $V(r)$ 内运动，哈密顿量为 $H = p_r^2/(2m) + p_\varphi^2/(2mr^2) + V(r)$ 。下列关于循环坐标的说法正确的是：

A. $r$ 是循环坐标，径向动量 $p_r$ 守恒

B. $\varphi$ 是循环坐标，角动量 $p_\varphi$ 守恒

C. $r$ 和 $\varphi$ 都是循环坐标，系统有两个守恒量

D. 势能 $V(r)$ 不为零，故系统没有循环坐标

答案：B

分析：循环坐标是指不显含在哈密顿量中的广义坐标。 $H$ 通过 $V(r)$ 和 $p_\varphi^2/(2mr^2)$ 显含，故不是循环坐标，A 错误。中不含，是循环坐标，，角动量守恒，B 正确。仅是循环坐标，C 错误。有势能不影响循环坐标的判断，D 错误。

3. 哈密顿原理（最小作用量原理）指出真实轨迹使作用量 $S = \int L\,dt$ 取驻值，下列说法正确的是：

A. 真实路径总使作用量取极小值，故该原理名称中含“最小”

B. 作用量的量纲为 $\mathrm{J/s}$ （瓦特），与功率相同

C. 对标准保守系统，哈密顿原理等价于拉格朗日方程，也等价于牛顿第二定律

D. 哈密顿原理只适用于保守系统，对含摩擦力的系统完全无效

答案：C

分析：“最小”作用量原理是历史叫法，实际上真实路径只使作用量取驻值（ $\delta S = 0$ ），不一定是极小值，A 错误。作用量量纲为 $[L]\cdot[t] = \mathrm{J\cdot s}$ ，不是 $\mathrm{J/s}$ ，B 错误。对标准保守系统，哈密顿原理、拉格朗日方程、牛顿定律三者等价，C 正确。哈密顿原理可以推广到含广义非保守力的情形，D 说法过于绝对。

4. 关于勒让德变换将拉格朗日量 $L$ 转变为哈密顿量 $H$ ，下列说法正确的是：

A. 勒让德变换改变了系统的物理内容，哈密顿方程描述不同的物理过程

B. 变换后的独立变量从 $(q_i, \dot{q}_i)$ 变为 $(q_i, p_i)$ ，其中

C. 对保守系统 $L = T - V$ ，哈密顿量 $H = T + V$ 等于总能量

D. 变换后运动方程从 $n$ 个二阶方程变为 $n$ 个一阶方程，总阶次减少

答案：C

分析：勒让德变换只是数学上的变量替换，不改变物理内容，两种方程描述同一规律，A 错误。广义动量定义为 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ （对广义速度求偏导，而非对广义坐标），B 错误。对保守系统 $H = \sum p_{i} {\dot{q}}_{i} -$ ，即总能量，C 正确。变换后运动方程从个二阶方程变为个一阶方程，方程数翻倍而阶次降低，D 错误。

5. 一质量为 $m = 2\,\mathrm{kg}$ 的粒子在一维势场 $V(x) = \alpha x^4$ （ $\alpha = 1\,\mathrm{N/m^3}$ ）中运动。（一）写出拉格朗日量并求广义动量；（二）写出哈密顿量；（三）写出哈密顿正则方程；（四）若初始条件为，，求系统的总能量。

解：

（一）拉格朗日量：

L = T - V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \alpha x^4 = \dot{x}^2 - x^4

6. 一质量为 $m$ 、电荷为 $q$ 的带电粒子在均匀磁场 $\boldsymbol{B} = B\hat{z}$ 中做平面运动。取矢势 $\boldsymbol{A} = (0,\, Bx,\, 0)$ ，拉格朗日量为：

L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + qB x\dot{y}

（一）求广义动量 $p_x$ 和 $p_y$ ；（二）判断是否存在循环坐标并说明理由；（三）写出哈密顿量。

解：

（一）广义动量：

p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}

r

L

=

T

+

V

H = \sum p_i\dot{q}_i - L = T + V

哈密顿力学 | 自在学