连续系统与场的拉格朗日-哈密顿方法

前面各章所处理的系统，都有有限个自由度——无论是单个质点、刚体，还是由有限个粒子组成的力学系统。然而，弦的横向振动、声波在空气中的传播、电磁场在空间中的演化，这些物理现象本质上涉及无穷多个自由度。把拉格朗日力学和哈密顿力学推广到这类系统，既是经典力学体系的自然延伸，也是理解场论和现代物理的入口。从弦的振动出发，可以清晰地看到离散体系如何平滑过渡到连续场，以及对称性如何通过诺特定理与守恒律产生深层联系。

从离散系统到连续系统

以一根紧绷的弦为例。先把它离散化：将弦分成 $N$ 段，每段长度 $\Delta x$，每段端点处有一个质量为 $m = \mu\Delta x$ 的质点（$\mu$ 为线质量密度，单位 $\mathrm{kg/m}$），相邻质点之间以劲度系数 $\kappa$ 的弹簧连接。第 $i$ 个质点的横向位移记为 $y_i(t)$，其运动方程为：

令 $\Delta x \to 0$，同时保持弦的张力 $T = \kappa\Delta x$ 不变，右边的有限差分趋近于二阶偏导数：

于是离散的运动方程平滑过渡为连续弦的波动方程：

波速 $v = \sqrt{T/\mu}$（单位：$\mathrm{m/s}$），这就是经典的一维波动方程。

与此同时，离散系统的拉格朗日量也经历同样的过渡。离散系统的拉格朗日量：

连续极限下，对 $x$ 的求和变成积分，得到：

函数 $\mathcal{L}$ 称为拉格朗日密度（单位：$\mathrm{J/m}$），它是描述连续系统动力学的基本量。

拉格朗日密度与场方程

对于一个广义场 $\phi(x^1, x^2, x^3, t) = \phi(x^\mu)$（），其中 为时间坐标，系统的拉格朗日量写为：

对应的作用量为：

对作用量取极值 $\delta S = 0$，经过与离散情形完全平行的变分计算，得到欧拉-拉格朗日场方程：

这是连续场的运动方程，地位与有限自由度系统中拉格朗日方程完全相同。

• 例一：弦的波动方程验证

弦的拉格朗日密度为 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 - \frac{1}{2}T(y')^2$，其中 ，。

计算各偏导数：$\partial\mathcal{L}/\partial y = 0$，$\partial\mathcal{L}/\partial\dot{y} = \mu\dot{y}$，。代入欧拉-拉格朗日场方程：

正好就是前面得到的波动方程，验证了场方程的正确性。

• 例二：标量场的Klein-Gordon方程

在相对论场论中，质量为 $m$ 的标量场 $\phi(x^\mu)$ 的拉格朗日密度为：

其中 $\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ 为闵可夫斯基度规。代入场方程后得到：

这就是Klein-Gordon方程，描述相对论性自旋为零的粒子的传播，$m=0$ 时退化为标准的波动方程。

连续系统的哈密顿形式

类比离散系统中从拉格朗日量到哈密顿量的过渡，连续系统中先定义正则动量密度 $\pi$，其定义为：

再通过对空间的勒让德变换得到哈密顿密度（单位：$\mathrm{J/m^3}$）：

系统总哈密顿量（即总能量）为：

连续系统的哈密顿方程为：

其中 $\delta H/\delta\phi$ 表示泛函导数（functional derivative），其定义与离散情形中的偏导数平行，只是需要同时考虑 $\mathcal{H}$ 对 $\phi$ 的直接依赖和通过 $\nabla\phi$ 的间接依赖。

• 例三：弦的哈密顿密度

弦的正则动量密度 $\pi = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{y} = \mu\dot{y}$，单位为 $\mathrm{kg/s}$（即单位长度弦所携带的横向动量，）。哈密顿密度为：

用 $\pi$ 表示：$\mathcal{H} = \pi^2/(2\mu) + Ty'^2/2$。前一项是动能密度，后一项是弹性势能密度，总哈密顿量 $H = \int\mathcal{H}\,dx$ 就是弦的总机械能，在无耗散情形下守恒。

应力-能量张量与守恒定理

对于时空均匀的系统，存在一个称为应力-能量张量（或能量-动量张量）的量 $T^{\mu\nu}$，定义为：

它是一个 $4\times4$ 张量，包含了系统的能量密度、动量密度以及应力（动量流密度）等全部信息。

当场方程成立时，可以验证 $T^{\mu\nu}$ 满足守恒方程：

这四个方程（$\nu = 0, 1, 2, 3$）分别对应能量守恒和三个方向的动量守恒。

• 例四：弦的能量守恒

弦的能量密度 $\mathcal{H} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 + \frac{1}{2}Ty'^2$。对时间求导：

利用波动方程 $\mu\ddot{y} = Ty''$，括号内第一项为零，得到：

这是能量守恒的局域形式：能量密度的时间变化率等于能量流 $J_E = -Ty'\dot{y}$（单位：$\mathrm{W/m^2}$）在空间上的散度的负值。

诺特定理：对称性与守恒律

1915年，德国数学家埃米·诺特证明了一条极为深刻的定理：对于每一种连续对称性，系统都对应一个守恒量。 这条定理将对称性与守恒律的关系从经验现象提升为数学必然。

设作用量在如下无穷小变换下不变：

其中 $\epsilon$ 是无穷小参数，$\delta x^\mu$ 和 $\delta\phi$ 描述变换的方向。诺特定理指出，必然存在一个守恒流 $j^\mu$，满足：

对应的守恒荷（charge）为：

• 例五：时间平移不变性给出能量守恒

若拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 不显含时间 $t$，则作用量在时间平移 $t \to t + \epsilon$ 下不变，对应 $\delta x^0 = 1$，$\delta \varphi =0$。诺特流的时间分量正好就是哈密顿密度：

守恒条件 $\partial_\mu j^\mu = 0$ 正是前面推导的能量守恒方程，守恒荷 $Q = \int\mathcal{H}\,d^3x = H$ 就是总能量。

• 例六：相位旋转不变性给出电荷守恒

复标量场 $\phi$ 的拉格朗日密度 $\mathcal{L} = |\partial_\mu\phi|^2 - m^2|\phi|^2$ 在整体相位变换 下不变（ 为实常数）。对应的诺特流为：

守恒荷 $Q = \int j^0\,d^3x$ 在量子场论中对应粒子数之差（粒子数减去反粒子数），物理上就是电荷守恒定律的经典对应。

相对论场论基础

将连续场的分析力学框架与狭义相对论结合，便进入相对论场论的领域。相对论场论的核心原则是：拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 必须是洛伦兹标量，即在洛伦兹变换下保持不变，从而保证场方程在所有惯性参考系中具有相同的形式。

根据场的洛伦兹变换性质，场可以分类：

• 例七：电磁场的拉格朗日密度

电磁场由四维矢量势 $A^\mu = (\varphi/c, \mathbf{A})$ 描述（单位：$\mathrm{V\cdot s/m}$），场强张量定义为：

$F_{\mu\nu}$ 的分量包含了电场 $\mathbf{E}$ 和磁场 $\mathbf{B}$（单位：$\mathrm{V/m}$ 和 $\mathrm{T}$）。电磁场的拉格朗日密度为：

将这个 $\mathcal{L}$ 代入欧拉-拉格朗日场方程，直接得到麦克斯韦方程组的前两组（有源方程）：

而后两组（无源方程，即 $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 和法拉第定律）则是 $F_{\mu\nu}$ 反对称性的自动结果，无需额外引入。

练习题

• 1. 关于从离散系统过渡到连续系统，下列说法正确的是：

A. 连续系统的拉格朗日量等于拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 本身，不需要对空间积分

B. 对 $N$ 个质点组成的弦离散模型取极限 $\Delta x \to 0$ 时，差分方程变为偏微分波动方程

C. 拉格朗日密度 $\mathcal{L}$ 的单位与拉格朗日量 $L$ 的单位相同，均为 $\mathrm{J}$

D. 连续弦的波速 $v = \sqrt{T/\mu}$ 中，$T$ 是绝对温度

• 2. 将欧拉-拉格朗日场方程应用于拉格朗日密度 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi)$ 时，得到的场方程是：

A. $\phi = 0$（$\phi$ 等于零）

B. $\nabla^2\phi = 0$（泊松方程，仅含空间导数）

C. $\Box\phi = 0$，即 $\partial^2\phi/\partial t^2 = c^2\nabla^2\phi$（波动方程）

D. $\partial\phi/\partial t = 0$（$\phi$ 不随时间变化）

• 3. 关于诺特定理，下列说法正确的是：

A. 诺特定理仅适用于有限自由度系统，不适用于场论

B. 空间平移不变性对应能量守恒，时间平移不变性对应动量守恒

C. 每一种连续对称性对应一个守恒流 $j^\mu$，满足 $\partial_\mu j^\mu = 0$，对应守恒荷 $Q = \int j^0 d^3x$

D. 规范对称性（相位变换不变性）对应角动量守恒

• 4. 弦的正则动量密度 $\pi = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{y} = \mu\dot{y}$，哈密顿密度 $\mathcal{H}={\pi }^2\mathrm{/}(2\mu )+T(y^{\mathrm{\prime }}{)}^{}$。下列关于弦的哈密顿量的说法，正确的是：

A. 总哈密顿量 $H = \int\mathcal{H}\,dx$ 表示弦的总势能，不包含动能

B. $\mathcal{H}$ 中的 $\pi^2/(2\mu)$ 项对应弦的横向动能密度，$T(y')^2/2$ 对应弹性势能密度

C. 弦的哈密顿量 $H$ 不守恒，因为弦是连续系统

D. 正则动量密度 $\pi$ 的单位与广义动量（$\mathrm{kg\cdot m/s}$）相同

• 5. 一根两端固定、长度为 $L$（单位 $\mathrm{m}$）的弦，线密度 $\mu$（$\mathrm{kg/m}$），张力 $T$（$\mathrm{N}$），自然振动的驻波解形如 $y_n(x,t)=A_n\sin (n\pi$，其中 。（一）将驻波解代入波动方程 ，求各阶角频率 ；（二）写出第 阶模式的拉格朗日密度 ，并计算整弦的拉格朗日量 ；（三）说明为何不同阶模式之间的拉格朗日量相互独立（提示：利用正弦函数的正交性）。

• 6. 对于拉格朗日密度 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu\dot{y}^2 - \frac{1}{2}T(y')^2$，用诺特定理验证空间平移不变性对应动量守恒。（一）写出对应空间平移 的诺特流；（二）写出对应的守恒方程；（三）计算弦的总广义动量 并说明其物理意义。

两边约去公因子，得：

其中 $v = \sqrt{T/\mu}$（$\mathrm{m/s}$）为波速，$\omega_n$ 的单位为 $\mathrm{rad/s}$。基频（$n=1$）为 $\omega_1 = \pi v/L$，各阶频率均为基频的整数倍。

（二）第 $n$ 阶模式的横向速度和斜率分别为：

拉格朗日密度：

对 $x$ 从 $0$ 到 $L$ 积分，利用 $\int_0^L\sin^2(n\pi x/L)\,dx = \int_0^L\cos^2(n\pi x/L)\,dx = L/2$：

由 $\omega_n^2 = T(n\pi/L)^2/\mu$，两系数的大小相等，故：

（三）对于两个不同阶数 $m \neq n$，混合项中含有 $\int_0^L\sin(m\pi x/L)\sin(n\pi x/L)\,dx = 0$ 和 $\int_0^L\cos(m\pi x/L)\cos(n\pi x/L)\,dx = 0$（正弦和余弦函数族在 $[0,L]$ 上满足正交性）。因此，总拉格朗日量 $L = \int_0^L\mathcal{L}\,dx$ 在展开时，不同模式之间的交叉项全部消失，各阶模式的拉格朗日量直接相加，彼此独立——连续弦等效于无穷多个相互独立的谐振子。

对于空间平移，诺特流（动量流密度）的时间分量为：

空间分量（即动量流密度，即应力）为：

更标准的推导给出应力-能量张量分量 $T^{10} = -Ty'\dot{y}$（动量流）和 $T^{00} = \mathcal{H}$（能量密度），这里动量守恒的诺特流为：

（二）守恒方程为 $\partial_t j^0 + \partial_x j^1 = 0$，即：

验证：展开左边第一项：

第二项：

两项之和为 $-\mu\ddot{y}y' + Ty'y'' = y'(T y'' - \mu\ddot{y}) = 0$（利用波动方程），守恒方程成立。

（三）总广义动量：

$P$ 的单位为 $\mathrm{kg\cdot m/s}$，称为弦的“准动量”（pseudo-momentum）或“场动量”，它描述弦上振动波型在空间中整体平移所对应的守恒量。对于两端固定的弦（边界条件 $y(0,t) = y(L,t) = 0$），驻波情形下左行波和右行波的动量大小相等、方向相反，总场动量为零，与空间平移对称性在有限边界下受到破坏的情况相吻合。