介质中的磁场

铁钉靠近磁铁会被吸引，铋片放在强磁铁旁却会被微弱排斥，液氧倒入磁场中会被拉向磁场较强的方向——这些现象说明，不同物质对磁场的响应截然不同。与电介质在外电场下发生极化类似，磁性材料在外磁场作用下也会发生磁化，进而改变周围磁场的分布。理解磁性介质的行为，是从静磁学走向完整电磁理论的重要一步。

磁化

顺磁体与抗磁体

物质的磁性来自内部的微观电流——主要是电子绕核运动产生的轨道磁矩和电子自旋磁矩。没有外磁场时，大多数物质的微观磁矩排列杂乱，宏观上不显磁性。

施加外磁场后，两类响应方式决定了材料的磁性类别。

顺磁体（如铝、铂、液氧）：原子本身具有固有磁矩，外磁场对这些磁矩施加力矩，使之趋于沿场方向排列，宏观上加强了原有磁场。温度越高，热运动越强，排列越难，磁化效果越弱——这与电介质中取向极化的温度依赖性完全类似。

抗磁体（如铋、铜、水）：原子固有磁矩近似为零，外磁场通过电磁感应在轨道电子中诱导出与外场方向相反的感应磁矩，宏观上削弱了原有磁场。抗磁效应普遍存在于一切物质中，但通常极其微弱，只在顺磁性极弱的材料中才显现出来。

磁偶极子的受力与力矩

将一个微小电流环（面积为 $a$，通有电流 $I$）放入外磁场 $\mathbf{B}$ 中，类似于电偶极子在电场中的行为，它会受到力矩的作用。电流环的磁偶极矩定义为

方向由右手定则确定（沿电流环法向），大小 $m = Ia$，单位为 $\mathrm{A{\cdot}m^2}$。

在均匀外磁场中，磁偶极子所受力矩为

力矩使磁矩趋于与 $\mathbf{B}$ 平行（能量最低状态）。在非均匀磁场中，磁偶极子还会受到净力：顺磁体被拉向磁场更强的区域，抗磁体被推向磁场更弱的区域，这正是两类材料在磁铁旁行为不同的根本原因。

磁化强度

类比电极化强度 $\mathbf{P}$（单位体积内电偶极矩之和），定义磁化强度为单位体积内所有磁偶极矩的矢量和：

单位为 $\mathrm{A/m}$，方向沿磁矩净排列方向。均匀磁化时 $\mathbf{M}$ 为常矢量；一般情况下 $\mathbf{M}$ 是位置的函数。$\mathbf{M}$ 越大，表示单位体积内磁矩排列越整齐，磁化程度越强。

磁化产生的束缚电流

束缚电流的物理图像

将一块均匀磁化的介质划分为许多微小电流环。在介质内部，相邻电流环的环流方向相反，恰好互相抵消；但在介质表面，最外层电流环的外侧没有对应的抵消，形成净面电流——这是面束缚电流的直观来源。

对非均匀磁化，相邻体元的磁化强度不同，内部电流环的抵消不再完整，介质内部也会出现净体电流——这是体束缚电流的来源。这两类束缚电流由磁化分子中的电荷运动产生，无法从介质中自由抽出，与可以在导线中流动的自由电流性质不同。

束缚电流的计算公式

通过对磁化电流环分布的细致分析，可以推导出精确结果。

体束缚电流密度由磁化强度的旋度给出：

均匀磁化时 $\nabla \times \mathbf{M} = \mathbf{0}$，内部无体束缚电流，与直觉一致。

面束缚电流线密度由磁化强度与表面法向的叉积给出：

$\hat{\mathbf{n}}$ 是介质表面的外法向单位矢量。

均匀磁化圆柱体的例子

一根沿轴向均匀磁化的长圆柱体，磁化强度 $\mathbf{M} = M\hat{z}$（常矢量）。

由于 $\mathbf{M}$ 均匀，体束缚电流密度 $\mathbf{J}_b = \nabla \times \mathbf{M} = \mathbf{0}$，内部无体束缚电流。

在侧面处，外法向 $\hat{\mathbf{n}} = \hat{s}$（径向），面束缚电流线密度为

方向沿 $\hat{\phi}$（即绕轴的周向方向）。这与螺线管表面电流的方向完全一致！均匀磁化的圆柱体在磁性上等价于一个表面缠绕均匀密绕螺线管，其等效面电流线密度为 $K_b = M$。利用螺线管磁场的已知结果，可以立即写出磁化圆柱体内部的磁场：

这一结论将在后续求解磁介质内部磁场时反复用到。

辅助场 H

安培定律的改写

有磁性介质后，空间中同时存在自由电流密度 $\mathbf{J}_f$ 和束缚电流密度 $\mathbf{J}_b$。安培定律对总电流成立：

整理右边，将 $\nabla \times \mathbf{M}$ 移到左边：

括号内的组合只由自由电流决定，值得单独命名。

H 的定义与安培定律

定义辅助场 $\mathbf{H}$：

单位为 $\mathrm{A/m}$，则有磁性介质时安培定律写为

积分形式：

回路内只需统计自由电流，束缚电流的贡献已被 $\mathbf{M}$ 吸收进 $\mathbf{H}$ 中。这在处理实际磁路（如螺线管、变压器）时极为方便，因为工程上通常只知道导线中通过的自由电流，束缚电流很难直接测量。

H 与 B 的区别

$\mathbf{H}$ 与 $\mathbf{B}$ 的主要区别列于下表：

边界条件

在两种磁性介质的界面处，由两条基本方程各自给出一条边界条件。

由 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$，对界面两侧应用薄“盒形”高斯面，得 $\mathbf{B}$ 的法向分量在界面处连续：

由 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f$，若界面处自由面电流线密度为 $\mathbf{K}_f$，得 $\mathbf{H}$ 的切向分量满足：

若无自由面电流，$\mathbf{H}$ 的切向分量连续。这两条边界条件与第四章电场的边界条件（无自由面电荷时 $D_n$ 连续、$E_t$ 连续）形成完美对应，体现了电磁学的对称美。

线性磁介质

磁化率与磁导率

绝大多数顺磁体和抗磁体在不太强的磁场下，磁化强度 $\mathbf{M}$ 与 $\mathbf{H}$ 成正比：

比例系数 $\chi_m$ 称为磁化率（量纲为一）。顺磁体 $\chi_m > 0$，抗磁体 $\chi_m < 0$，数值上均极小（约 量级）。由此：

其中 $\mu_r = 1 + \chi_m$ 称为相对磁导率，$\mu = \mu_0\mu_r$ 称为磁导率，单位为 （亨利每米）。对线性磁介质， 与 方向一致，大小成正比，问题大为简化。

常见材料的磁导率参数：

含磁介质的螺线管

单位长度匝数为 $n$、通有自由电流 $I$ 的无限长螺线管，管内填充相对磁导率为 $\mu_r$ 的均匀线性磁介质。

对矩形安培回路（一边在管内，一边在管外）应用 $\mathbf{H}$ 的安培定律：

由线性关系，管内磁场为

与真空螺线管（$B_0 = \mu_0 nI$）相比，磁场增大为原来的 $\mu_r$ 倍。对顺磁体（${\mu }_r$），磁场略微增强；对抗磁体（），磁场略微减弱。

磁化与电极化的类比

之前介绍的电场介质与这里的磁场介质在结构上高度对称，对比如下：

练习

选择题

• 题一（束缚电流方向）

一根无限长圆柱形磁介质棒，沿轴向均匀磁化，磁化强度 $\mathbf{M}$ 方向沿 $+z$ 轴。棒的侧面上面束缚电流 $\mathbf{K}_b$ 的方向为

A. 沿 $+z$ 方向   B. 沿 $-z$ 方向   C. 沿 $+\hat{\phi}$ 方向（右手定则绕 $z$ 轴）   D. 沿径向向外

• 题二（辅助场 H 与介质无关）

无限长均匀螺线管（单位长度匝数 $n$，自由电流 $I$），管内完全填充相对磁导率 $\mu_r = 4$ 的顺磁介质。管内辅助场 $H$ 的大小为

A. $4nI$   B. $nI$   C. $\mu_0 nI$   D. $4\mu_0 nI$

• 题三（B 的法向边界条件）

两种线性磁介质（$\mu_{r1} = 1$，$\mu_{r2} = 3$）的平面界面处无自由面电流。已知介质 1 中磁场法向分量 $B_{1n} = 6\;\mathrm{mT}$，则介质 2 中法向磁场分量 为

A. $18\;\mathrm{mT}$   B. $6\;\mathrm{mT}$   C. $2\;\mathrm{mT}$   D. $3\;\mathrm{mT}$

• 题四（磁化强度的计算）

某线性顺磁介质的磁化率 $\chi_m = 2\times10^{-3}$，置于辅助场 $H = 10^5\;\mathrm{A/m}$ 中，该介质内磁化强度 的大小为

A. $200\;\mathrm{A/m}$   B. $10^5\;\mathrm{A/m}$   C. $50\;\mathrm{A/m}$   D. $2\times10^{-8}\;\mathrm{A/m}$

计算题

• 题五（均匀磁化圆柱的束缚电流与内部磁场）

半径为 $R$、长度足够长的圆柱形磁介质，沿轴向均匀磁化，磁化强度 $\mathbf{M} = M_0\hat{z}$（$M_0$ 为正常数）。求：① 柱内体束缚电流密度 ；② 侧面上面束缚电流线密度 ；③ 利用等效螺线管模型，求柱内磁场 。

• 题六（含磁介质螺线管的磁场计算）

一无限长螺线管，单位长度匝数 $n = 1000\;\mathrm{m^{-1}}$，通有自由电流 $I = 2\;\mathrm{A}$，管内填充相对磁导率 $\mu_r = 200$ 的均匀线性磁介质（）。求：① 管内辅助场 ；② 管内磁场 ；③ 介质的磁化强度 ；④ 与真空时相比，磁场增强了多少倍？

$\mathbf{K}_b = M\hat{z}\times\hat{s} = M\hat{\phi}$

方向沿 $+\hat{\phi}$，即右手定则绕 $z$ 轴的方向——与螺线管表面电流方向完全一致，印证了均匀磁化圆柱体等效于螺线管的物理图像。

注意：$\mathbf{H}$ 的切向分量在无自由面电流时连续，而 $\mathbf{B}$ 的法向分量始终连续——这与电场中 $D_n$ 连续（无自由面电荷时）和 $E_t$ 连续的规律完全对应。

相应的磁场 $B = \mu_0(H + M) = \mu_0(1+\chi_m)H = \mu_0\mu_r H$。磁化强度相比 $H$ 极小，说明典型顺磁体的磁化效果非常微弱。

$\mathbf{M}$ 均匀，旋度为零，柱内无体束缚电流。

• ② 面束缚电流线密度

侧面外法向 $\hat{\mathbf{n}} = \hat{s}$（径向），故

$\mathbf{K}_b = \mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}} = M_0\hat{z}\times\hat{s} = M_0\hat{\phi}$

面束缚电流线密度大小为 $K_b = M_0\;\mathrm{A/m}$，方向沿周向。

• ③ 柱内磁场

侧面束缚面电流等价于面电流线密度为 $K_b = M_0$ 的无限长螺线管（等效单位长度安培匝数为 $K_b$），由螺线管内磁场公式得

$\mathbf{B} = \mu_0 K_b\hat{z} = \mu_0 M_0\hat{z} = \mu_0\mathbf{M}$

均匀磁化介质内部的磁场完全由磁化强度决定，$B = \mu_0 M_0$。

• ③ 磁化强度 $M$

$M = \chi_m H = (\mu_r - 1)H = 199\times2000 = 3.98\times10^5\;\mathrm{A/m}$

• ④ 与真空时比较

真空螺线管内 $B_0 = \mu_0 H = 4\pi\times10^{-7}\times2000 \approx 2.51\times10^{-3}\;\mathrm{T}$。填充介质后磁场增大为 $\mu_r = 200$ 倍，即从约 $2.51\;\mathrm{mT}$ 增大至约 $503\;\mathrm{mT}$。磁性介质（尤其是铁磁体）在工程中用于大幅增强螺线管磁场、制造变压器铁芯，正是这一原理的直接应用。