有心力运动与行星轨道

太阳系中的行星绕日运行，月球绕地球旋转，人造卫星在轨道上飞行——这些天体的运动都有一个共同特征：所受的力始终指向某一固定中心。这类力称为有心力。理解有心力运动的规律，是分析天体运动、卫星轨道和行星公转的基础，也是牛顿力学最优美的应用之一。

有心力的基本概念

什么是有心力

有心力是指力的方向始终指向（或背离）某个固定点的力，该点称为力心。有心力的大小只取决于物体到力心的距离 $r$，与方向无关，数学上写作：

$\vec{F} = F(r)\hat{r}$

其中 $\hat{r}$ 是从力心指向物体的单位矢量。$F(r) < 0$ 表示力指向力心（引力），$F(r) > 0$ 表示力背离力心（斥力）。

万有引力的形式

两个质量分别为 $M$ 和 $m$ 的物体之间的万有引力，大小为：

$F = \frac{GMm}{r^2}$

其中 $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\text{N}{\cdot}\text{m}^2/\text{kg}^2$ 是引力常数，$r$ 是两者之间的距离。力的方向始终沿连线指向对方，是典型的有心引力。

运动的平面性与角动量守恒

有心力对力心的力矩为零

对于有心力 $\vec{F} = F(r)\hat{r}$，相对力心 $O$ 的力矩为：

$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times F(r)\hat{r} = F(r)(\vec{r} \times \hat{r}) = \vec{0}$

因为 $\vec{r}$ 与 $\hat{r}$ 平行，叉积为零。

角动量守恒

由角动量定理 $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} = \vec{0}$，可得：

$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = \text{常矢量}$

角动量守恒意味着：运动始终在初始位置矢量 $\vec{r}$ 与初始速度 $\vec{v}$ 确定的平面内进行。无论物体如何运动，它的轨迹永远不会离开这个平面。

开普勒第二定律（等面积定律）

角动量守恒有一个非常直观的几何含义。在极短时间 $dt$ 内，位置矢量 $\vec{r}$ 扫过的面积为：

$dA = \frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{v}|\,dt = \frac{L}{2m}\,dt$

于是单位时间内扫过的面积（面积速率）为：

$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{常数}$

这就是开普勒第二定律：行星的位置矢量在相等时间内扫过的面积相等。它的成立只依赖于角动量守恒，与引力的具体形式无关，对任何有心力运动都成立。

例 1　地球绕日运动，在近日点时到太阳距离为 $r_1 = 1.47 \times 10^{11}\,\text{m}$，速度为 $v_1 = 3.03 \times 10^4\,\text{m/s}$；在远日点时到太阳距离为 。求远日点时地球的速度 。

由角动量守恒，在近日点和远日点速度均垂直于位置矢量，故：

$mr_1v_1 = mr_2v_2$

$v_2 = \frac{r_1v_1}{r_2} = \frac{1.47 \times 10^{11} \times 3.03 \times 10^4}{1.52 \times 10^{11}} \approx 2.93 \times 10^4\,\text{m/s}$

近日点速度大、远日点速度小，与等面积定律完全一致。

有效势能与轨道类型

分离径向运动

将有心力运动分解为径向（沿 $r$ 方向）和切向两个分量。质点的总动能可以写为：

$E_k = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2$

其中 $\dot{r}$ 是径向速度，$r\dot{\theta}$ 是切向速度。利用角动量守恒 $L = mr^2\dot{\theta}$，切向动能可以用 和 表示：

$\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 = \frac{L^2}{2mr^2}$

系统总能量为：

$E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r)$

有效势能

定义有效势能：

$U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \frac{L^2}{2mr^2}$

其中 $\dfrac{L^2}{2mr^2}$ 称为离心势能，它等效于一个排斥力，阻止质点无限靠近力心。总能量方程简化为：

$E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r)$

这与一维运动的能量方程形式完全相同——质点在有效势能 $U_{\text{eff}}(r)$ 中做“一维运动”，分析轨道就像分析一维势阱问题。

万有引力下的有效势能

万有引力的势能为 $U(r) = -\dfrac{GMm}{r}$，有效势能为：

$U_{\text{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}$

当 $r$ 很小时，离心项 $\dfrac{L^2}{2mr^2}$ 占主导，趋向 $+\infty$；当 $$ 很大时，引力项占主导，趋向 。有效势能在某个 处取极小值，形成一个势阱。

轨道类型的判断

例 2　一颗卫星在距地心 $r = 8000\,\text{km}$ 的圆形轨道上运行，地球质量 $M = 6.0 \times 10^{24}\,\text{kg}$，求卫星的速度和总能量（设卫星质量 $m = 500\,\text{kg}$）。

圆轨道条件：引力提供向心力

$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

$v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^6}} \approx 7071\,\text{m/s} \approx 7.07\,\text{km/s}$

总能量（动能 + 引力势能）：

$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$

$E = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24} \times 500}{2 \times 8.0 \times 10^6} \approx -1.25 \times 10^{10}\,\text{J}$

负值表示卫星处于束缚态，不能自行逃离地球。

开普勒三定律

开普勒在 17 世纪初通过对大量天文观测数据的归纳，总结出描述行星运动的三条定律。后来牛顿从万有引力定律出发，从理论上推导出了这三条定律。

第一定律（椭圆轨道定律）

每颗行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

椭圆由半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 描述，焦点到椭圆中心的距离为 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$。离心率 描述轨道的“扁平”程度： 对应圆形， 越接近 1 轨道越扁。

第二定律（等面积定律）

行星的位置矢量（从太阳到行星）在相等时间内扫过的面积相等。

这等价于角动量守恒 $L = mr^2\dot{\theta} = \text{常数}$。行星靠近太阳时运动快，远离太阳时运动慢。

第三定律（周期定律）

所有行星公转周期 $T$ 的平方与轨道半长轴 $a$ 的立方成正比：

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$

其中 $M$ 是太阳的质量，该比值对所有绕同一天体运行的行星或卫星都相同。

第三定律的推导（圆轨道简化版）

对于圆轨道（半径 $r = a$），引力提供向心力：

$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{4\pi^2 r}{T^2}$

整理得：

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$

这就是开普勒第三定律。对椭圆轨道，将 $r$ 替换为半长轴 $a$ 结论仍然成立（推导需要更多数学，结果一致）。

例 3　地球绕日公转周期 $T_{\oplus} = 1\,\text{年}$，轨道半长轴 $a_{\oplus} = 1\,\text{AU}$。火星的轨道半长轴 $a_{\text{火}}$，求火星的公转周期。

由开普勒第三定律：

$\frac{T_{\text{火}}^2}{a_{\text{火}}^3} = \frac{T_{\oplus}^2}{a_{\oplus}^3}$

$T_{\text{火}} = T_{\oplus}\left(\frac{a_{\text{火}}}{a_{\oplus}}\right)^{3/2} = 1 \times (1.524)^{3/2} \approx 1.881\,\text{年}$

火星公转约需 1.88 年，与实测值（1.881 年）完全吻合。

例 4　已知地球绕日公转周期 $T = 3.156 \times 10^7\,\text{s}$，轨道半径 $a = 1.496 \times 10^{11}\,\text{m}$，求太阳质量。

$M = \frac{4\pi^2 a^3}{GT^2} = \frac{4\pi^2 \times (1.496 \times 10^{11})^3}{6.674 \times 10^{-11} \times (3.156 \times 10^7)^2}$

$M \approx \frac{4 \times 9.87 \times 3.348 \times 10^{33}}{6.674 \times 10^{-11} \times 9.96 \times 10^{14}} \approx 1.99 \times 10^{30}\,\text{kg}$

行星轨道与宇宙速度

宇宙速度

在地球表面，物体要进入轨道或逃离地球，需要达到特定的速度。

第一宇宙速度是在地面附近做圆形轨道飞行所需的最小速度，引力等于向心力：

$\frac{GMm}{R_{\oplus}^2} = \frac{mv_1^2}{R_{\oplus}} \implies v_1 = \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}}$

代入 $M_{\oplus} = 5.97 \times 10^{24}\,\text{kg}$，$R_{\oplus} = 6.37 \times 10^6\,\text{m}$：

$v_1 \approx 7.9\,\text{km/s}$

第二宇宙速度是从地面逃离地球引力束缚所需的最小速度，此时总能量恰好为零（$E = 0$，抛物线轨道）：

$\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_{\oplus}m}{R_{\oplus}} = 0 \implies v_2 = \sqrt{\frac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}} = \sqrt{2}\,v_1 \approx 11.2\,\text{km/s}$

例 5　一颗人造卫星在距地面高度 $h = 400\,\text{km}$ 的圆形轨道上运行，已知地球半径 $R_{\oplus} = 6370\,\text{km}$，地表重力加速度 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$。

（1）求卫星的轨道速度；

（2）求卫星的公转周期。

轨道半径 $r = R_{\oplus} + h = 6370 + 400 = 6770\,\text{km} = 6.77 \times 10^6\,\text{m}$

利用 $GM = gR_{\oplus}^2$：

（1）轨道速度：

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{gR_{\oplus}^2}{r}} = \sqrt{\frac{9.8 \times (6.37 \times 10^6)^2}{6.77 \times 10^6}} \approx 7664\,\text{m/s} \approx 7.66\,\text{km/s}$

（2）公转周期：

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 6.77 \times 10^6}{7664} \approx 5549\,\text{s} \approx 92.5\,\text{分钟}$

国际空间站的轨道高度约 400 km，公转周期约 92 分钟，与此结果一致。

例 6　地球同步卫星的轨道半径计算。

地球同步卫星的公转周期与地球自转周期相同，$T = 24\,\text{h} = 86400\,\text{s}$。由开普勒第三定律：

$r = \left(\frac{GM_{\oplus}T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{gR_{\oplus}^2 T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$

$r = \left(\frac{9.8 \times (6.37 \times 10^6)^2 \times (86400)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^7\,\text{m} \approx 42200\,\text{km}$

距地面高度约 $42200 - 6370 \approx 35830\,\text{km}$，即约 3.6 万千米。这正是通信卫星（如北斗、气象卫星）所在的轨道高度。

练习题

选择题

题目一（有心力与角动量守恒）

一颗行星绕恒星做椭圆轨道运动，以下说法正确的是：

A. 行星在近日点速度最小，远日点速度最大

B. 行星运动过程中角动量不断变化

C. 行星在单位时间内扫过的面积处处相等

D. 行星运动时总机械能不断减小

题目二（开普勒第三定律）

甲、乙两颗行星绕同一恒星运行，甲的轨道半长轴是乙的 4 倍，则甲的公转周期是乙的：

A. 2 倍

B. 4 倍

C. 8 倍

D. 16 倍

题目三（轨道能量与类型）

一飞船以速度 $v$ 在距地心 $r$ 处飞行。若此处圆轨道速度为 $v_0$，下列判断正确的是：

A. $v < v_0$ 时，飞船做椭圆轨道运动，地球位于椭圆近地点一侧的焦点

B. $v = v_0$ 时，飞船做抛物线运动

C. $v > \sqrt{2}\,v_0$ 时，飞船做椭圆运动

D. $v = \sqrt{2}\,v_0$ 时，飞船恰好能逃离地球引力

题目四（宇宙速度）

一颗人造卫星从距地心 $r_1$ 的圆形轨道转移到距地心 $r_2$（$r_2 > r_1$）的圆形轨道，转移过程中需要在近地点加速。以下关于转移前后的描述，正确的是：

A. 卫星在 $r_2$ 轨道上的速度大于在 $r_1$ 轨道上的速度

B. 卫星在 $r_2$ 轨道上的总机械能等于在 $r_1$ 轨道上的总机械能

C. 卫星在 $r_2$ 轨道上的总机械能大于在 $r_1$ 轨道上的总机械能

D. 卫星在 $r_2$ 轨道上的公转周期小于在 $r_1$ 轨道上的公转周期

计算题

题目五（角动量守恒与轨道速度）

一颗彗星在椭圆轨道上绕太阳运行，近日点距太阳 $r_1 = 8.0 \times 10^{10}\,\text{m}$，远日点距太阳 $r_2 = 6.0 \times 10^{12}\,\text{m}$。已知彗星在近日点的速度 。

（1）求彗星在远日点的速度 $v_2$；

（2）求彗星在近日点和远日点的动能之比 $E_{k1}/E_{k2}$；

（3）说明彗星在近日点和远日点时，位置矢量扫过相同面积所需时间的比值。

题目六（开普勒第三定律综合应用）

月球绕地球运行的轨道近似为圆形，轨道半径 $r_{\text{月}} = 3.84 \times 10^8\,\text{m}$，公转周期 $T_{\text{月}} = 27.3\,\text{天} = 2.36 \times 10^6\,\text{s}$。

（1）利用开普勒第三定律，求地球的质量 $M_{\oplus}$（取 $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\text{N}{\cdot}\text{m}^2/\text{kg}^2$）；

（2）一颗近地卫星（轨道半径近似等于地球半径 $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^6\,\text{m}$），利用（1）的结果，求其公转周期；

（3）若将一颗通信卫星的轨道高度从 $h_1 = 500\,\text{km}$ 提升到 $h_2 = 36000\,\text{km}$，求两个轨道的公转周期之比。

甲的公转周期是乙的 8 倍。

知识点：开普勒第三定律 $T^2/a^3 =$ 常数，计算时注意 $3/2$ 次方关系。

A 的描述有误：$v < v_0$ 时轨道为椭圆，当前位置是远地点而非近地点方向；B 错误：$v = v_0$ 对应圆轨道；C 错误：$v > \sqrt{2}\,v_0$ 时总能量大于零，轨道为双曲线；D 正确。

知识点：逃逸速度等于 $\sqrt{2}$ 倍圆轨道速度，总能量为零时轨道为抛物线。

由开普勒第三定律，$r_2 > r_1$ 对应更大的周期，D 错误。

知识点：轨道越高，速度越小，总机械能越大（负值绝对值更小），周期越长。

$v_2 = \frac{r_1v_1}{r_2} = \frac{8.0 \times 10^{10} \times 5.4 \times 10^4}{6.0 \times 10^{12}} = \frac{4.32 \times 10^{15}}{6.0 \times 10^{12}} = 720\,\text{m/s}$

远日点速度仅为近日点的 $720/54000 \approx 1/75$，这就是为什么彗星大部分时间都在远日点附近“停留”。

（2） 动能比：

$\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = \left(\frac{6.0 \times 10^{12}}{8.0 \times 10^{10}}\right)^2 = 75^2 = 5625$

近日点动能是远日点动能的 5625 倍。

（3） 由等面积定律，扫过相同面积所需时间 $t \propto 1/(\text{面积速率}) = 2m/L$，由于 $L$ 守恒，面积速率为常数，扫过相同面积的时间相同。

即：无论彗星位于轨道何处，扫过相同面积所需时间完全相等，这正是等面积定律的核心含义。

$M_{\oplus} = \frac{4 \times 9.87 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.36 \times 10^6)^2}$

$= \frac{4 \times 9.87 \times 5.66 \times 10^{25}}{6.67 \times 10^{-11} \times 5.57 \times 10^{12}}$

$= \frac{2.234 \times 10^{27}}{3.71 \times 10^2} \approx 6.02 \times 10^{24}\,\text{kg}$

地球质量约 $6.0 \times 10^{24}\,\text{kg}$，与公认值吻合。

（2） 近地卫星轨道半径 $r_{\text{近}} = R_{\oplus} = 6.37 \times 10^6\,\text{m}$。

利用 $T^2/r^3 = T_{\text{月}}^2/r_{\text{月}}^3$：

$T_{\text{近}} = T_{\text{月}} \left(\frac{r_{\text{近}}}{r_{\text{月}}}\right)^{3/2} = 2.36 \times 10^6 \times \left(\frac{6.37 \times 10^6}{3.84 \times 10^8}\right)^{3/2}$

$= 2.36 \times 10^6 \times (0.01659)^{3/2} = 2.36 \times 10^6 \times 2.138 \times 10^{-3} \approx 5046\,\text{s} \approx 84.1\,\text{分钟}$

近地卫星公转周期约 84 分钟。

（3） 两轨道半径：

$r_1 = R_{\oplus} + h_1 = 6370 + 500 = 6870\,\text{km} = 6.87 \times 10^6\,\text{m}$

$r_2 = R_{\oplus} + h_2 = 6370 + 36000 = 42370\,\text{km} = 4.237 \times 10^7\,\text{m}$

由开普勒第三定律：

$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} = \left(\frac{4.237 \times 10^7}{6.87 \times 10^6}\right)^{3/2} = (6.167)^{3/2} \approx 15.31$

高轨道的公转周期约是低轨道的 15.3 倍。近地轨道公转周期约 $5550\,\text{s}$，则高轨道约 $5550 \times 15.3 \approx 84915\,\text{s} \approx 23.6\,\text{小时}$，接近地球同步轨道周期（24 小时）。