相对论动量与能量

在狭义相对论中，时间和空间的测量依赖于观察者的运动状态。但相对论的影响不止于此——当物体的速度接近光速时，经典力学中的动量和能量公式也需要根本性的修正。这种修正不仅在粒子物理实验中得到了精确验证，也催生了核能利用的理论基础，深刻改变了人类对质量与能量关系的认识。

经典动量的局限性

为什么需要修改动量定义

牛顿力学中，动量定义为 $\vec{p} = m\vec{v}$，在日常速度下极为精确。然而，当粒子的速度接近光速时，实验发现这一定义不再满足动量守恒——在高速碰撞中，用 $m\vec{v}$ 计算的总动量在碰撞前后并不守恒。这并非动量守恒定律本身有误，而是动量的定义本身需要与相对论相容。

下面是粒子在不同速度下，经典动量预测值与实验测量的相对论动量之比：

速度越接近光速，经典动量与相对论动量的偏差越大。当 $v = 0.999c$ 时，相对论动量约为经典值的 22 倍，经典力学完全失效。

相对论动量

洛伦兹因子

相对论中，运动对物理量的修正集中体现在洛伦兹因子 $\gamma$ 中：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

当 $v \ll c$ 时，$\gamma \approx 1$；当 $v \to c$ 时，$\gamma \to \infty$。

相对论动量的定义

相对论动量定义为：

$\vec{p} = \gamma m\vec{v} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

其中 $m$ 是粒子的静止质量（不变质量），与参考系的选取无关。

例 1　一个电子（静止质量 $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\text{kg}$）被加速到速度 $v = 0.8c$（$$），求其相对论动量并与经典动量比较。

洛伦兹因子：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.667$

相对论动量：

$p = \gamma m_e v = 1.667 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 0.8 \times 3.0 \times 10^8 \approx 3.64 \times 10^{-22}\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

经典动量：$p_{\text{经典}} = m_e v = 9.11 \times 10^{-31} \times 2.4 \times 10^8 \approx 2.19 \times 10^{-22}\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

两者相差约 $66\%$，说明在 $0.8c$ 时经典力学已明显失效。

速度极限

由 $p = \gamma mv$ 可知，当 $v \to c$ 时，$\gamma \to \infty$，动量 $p \to \infty$。这意味着，要使有静止质量的粒子达到光速，需要无穷大的能量，在物理上是不可能实现的。有静止质量的粒子的速度永远不能达到光速，光速是有质量粒子的速度上限。

相对论动能与总能量

从做功到相对论动能

与经典力学类似，动能等于合外力从静止开始对粒子做的功。将相对论动量 $p = \gamma mv$ 代入 $F = dp/dt$ 并积分，可以得到粒子的相对论动能：

$E_k = (\gamma - 1)mc^2$

总能量的定义

定义粒子的总（相对论）能量为动能与静止能量之和：

$E = \gamma mc^2 = E_k + mc^2$

其中 $mc^2$ 称为粒子的静止能量：

$E_0 = mc^2$

低速极限的一致性

在低速极限下，利用二项式近似 $\gamma \approx 1 + \dfrac{v^2}{2c^2}$：

$E_k = (\gamma - 1)mc^2 \approx \frac{v^2}{2c^2} \cdot mc^2 = \frac{1}{2}mv^2$

相对论动能在低速下退化为经典动能，两套理论平滑衔接。

例 2　一个质子（静止质量 $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$，静止能量 $\approx 938\,\text{MeV}$）以速度 $$ 运动，求其动能和总能量（）。

洛伦兹因子：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.81}} = \frac{1}{\sqrt{0.19}} \approx 2.294$

总能量：

$E = \gamma m_p c^2 = 2.294 \times 938\,\text{MeV} \approx 2152\,\text{MeV}$

动能：

$E_k = (\gamma - 1)m_p c^2 = 1.294 \times 938\,\text{MeV} \approx 1214\,\text{MeV}$

质子的静止能量（938 MeV）与动能（1214 MeV）处于同一量级，说明在 $0.9c$ 时必须使用相对论公式。

质能方程的物理意义

质量就是能量

$E_0 = mc^2$ 揭示了一个深刻的事实：质量和能量是同一物理量的两种表现形式。$1\,\text{kg}$ 质量对应的静止能量为：

$E_0 = 1 \times (3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{16}\,\text{J}$

这相当于约 215 亿吨 TNT 炸药的爆炸当量，远超一切化学反应所能释放的能量。

核反应中的质量亏损

在核反应中，反应前后粒子静止质量之和发生变化。反应后质量减少的部分（质量亏损 $\Delta m$）转化为辐射能或动能释放出来：

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2$

例 3　氘核聚变反应 ${}^2\text{H} + {}^2\text{H} \to {}^3\text{He} + {}^1\text{n}$，已知反应物和生成物的质量如下（原子质量单位 ，）：

反应前质量之和：$2 \times 2.01355 = 4.02710\,\text{u}$

反应后质量之和：$3.01493 + 1.00867 = 4.02360\,\text{u}$

质量亏损：$\Delta m = 4.02710 - 4.02360 = 0.00350\,\text{u}$

释放能量：

$\Delta E = 0.00350 \times 931.5\,\text{MeV} \approx 3.26\,\text{MeV}$

每次聚变释放约 $3.26\,\text{MeV}$，而一次典型化学反应（如燃烧）释放能量仅约几个 eV，核聚变是化学燃烧能量释放效率的数百万倍。

能量与动量的关系

推导能量-动量关系式

已知 $E = \gamma mc^2$，$p = \gamma mv$，两式分别平方后相减：

$E^2 - p^2c^2 = \gamma^2 m^2 c^4 - \gamma^2 m^2 v^2 c^2 = \gamma^2 m^2 c^2(c^2 - v^2)$

利用 $\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1$，即 $\gamma^2(c^2 - v^2) = c^2$，代入得：

$E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$

整理为：

$\boxed{E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2}$

这就是相对论能量-动量关系式，它联系了粒子的总能量、动量和静止质量，是相对论动力学中最重要的公式之一。

不同情形下的关系

例 4　粒子物理实验中，一个粒子的总能量为 $E = 5\,\text{GeV}$，静止能量为 $mc^2 = 1\,\text{GeV}$（$1\,\text{GeV} = 1000\,\text{MeV}$），求该粒子的动量 （用 表示）。

由能量-动量关系：

$p^2c^2 = E^2 - (mc^2)^2 = 25\,\text{GeV}^2 - 1\,\text{GeV}^2 = 24\,\text{GeV}^2$

$p = \frac{\sqrt{24}\,\text{GeV}}{c} \approx \frac{4.90\,\text{GeV}}{c}$

无质量粒子与光子

静止质量为零的粒子

当粒子静止质量 $m = 0$ 时，相对论能量-动量关系变为：

$E^2 = (pc)^2 \implies E = pc$

光子是最典型的无质量粒子。光子的能量与动量满足：

$p = \frac{E}{c}$

光子的能量与频率

量子力学给出，光子的能量与其频率 $f$（或波长 $\lambda$）的关系为：

$E = hf = \frac{hc}{\lambda}$

其中 $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J}{\cdot}\text{s}$ 是普朗克常数。因此光子的动量为：

$p = \frac{E}{c} = \frac{hf}{c} = \frac{h}{\lambda}$

光子为何以光速传播

对于有静止质量（$m > 0$）的粒子，速度趋近光速需要无穷大的能量，因此不能达到 $c$。光子的静止质量为零，从 $E = pc$ 出发，光子天然地以速度 $c$ 传播——这是静止质量为零的必然结果，而不是一个额外的假设。

例 5　一束绿光（波长 $\lambda = 550\,\text{nm}$）垂直照射到完全吸收的黑色表面，光的强度（单位面积功率）为 $I = 10\,\text{W/m}^2$。求光压（单位面积受到的冲击力）的大小。

每个光子的动量：

$p_{\gamma} = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{550 \times 10^{-9}} \approx 1.205 \times 10^{-27}\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

每个光子的能量：

$E_{\gamma} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{550 \times 10^{-9}} \approx 3.61 \times 10^{-19}\,\text{J}$

每秒每平方米打到表面的光子数：

$n = \frac{I}{E_{\gamma}} = \frac{10}{3.61 \times 10^{-19}} \approx 2.77 \times 10^{19}\,\text{个/(s}{\cdot}\text{m}^2\text{)}$

光压（每秒单位面积获得的冲量即为压强）：

$P_{\text{光压}} = n \cdot p_{\gamma} = 2.77 \times 10^{19} \times 1.205 \times 10^{-27} \approx 3.34 \times 10^{-8}\,\text{N/m}^2$

光压极小，约为大气压的 $3 \times 10^{-13}$，但在太空太阳帆飞船和精密激光实验中具有实际意义。

相对论碰撞与守恒律

相对论守恒定律

在孤立系统中，相对论总动量和总能量均守恒：

$\sum_i \vec{p}_i = \sum_i \gamma_i m_i \vec{v}_i = \text{常矢量}$

$\sum_i E_i = \sum_i \gamma_i m_i c^2 = \text{常数}$

这里守恒的总能量包含了所有粒子的静止能量，不同于经典力学中只守恒动能。

相对论完全非弹性碰撞的特点

粒子 A（质量 $m_1$，速度 $v_1$）与静止粒子 B（质量 $m_2$）完全非弹性碰撞后合并为粒子 C（质量 $M$，速度 ）。

由能量守恒：$\gamma_1 m_1 c^2 + m_2 c^2 = \gamma_V M c^2$

由于碰撞过程中动能转化为内能（热能等），合体后 $M > m_1 + m_2$。这与经典力学不同：增加的内能体现为质量的增加，与 $\Delta E = \Delta m \cdot c^2$ 完全一致。

例 6　一个光子（能量 $E_\gamma = 0.511\,\text{MeV}$，即等于电子静止能量 $m_e c^2$）与一个静止电子发生散射（康普顿散射），散射后光子偏转角 $\theta =90\mathrm{°}$。求散射后光子的能量和电子获得的动能。

康普顿散射公式给出散射后光子波长的变化：

$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$

其中 $\lambda_C = h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\,\text{m}$ 称为。

散射前光子波长：$\lambda = hc/E_\gamma = (6.626 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8)/(0.511 \times 1.6 \times 10^{-13}) \approx 2.43 \times 10^{-12}\,\text{m}$

$\theta = 90°$ 时，$1 - \cos 90° = 1$，故 $\Delta\lambda = \lambda_C = 2.43 \times 10^{-12}\,\text{m}$

散射后光子波长：$\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 4.86 \times 10^{-12}\,\text{m}$

散射后光子能量：

$E_\gamma' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{E_\gamma}{1 + \frac{E_\gamma}{m_e c^2}} = \frac{0.511}{1+1} = 0.256\,\text{MeV}$

电子获得的动能：

$E_{ke} = E_\gamma - E_\gamma' = 0.511 - 0.256 = 0.255\,\text{MeV}$

光子将约一半能量转移给了电子，这一现象是光子具有动量的直接证明。

选择题（共 4 题）

选择 1（相对论动量与洛伦兹因子）

一个粒子以速度 $v = 0.6c$ 运动，其相对论动量是经典动量的多少倍？

A. $0.8$ 倍

B. $1.0$ 倍

C. $1.25$ 倍

D. $1.67$ 倍

选择 2（质能方程的物理意义）

关于质能方程 $E_0 = mc^2$，以下说法正确的是：

A. 只有运动的物体才拥有质量对应的能量

B. 物体的静止质量越大，静止能量越小

C. 核反应释放能量的原因是反应后粒子的静止质量之和减小

D. 质量可以转化为能量，但能量不能转化为质量

选择 3（无质量粒子的能量-动量关系）

光子的静止质量为零，动量为 $p$，其能量为：

A. $\dfrac{1}{2}pc$

B. $pc$

C. $\dfrac{p^2}{2m}$（$m$ 为零时无意义）

D. $\sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}$（ 时化简）

选择 4（相对论动能与速度极限）

以下关于相对论动量和能量的说法，正确的是：

A. 对有质量的粒子持续施力，速度最终可以超过光速

B. 粒子的速度越快，相对论动量增长越来越慢

C. 当粒子速度趋近光速时，其相对论动能趋于无穷大

D. 粒子的相对论动能等于其总能量

计算题（共 2 题）

计算 1（相对论动量、动能综合）

在某粒子物理实验中，一个 $\pi^+$ 介子（静止质量 $m_\pi c^2 = 140\,\text{MeV}$）以速度 $v = 0.8c$ 运动。

（1）求 $\pi^+$ 介子的相对论动量 $p$（用 $\text{MeV}/c$ 表示）；

（2）求其相对论动能 $E_k$；

（3）用能量-动量关系式验证第（1）、（2）小问的结果是否自洽。

计算 2（质能方程与核反应能量）

核电站利用铀核裂变反应产生能量。一种典型的裂变反应为：

${}^{235}\text{U} + {}^1\text{n} \to {}^{141}\text{Ba} + {}^{92}\text{Kr} + 3\,{}^1\text{n}$

相关质量数据如下（$1\,\text{u} = 931.5\,\text{MeV}/c^2$）：

（1）计算此次裂变反应的质量亏损 $\Delta m$；

（2）计算每次裂变释放的能量 $\Delta E$（用 MeV 表示）；

（3）若某核电站每秒消耗 $1\,\text{mg}$ 的 ${}^{235}\text{U}$（假设每个铀核裂变均按上述反应进行），求该核电站的发电功率（设能量转化效率为 $30\%$，阿伏加德罗常数 $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$）。

相对论动量 $p = \gamma mv = 1.25mv$，是经典动量 $mv$ 的 $1.25$ 倍。

A 中 $0.8$ 是 $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ 的值，而非 $\gamma$；B 说明 $v = 0.6c$ 时经典动量已有 25% 的偏差；D 是 $1/0.6$ 的结果，混淆了 $\gamma$ 的计算。

知识点：相对论动量 $p = \gamma mv$，$\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2} \geq 1$。

知识点：质量和能量可以相互转化，核反应能量来源于反应前后的质量亏损。

$E = pc$

A 中系数 $1/2$ 是错误的；C 是经典动能公式，对无质量粒子无意义；D 虽形式正确但 $m=0$ 后结果与 B 相同，B 是最直接的表达。

知识点：无质量粒子满足 $E = pc$，光子天然以速度 $c$ 传播正是静止质量为零的必然结果。

A 错误：相对论表明 $c$ 是有质量粒子速度的上限，无论施加多大力都无法突破；B 错误：随速度增大，$\gamma$ 增长越来越快，动量增长率也越来越大；D 错误：相对论动能 $E_k = (\gamma - 1)mc^2 = E - mc^2$，总能量还包含静止能量 $mc^2$。

知识点：有质量粒子的速度以 $c$ 为上限，趋近光速所需能量趋于无穷大。

相对论动量：

$p = \gamma m_\pi v = 1.667 \times \frac{140\,\text{MeV}}{c} \times 0.8 = 1.667 \times 112\,\text{MeV}/c \approx 186.7\,\text{MeV}/c$

（2） 相对论动能：

$E_k = (\gamma - 1)m_\pi c^2 = (1.667 - 1) \times 140\,\text{MeV} = 0.667 \times 140\,\text{MeV} \approx 93.3\,\text{MeV}$

（3） 验证：总能量 $E = \gamma m_\pi c^2 = 1.667 \times 140 = 233.3\,\text{MeV}$

由能量-动量关系：

$E^2 = (pc)^2 + (m_\pi c^2)^2 = (186.7)^2 + (140)^2 = 34857 + 19600 = 54457\,\text{MeV}^2$

$E = \sqrt{54457} \approx 233.4\,\text{MeV}$

与 $\gamma m_\pi c^2 = 233.3\,\text{MeV}$ 吻合（误差来自 $\gamma$ 的四舍五入），结果自洽。

质量亏损：

$\Delta m = 236.05260 - 235.86658 = 0.18602\,\text{u}$

（2） 每次裂变释放的能量：

$\Delta E = 0.18602 \times 931.5\,\text{MeV} \approx 173.3\,\text{MeV}$

（3） 每摩尔 ${}^{235}\text{U}$ 的质量为 $235\,\text{g}$，每秒消耗 $1\,\text{mg} = 10^{-3}\,\text{g}$，对应的铀核数：

$N = \frac{10^{-3}}{235} \times 6.02 \times 10^{23} \approx 2.56 \times 10^{18}\,\text{个}$

每秒释放的总能量：

$P_{\text{总}} = N \times \Delta E = 2.56 \times 10^{18} \times 173.3\,\text{MeV}$

$= 2.56 \times 10^{18} \times 173.3 \times 1.6 \times 10^{-13}\,\text{J}$

$\approx 7.10 \times 10^7\,\text{W} = 71\,\text{MW}$

考虑 $30\%$ 的能量转化效率，实际发电功率：

$P = 0.3 \times 71\,\text{MW} \approx 21.3\,\text{MW}$

这相当于约 $2$ 万户家庭的用电量，而消耗的铀仅有 $1\,\text{mg}$，远小于等量化学燃料所能提供的功率。