相对论的应用与边界

狭义相对论不只是写在纸上的理论。每天有数以亿计的人在使用 GPS 导航，粒子物理学家在对撞机里让质子以接近光速运动，核电站每天把极少量的质量转化为电能——这些都是相对论的真实体现。理解相对论在哪里有效、在哪里需要进一步扩展，是掌握这套理论的最后一步。

GPS 导航与相对论修正

全球定位系统（GPS）的卫星轨道高度约为 $20200\ \text{km}$，轨道速度约为 $v \approx 3870\ \text{m/s}$。GPS 的定位原理是：接收机同时接收至少四颗卫星发出的信号，根据信号到达的时间差计算出自己的位置。这要求卫星上的时钟必须保持极高的精度——哪怕每天累积 $1\ \mu\text{s}$（微秒）的误差，乘以光速后就是约 $300\ \text{m}$ 的定位偏差。

相对论为卫星时钟带来了两种方向相反的影响：

• 狭义相对论效应（速度时间膨胀）：卫星在轨道上高速运动，相对地面观测者来说，卫星时钟走得更慢，每天慢约 $7\ \mu\text{s}$。

• 广义相对论效应（引力时间膨胀）：卫星处于比地面弱得多的引力场中，时钟反而走得更快，每天快约 $45\ \mu\text{s}$。

两种效应叠加，净结果是卫星时钟每天比地面时钟快约 $38\ \mu\text{s}$。

若不修正这 $38\ \mu\text{s/day}$ 的偏差，每天的定位误差将累积约 $11\ \text{km}$，导航完全失效。GPS 工程师通过在卫星出厂时预先将时钟频率调低约 $4.464 \times 10^{-10}$ 的比例来抵消这一效应，使卫星时钟在轨道上的实际走速与地面保持一致。

例题一

GPS 卫星以 $v = 3870\ \text{m/s}$ 绕地球运行。仅考虑狭义相对论时间膨胀，计算卫星时钟每天比地面时钟慢多少秒。（$c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$，$1\ \text{day} = 86400\ \text{s}$）

首先计算速度比：

$\frac{v}{c} = \frac{3870}{3 \times 10^8} = 1.29 \times 10^{-5}$

由于 $v \ll c$，利用低速近似 $\gamma \approx 1 + \dfrac{v^2}{2c^2}$，一天内卫星时钟慢的量为：

$\delta t \approx \Delta t_{\text{地面}} \times \frac{v^2}{2c^2} = 86400\ \text{s} \times \frac{(1.29 \times 10^{-5})^2}{2}$

$\delta t = 86400 \times 8.32 \times 10^{-11}\ \text{s} \approx 7.2 \times 10^{-6}\ \text{s} = 7.2\ \mu\text{s}$

与表格中的 $7\ \mu\text{s/day}$ 完全吻合，仅靠狭义相对论就已产生每天 $7.2\ \mu\text{s}$ 的时间偏差。

粒子加速器：速度的极限

粒子加速器的任务是将带电粒子加速到极高能量，使粒子发生高能碰撞，从而研究物质的基本结构。世界上最大的粒子加速器——欧洲核子研究中心（CERN）的大型强子对撞机（LHC）——能将质子加速到 $v \approx 0.9999991c$，能量高达 $6.5\ \text{TeV}$（万亿电子伏特）。

为什么不能把粒子持续加速到光速？根据相对论动能公式 $E_k = (\gamma - 1)mc^2$，当速度接近光速时，$\gamma$ 趋向无穷大，所需能量也趋向无穷大。持续施加相同大小的力，粒子速度的增长越来越慢，所有输入的能量都以动能形式储存起来，而速度不再明显增加。

从上面可以看出：速度越接近光速，每增加同样的速度增量所需的额外能量越大。这正是光速不可达的根本原因——需要无穷多的能量。

例题二

质子静止质量对应能量 $m_p c^2 = 938.3\ \text{MeV}$。将质子从 $v = 0.9c$（$\gamma_1 = 2.294$）加速到 （），需要额外输入多少动能？与从静止加速到 所需动能相比较。

从 $0.9c$ 加速到 $0.99c$ 所需额外动能：

$\Delta E_k = (\gamma_2 - \gamma_1)\,m_p c^2 = (7.09 - 2.294) \times 938.3\ \text{MeV}$

$\Delta E_k = 4.796 \times 938.3\ \text{MeV} \approx 4501\ \text{MeV}$

从静止加速到 $0.9c$ 所需动能：

$E_{k1} = (\gamma_1 - 1)\,m_p c^2 = (2.294 - 1) \times 938.3 \approx 1214\ \text{MeV}$

速度只多提升了 $0.09c$，却需要约 $3.7$ 倍于前一阶段的能量。这在加速器工程中意味着：越往高能推进，造价和能耗呈非线性急剧增加。

核能：质能方程的工程实践

核裂变是目前核电站的主要工作原理：铀-235 吸收一个中子后分裂，释放巨大能量，同时产生更多中子维持链式反应。核聚变则是氘和氚在极高温度下合并为氦核，每次反应的质量亏损比例约为 $0.38\%$，高于裂变的 $0.09\%$。

中国的核电装机容量持续增长，同时主导参与建设的 ITER（国际热核聚变实验堆）正是为实现可控核聚变而建立的。两种核反应在能量密度上与化学反应存在本质差异：

核聚变每千克燃料释放的能量约是核裂变的 $4$ 倍、化学燃料的数百万倍，且聚变燃料（氘）在海水中极为丰富。

例题三

中国某核电站一台机组年消耗铀-235 约 $1000\ \text{kg}$，质量亏损比例约为 $0.09\%$。计算每年通过质量亏损释放的总能量，并换算成等效煤炭用量（煤炭燃烧值约为 $3 \times 10^7\ \text{J/kg}$）。

质量亏损：

$\Delta m = 1000\ \text{kg} \times 0.09\% = 0.9\ \text{kg}$

释放能量：

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2 = 0.9 \times 9 \times 10^{16}\ \text{J} = 8.1 \times 10^{16}\ \text{J}$

等效煤炭：

$m_{\text{煤}} = \frac{8.1 \times 10^{16}}{3 \times 10^7}\ \text{kg} = 2.7 \times 10^9\ \text{kg} = 270\ \text{万吨}$

$1000\ \text{kg}$ 铀-235 释放的能量相当于燃烧约 $270$ 万吨煤炭。两种燃料的能量密度相差约 $270$ 万倍。

等效原理：引力与加速度的等价

狭义相对论处理的是匀速运动的惯性参考系，引力被排除在外。爱因斯坦在建立狭义相对论后，开始思考如何把引力纳入相对论框架，突破口就是等效原理。

一个密封的电梯静止在地面上，里面的人感受到向下的重力 $g$；同一个电梯在太空中以加速度 $a = g$ 向上加速，里面的人同样感受到大小为 $g$、方向向下的惯性力。仅靠电梯内部的局部实验，无法区分这两种情形。这就是等效原理的核心：引力场与加速参考系在局部是等价的。

等效原理带来了一个重要推论：光在引力场中会发生偏折。在向上加速的电梯里，一束水平射入的光线相对电梯会向下弯曲；由等效原理，在引力场中光也应当弯曲。

广义相对论一瞥

爱因斯坦在 1915 年完成广义相对论，其核心思想是：质量（能量）弯曲时空，物体在弯曲时空中的最短路径就是我们观测到的运动轨迹。这与狭义相对论不同——广义相对论是关于引力的理论。

光线弯曲与 1919 年的日食观测

广义相对论预言，经过太阳附近的光线会被太阳的质量弯曲约 $1.75''$（角秒）。1919 年，英国天文学家爱丁顿在日全食期间拍摄了太阳背后的星光，测量结果与广义相对论的预言吻合，爱因斯坦因此一夜之间成为全球知名的科学家。

引力时间膨胀

引力越强的地方，时间流逝越慢。GPS 卫星处于弱引力处，时钟走快；中子星表面引力极强，时钟走慢的比例可达数十倍。黑洞事件视界处，时间对外部观测者来说几乎停止。

黑洞

当足够大的恒星耗尽燃料后，引力会将物质压缩到极小的区域，形成黑洞。黑洞有一个称为事件视界的边界，任何物体（包括光）一旦越过事件视界，便无法再逃出。2019 年，事件视界望远镜（EHT）拍摄了人类历史上第一张黑洞照片——M87 星系中心的黑洞，质量约为太阳的 65 亿倍。

引力波

质量在加速运动时会在时空中激起波动，称为引力波。2015 年 9 月，美国 LIGO 探测器首次直接探测到引力波，来源是两个黑洞合并，距地球约 13 亿光年。这一发现于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。

例题四

已知光在太阳引力场中经过太阳边缘时偏折角 $\theta \approx 1.75''$（角秒），太阳到地球距离 $d \approx 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$。估算在地球处观测到的恒星位置偏移距离（$1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=4.85\times {}^{}$）。

将偏折角换算为弧度：

$\theta = 1.75 \times 4.85 \times 10^{-6}\ \text{rad} = 8.49 \times 10^{-6}\ \text{rad}$

在地球处的位置偏移（弧长近似）：

$\Delta x = \theta \times d = 8.49 \times 10^{-6} \times 1.5 \times 10^{11}\ \text{m} \approx 1.27 \times 10^6\ \text{m} \approx 1270\ \text{km}$

这意味着，与太阳同侧背景恒星的视位置，在地球处会偏移约 $1270\ \text{km}$——在日全食时用精密天文望远镜可以测量出来。爱丁顿 1919 年的测量正是在这一量级上与预言相符，为广义相对论提供了首个直接验证。

狭义相对论的适用边界

狭义相对论成立的前提是：引力足够弱可以忽略，参考系没有加速。在日常生活的大多数场景里，物体速度远小于光速（$v \ll c$），相对论效应微乎其微，经典力学已经足够精确。只有在粒子物理、天文、精密导航等特定领域，相对论效应才变得显著甚至决定性。

相对论的故事并未就此结束。量子力学与狭义相对论的结合产生了量子场论和粒子物理的标准模型；如何把广义相对论与量子力学统一起来，至今仍是物理学最前沿的未解之题。

练习题

选择题

题目一（GPS 时钟修正）

GPS 卫星时钟每天相比地面时钟净偏快约 $38\ \mu\text{s}$，其原因是：

A. 仅由于卫星高速运动引起的时间膨胀（狭义相对论效应使时钟变慢）

B. 仅由于卫星处于较弱引力场（广义相对论效应使时钟变快）

C. 狭义相对论使卫星时钟每天慢约 $7\ \mu\text{s}$，广义相对论使卫星时钟每天快约 $45\ \mu\text{s}$，净效果为快约 $38\ \mu\text{s}$

D. GPS 时钟不需要相对论修正，偏差来自电子设备的制造误差

题目二（粒子加速器中的速度极限）

在粒子加速器中，质子被持续施加相同大小的力。当质子速度已经接近光速时，继续加速的效果是：

A. 质子速度继续以相同加速度线性增长，很快突破光速

B. 质子速度几乎不再增加，所有输入的能量都转化为相对论动能，速度趋近于但永远无法达到光速

C. 质子在接近光速时会因辐射损失能量而停止加速，速度开始降低

D. 质子速度每次增加的量与低速时相同，只是所需时间更长

题目三（等效原理）

根据等效原理，下列说法正确的是：

A. 在自由下落的密封电梯内，通过任何局部实验都感知不到引力，处于完全失重状态

B. 引力与加速度在全局上完全等价，在任何范围内都无法区分

C. 等效原理说明引力是一种虚假的力，自然界中实际上不存在引力

D. 等效原理只适用于引力极弱的情况，在强引力场中不成立

题目四（广义相对论的验证）

2015 年，LIGO 探测器首次直接探测到引力波，该引力波的来源是：

A. 太阳系内行星公转运动产生的时空扰动

B. 两颗中子星相互绕转并合并

C. 两个黑洞合并产生的时空涟漪

D. 宇宙大爆炸时产生的原初引力波背景

计算题

计算题一（GPS 时钟误差综合估算）

一颗 GPS 卫星轨道速度 $v = 3870\ \text{m/s}$，轨道高度约 $20200\ \text{km}$，轨道处重力加速度 $g_{\text{卫星}} \approx 0.566\ \text{m/s}^2$。已知地面重力加速度 ，地球半径 ，，。

（1）仅考虑狭义相对论时间膨胀，计算卫星时钟每天比地面时钟慢的时间 $\delta t_{\text{SR}}$（单位：$\mu\text{s}$）；

（2）卫星轨道高度处与地面之间的引力势差约为 $\Delta\Phi \approx 5.3 \times 10^7\ \text{m}^2/\text{s}^2$（综合考虑地球引力势随高度的非线性变化），广义相对论引力时间膨胀公式为 $\delta t_{\text{GR}} \approx \Delta t \cdot \dfrac{\Delta\Phi}{c^2}$。计算卫星时钟每天因广义相对论效应快多少 ；

（3）两种效应叠加后，若不修正，一天后 GPS 定位误差约为多少千米？

计算题二（粒子加速器能量计算）

大型强子对撞机（LHC）将质子加速到速度 $v = 0.9999991c$，此时洛伦兹因子 $\gamma \approx 7461$。已知质子静止质量对应能量 $m_p c^2 = 938.3\ \text{MeV}$，。

（1）计算质子在此速度下的总能量 $E$（用 $\text{TeV}$ 表达）；

（2）计算质子的相对论动能 $E_k$，并说明动能与总能量的关系；

（3）若用经典公式 $E_{k,\text{经典}} = \dfrac{1}{2}m_p v^2 \approx \dfrac{1}{2}m_p c^2$（取 ）估算，与相对论结果相差多少倍？

$= 86400 \times \frac{1.498 \times 10^7}{1.8 \times 10^{17}}\ \text{s} = 86400 \times 8.32 \times 10^{-11}\ \text{s} \approx 7.2\ \mu\text{s}$

（2） 广义相对论效应（卫星时钟偏快）：

$\delta t_{\text{GR}} \approx \Delta t \cdot \frac{\Delta\Phi}{c^2} = 86400\ \text{s} \times \frac{5.3 \times 10^7}{9 \times 10^{16}}$

$= 86400 \times 5.89 \times 10^{-10}\ \text{s} \approx 5.09 \times 10^{-5}\ \text{s} \approx 50.9\ \mu\text{s}$

与实测值约 $45\ \mu\text{s/day}$ 处于同一量级，差异来自引力势差的估算精度。取精确值 $\delta t_{\text{GR}} \approx 45\ \mu\text{s/day}$。

（3） 净偏差与定位误差：

$\delta t_{\text{净}} = \delta t_{\text{GR}} - \delta t_{\text{SR}} = 45\ \mu\text{s} - 7\ \mu\text{s} = 38\ \mu\text{s}$

定位误差：

$\Delta x = c \times \delta t_{\text{净}} = 3 \times 10^8\ \text{m/s} \times 38 \times 10^{-6}\ \text{s} = 1.14 \times 10^4\ \text{m} \approx 11.4\ \text{km}$

若不修正，一天后 GPS 定位误差将累积约 $11\ \text{km}$，导航系统将彻底无法使用。

（LHC 设计单束能量为 $6.5\ \text{TeV}$，与此估算量级相符。）

（2） 相对论动能：

$E_k = (\gamma - 1)\,m_p c^2 = (7461 - 1) \times 938.3\ \text{MeV} = 7460 \times 938.3\ \text{MeV} \approx 7.00\ \text{TeV}$

动能几乎等于总能量，因为 $\gamma \gg 1$ 时，静止能量 $m_p c^2 = 938.3\ \text{MeV}$ 相对于总能量 $7\ \text{TeV}$ 可以忽略不计。

（3） 经典动能估算与对比：

$E_{k,\text{经典}} \approx \frac{1}{2}m_p c^2 = \frac{1}{2} \times 938.3\ \text{MeV} = 469.2\ \text{MeV}$

相差倍数：

$\frac{E_k}{E_{k,\text{经典}}} = \frac{7.00 \times 10^6\ \text{MeV}}{469.2\ \text{MeV}} \approx 14920 \approx 1.5 \times 10^4\ \text{倍}$

在 LHC 能量级别，相对论效应使实际动能约为经典估算的 $15000$ 倍。若不使用相对论，整个加速器的设计（磁铁偏转强度、射频腔频率等）将与实际结果完全不符。