简谐运动的基础

自然界中的振动现象极为普遍。荡秋千时座椅的来回摆动，拨动吉他弦后听到的持续鸣响，手腕上石英表内晶体的规律跳动——这些都是振动的表现。振动的形式各式各样，但其中最简单、最基础的一类，被称为简谐运动。掌握简谐运动的描述方法，是理解一切振动与波动现象的起点。

振动无处不在

观察生活中的各种运动，会发现一类特殊的运动模式：物体在某个固定位置附近来回运动，且每隔相同的时间重复一次完整的运动过程。钟摆每隔固定的时间摆到左边，再回到右边，再回到中间，这一过程不断重复；弹簧玩具被压缩后弹起，再被压下，往复不止。这种在平衡位置附近周而复始的运动，统称为振动，也叫做周期运动。

描述振动最基本的量，是完成一次完整振动所需的时间，称为周期，记作 $T$，单位是秒（$\text{s}$）。与之对应的，是单位时间内完成振动次数，称为频率，记作 $f$，单位是赫兹（$\text{Hz}$）。两者互为倒数：

自然界和工程中振动系统的周期和频率跨度极大，下表列出了几个典型例子：

这些系统的周期相差数百万倍，但描述它们运动规律的数学形式完全相同。

正弦振动的描述

取一根弹簧，竖直悬挂，下端挂一个小球。将小球向下拉开一段距离后松手，小球便在竖直方向上反复振动。用传感器记录小球偏离平衡位置的距离（即位移）随时间的变化，会得到一条光滑的曲线。这条曲线，正是数学中的正弦（或余弦）函数图像。

这种位移随时间做正弦变化的振动，就是简谐运动。它是所有振动形式中最基础、最规则的一种。

为了更直观地理解，来看一组弹簧振子的实测数据（振幅 $5\ \text{cm}$，周期 $1\ \text{s}$）：

数据完整对应余弦函数 $x = 5\cos(2\pi t)$（单位：$\text{cm}$）。每过 $1\ \text{s}$，运动状态精确重复，这正是周期运动的核心特征。

简谐运动的基本方程

描述简谐运动最标准的数学形式为：

其中 $x$ 是质点在 $t$ 时刻偏离平衡位置的位移，$A$、$\omega$、$\phi$ 是三个描述振动状态的参数，它们共同决定了这个振动“长什么样”。

将这个方程画出来，就是一条在 $[-A,\ A]$ 之间来回摆动的余弦曲线，曲线的高低幅度由 $A$ 决定，振动的快慢由 $\omega$ 决定，曲线的起始位置由 $\phi$ 决定。

例题　已知某质点做简谐运动，方程为

对照标准形式 $x = A\cos(\omega t + \phi)$，可以直接读出：

由角频率可进一步求出周期：$T = 2\pi/\omega = 2\pi/(4\pi) = 0.5\ \text{s}$，频率 $f = 1/T = 2\ \text{Hz}$。

振幅、周期与角频率

简谐运动方程的三个参数，各自对应一个明确的物理含义。

• 振幅 $A$：质点偏离平衡位置的最大距离，单位为 $\text{m}$。振幅越大，振动越剧烈，振动系统储存的能量也越多。振幅不影响振动的快慢。

• 周期 $T$：完成一次完整振动所需的时间，单位为 $\text{s}$。周期完全由振动系统本身的物理特性决定（如弹簧的劲度系数、摆的长度），与振幅无关。

• 角频率 $\omega$：单位时间内相位变化的弧度数，单位为 $\text{rad/s}$。角频率与周期、频率的关系为：

三个参数的完整对照如下：

例题　一质点做简谐运动，周期 $T = 0.4\ \text{s}$，振幅 $A = 6\ \text{cm}$，$t = 0$ 时质点在平衡位置并向正方向运动。求运动方程，并计算 $t = 0.1\ \text{s}$ 时的位移。

首先计算角频率：

$t = 0$ 时质点在平衡位置向正方向运动，位移为零且速度为正，对应正弦函数的起始状态：

代入 $t = 0.1\ \text{s}$：

质点此时恰好到达正方向最大位移处。

初相位的含义

在方程 $x = A\cos(\omega t + \phi)$ 中，括号内的整个表达式 $(\omega t + \phi)$ 称为相位，它是随时间线性增大的量，完整描述了质点在振动循环中所处的“阶段”。$t = 0$ 时刻的相位值 $$，就是。

初相位决定了振动从哪个状态出发。下面以相同振幅 $A$、相同角频率 $\omega$ 的振动为例，比较不同初相位对应的出发状态：

例题　两个完全相同的弹簧振子，角频率均为 $\omega = \pi\ \text{rad/s}$，振幅均为 $A = 4\ \text{cm}$。振子甲在 $t = 0$ 时从平衡位置向正方向运动；振子乙在 $t = 0$ 时位于正最大位移处。写出两者的运动方程。

振子甲的出发状态：$x_0 = 0$，速度为正。用正弦函数自然描述：

振子乙的出发状态：$x_0 = A = 4\ \text{cm}$，速度为零。用余弦函数：

两式都是合法的简谐运动方程。实际上，$4\sin(\pi t) = 4\cos(\pi t - \pi/2)$，所以两振动的初相位相差 $\pi/2$，振子乙超前振子甲四分之一周期。

相位差与振动的比较

当两个简谐运动的频率相同时，可以通过比较它们的相位来判断运动状态的先后关系。

设两个振动分别为：

两者的相位差定义为：

相位差的物理意义，在于描述两振动在时间上的超前或滞后：

例题　两列简谐振动的方程为：

求相位差，并判断超前滞后关系。

相位差为 $\pi/2 > 0$，说明 $x_1$ 超前 $x_2$，超前量为四分之一周期（$T/4$）。在图像上， 的曲线比 整体向左平移了四分之一周期的距离。

旋转矢量表示法

除了方程和图像，简谐运动还有一种直观的几何表示方式——旋转矢量法。

在平面上，取一个长度等于振幅 $A$ 的矢量，令其从初始角度 $\phi$ 出发，以角速度 $\omega$ 绕原点逆时针匀速旋转。在任意时刻 $t$，该矢量与 $x$ 轴正方向的夹角为 $(\omega t + \phi)$，其在 $$ 轴上的投影恰好等于：

这就是简谐运动的位移。因此，旋转矢量端点在某一轴上的投影，做简谐运动。

旋转矢量法的优势在于将抽象的相位转化为直观的角度：

例题　用旋转矢量法分析 $x = 4\cos\!\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)\ \text{cm}$ 在 $t = 0$ 时刻的状态。

$t = 0$ 时，旋转矢量与 $x$ 轴正方向成 $\phi = \pi/4$（即 $45°$）角。矢量在 $x$ 轴的投影为：

矢量处于第一象限，随时间逆时针旋转，下一时刻投影沿余弦规律减小（矢量转向 $90°$ 时投影变为零，再转向 $180°$ 时投影变为 $-4\ \text{cm}$）。

例题　两列振动方程为 $x_1 = 5\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 和 $$，用旋转矢量法说明 时两矢量的位置关系。

$t = 0$ 时，矢量1与 $x$ 轴成 $+30°$（逆时针），矢量2与 $x$ 轴成 $-60°$（顺时针）。两矢量夹角为 $30° + 60° = 90°$，即相位差 。矢量1超前矢量2，对应 超前 四分之一周期。

练习题

选择题

第1题　某质点做简谐运动，其运动方程为 $x = 0.2\cos\!\left(6\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)\ \text{m}$，则该质点振动的频率为（　　）

A. $3\ \text{Hz}$　　B. $6\ \text{Hz}$　　C. $6\pi\ \text{Hz}$　　D. $\dfrac{1}{3}\ \text{Hz}$

第2题　两列简谐振动的方程分别为 $x_1 = A\cos(\omega t)$ 和 $x_2 = A\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$，下列说法正确的是（　　）

A. $x_1$ 超前 $x_2$ 四分之一周期

B. $x_2$ 超前 $x_1$ 四分之一周期

C. 两振动同相，图像完全重合

D. 两振动反相，图像关于时间轴对称

第3题　一质点做简谐运动，在 $t = 0$ 时刻位于负最大位移处，振幅为 $A$，角频率为 $\omega$，则该运动方程为（　　）

A. $x = A\sin(\omega t)$

B. $x = A\cos(\omega t)$

C. $x = -A\cos(\omega t)$

D. $x = A\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$

第4题　关于简谐运动振幅与周期的关系，正确的说法是（　　）

A. 振幅越大，周期越长，振动越慢

B. 振幅越大，频率越高，振动越快

C. 振幅与周期互相独立，改变振幅不影响周期

D. 振幅与角频率成反比

计算题

第5题　一质点做简谐运动，振幅 $A = 8\ \text{cm}$，周期 $T = 2\ \text{s}$，$t = 0$ 时质点在平衡位置且向负方向运动。

（1）写出该质点的运动方程；

（2）分别求 $t = 0.5\ \text{s}$、$t = 1.0\ \text{s}$、$t = 1.5\ \text{s}$ 时刻的位移，列表对比，并说明质点在各时刻所处的位置。

第6题　两列简谐振动的方程分别为：

（1）求两列振动的相位差，并判断哪列振动超前；

（2）$t = 0$ 时，分别求两质点的位移，并说明旋转矢量法下两矢量的角度关系。

选 A。

代入选项 B：$x_0 = A\cos 0 = A$，不符合；

代入选项 C：$x_0 = -A\cos 0 = -A$，符合；

代入选项 D：$x_0 = A\cos(\pi/2) = 0$，不符合。

选 C。

$t = 0$ 时，$x_0 = 0$，速度方向为负，选用负正弦形式：

也可写为余弦形式：$x = 8\cos\!\left(\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{cm}$，两者等价。

（2）代入各时刻：

质点从平衡位置出发向负方向运动，经过半个周期（$t = 0.5\ \text{s}$）到达负最大位移，再经四分之一周期（$t = 1.0\ \text{s}$）回到平衡位置，再经四分之一周期（$t = 1.5\ \text{s}$）到达正最大位移，共历时 $1.5\ \text{s}$，完成了四分之三个周期的运动。

$\Delta\phi = -\pi/2 < 0$，$x_1$ 滞后 $x_2$，即 $x_2$ 超前 $x_1$ 四分之一周期（$T/4 = \pi/(2\times4) \approx 0.39\ \text{s}$）。

（2）$t = 0$ 时各质点位移：

旋转矢量方面：$t = 0$ 时，矢量1在 $x$ 轴下方 $30°$（初相 $-\pi/6$），矢量2在 $x$ 轴上方 $60°$（初相 $+\pi/3$）。两矢量夹角为 $30° + 60° = 90°$，即 $\pi/2$，与相位差的绝对值一致。矢量2的角度更靠近正 $y$ 轴方向，在逆时针旋转过程中，矢量2比矢量1早到达相同角度，验证了 $x_2$ 超前 $x_1$ 的结论。