斯勒茨基方程

假设原始消费为$(x_1, x_2)$，原始价格为$(p_1, p_2)$，收入为； 价格变化后，变为（和其他条件不变），我们希望使在新价格和新收入下依然刚好被买下。

因此有两个方程：

两式相减，消去$p_2 x_2$项，可得：

即，为保持原消费计划可实现，收入需要补偿$\Delta m = x_1 \Delta p_1$，
其中$\Delta p_1 = p_1' - p_1$。

收入调整公式为：

直观理解：如果商品1涨价，每消费一单位就需要多花$\Delta p_1$元，一共消费$x_1$单位，则收入需补偿$x_1 \Delta p_1$元。

假设某人原本每周买20根雪糕，每根3元。现在雪糕涨价到4元（$\Delta p_1 = 1$元），那么要维持原来20根的购买量，收入至少要增加：

即：$\Delta m = \Delta p_1 \times x_1 = 1 \times 20 = 20$元。

补偿这20元，才能刚好买原本的20根雪糕。若只得到15元补偿，就只能买回15根——也就是说收入调整要完全覆盖价格变化带来的额外支出才能无差别地维持原消费生活。

替代效应的定义

有了转动预算线（即给予收入补偿，使原消费束仍可实现的新预算线），我们可以考察替代效应：

• 替代效应：在新价格和补偿性收入下，消费者会重新选择最优商品束，此时的变化仅反映价格结构变动下的选择偏好，并未考虑实际财富的增减。
• 记$(x_1, x_2)$为初始选择，$(y_1, y_2)$为在新价格与补偿性收入下的最优选择。

因此，替代效应可度量为：

即：商品1的最优需求量对比原始（老价格、老收入）和“新价格+补偿收入”下的变化。

用更通俗的话讲，替代效应就是“如果你的购买力没变，但价格结构变了，你会如何调整消费？”

这种分解，不仅有助于理解需求的动态变化，也是分析吉芬商品、经济政策（如征税补贴）效果和福利测度的理论基础。

收入效应

第二阶段：预算线的平移

在价格调整分析中，继替代效应（预算线绕某点转动）之后，第二阶段便是收入的调整 —— 体现为预算线的平移。这个阶段其实非常直观：

当商品价格已经变为新值（如$p_1'$），但希望观察收入从“补偿后”$m'$回到实际收入$m$时对消费的影响。

预算线平移的几何与代数描述

我们知道，预算线的平移是由于收入$m$的变化，但价格$\left(p_1', p_2\right)$保持不变。这种平移意味着消费者的可支配收入发生改变，但相对价格结构没有变化。所以，称它为收入效应（Income Effect）。

在图中，从点$(y_1, y_2)$（预算线转动后最优点）出发，消费者的收入由$m'$变回$m$，商品价格维持在，预算线平移，最优点也由变为。

精确定义：收入效应衡量收入变动导致的需求变化（在新价格水平下）。
设$x_1(p_1', m')$为补偿收入下、$x_1(p_1', m)$为实际收入下商品1的需求， 则为：

其中：

• $x_1(p_1', m')$ = 替代效应阶段的最优需求（新价格+补偿性收入）
• $x_1(p_1', m)$ = 新价格+实际收入时的最优需求

换句话说，收入效应反映了仅因收入变化（价格结构不变）导致的需求增加或减少。

收入效应的方向讨论

经济学中，收入效应的方向依赖于商品属性：

• 正常品（Normal Good）：
  收入增加会提升需求，即 $\Delta x_1^n > 0$。
• 劣等品（Inferior Good）： 收入增加反而减少需求，即 $\Delta x_1^n < 0$。

实际上，某些情形下（如吉芬品）收入效应甚至可能大于替代效应，导致整体需求“反常”波动。

若价格下降，则需要减少收入以维持和原来一样的购买力。此时，

• 对正常品，减少收入将使需求减少。
• 对劣等品，减少收入可能使需求反而上升。

收入效应计算具体例题

某消费者的牛奶需求函数为

详细计算：

1. 初始需求量 (原价格下)

   $$x_1 = 10 + \frac{600}{10 \times 6} = 10 + \frac{600}{60} = 10 + 10 = 20\ \text{升/周}$$

拆分替代效应和收入效应：

3. 计算保持原消费需补偿的收入变动（补偿性收入）

   价格由$6$降至$4$元，$\Delta p_1 = 4 - 6 = -2$，
   所需补偿

   $$\mathrm{\Delta }m=x_1\mathrm{\Delta }{p}_{}$$

结论：本例中，牛奶为正常品，因为收入上升带来需求上升（$\Delta x_1^n > 0$）。

总结：

• 替代效应和收入效应相加等于总需求变化： $$\Delta x_1 = \Delta x_1^s + \Delta x_1^n = 4 + 1 = 5\ \text{升}$$

替代效应的符号

替代效应总是负的

在分析价格变动时，需求变化可以分为替代效应和收入效应。我们已经了解到，收入效应的方向取决于商品的属性：对正常品可能是正的，对劣等品则可能为负。那么，替代效应的方向又如何呢？

实际上，无论商品是正常品还是劣等品，替代效应始终在价格变化的相反方向。具体来说，当商品1的价格下降时，仅由价格结构变化带来的需求调整（即替代效应）必然导致对该商品的需求增加；反之，价格上升则导致需求减少。数学表达上：如果$p_1 > p_1'$，则有$x_1(p_1', m') \geq x_1(p_1, m)$，也就是。这意味着替代效应带来的需求变化始终“抵消”价格方向，是“负的”。

原理与证明

要直观说明替代效应为何总是负的，可以借助显示偏好理论。考虑原预算线上消费者的最优点X。价格改变后，为分析纯粹的替代效应，我们设定收入调整到刚好还能买到原来的X点，这样新预算线“转动”却经过X，消费者此时重新选择。

如上图所示，X是原预算集下的最优消费束。价格变化后调整预算线，使X依然可获得，形成一条“转动预算线”。在新价格下，消费者将会在转动预算线和新的无差异曲线相切的某一点作出选择，记作Y。由于X在原来是最优消费，因此在转动预算线上，Y要么与X重合，要么位于X的右侧（即商品1消费量增加）。

直观地说，消费者在价格变动、实际购买力保持不变时，会更倾向于购买价格相对变得便宜的商品1，而减少另一个商品的消费，这正体现了替代效应的“方向”特征——它永远指向对价格降低商品的替代。

无论偏好如何（只要满足常规的凸性和单调性），消费者在经过收入补偿、仅感受到价格结构变化后，都会把部分消费迁移到变得便宜的商品上。因此，替代效应总是与价格变化方向相反。

替代效应的经济含义

替代效应总是与价格变动方向相反。也就是说，当某种商品的价格上升时，消费者会自然地减少对这种商品的需求，转而增加对其他商品的消费；而当商品价格下降时，消费者则倾向于购买更多这种变得便宜的商品。之所以说替代效应是“负的”，是因为无论商品的具体属性如何，只要价格结构发生变化（而实际收入保持不变），消费者对该商品的需求变化总是朝着“对价格上涨减少、对价格下跌增加”的方向调整。这种效应体现了消费者在保持原有效用水平下，最优选择随相对价格变化发生转移的经济规律。替代效应的存在源于商品之间的可替代性和消费选择的多样性，无论商品本身是正常品还是劣等品，其方向总是与价格变动相反，这也是微观经济学中极为重要的规律性结论。

需求总变化

斯勒茨基恒等式

需求总变化$\Delta x_1$是指在保持收入不变的情况下，由于价格变化引起的需求量的变动。形式化地表示为：

其中，$x_1(p_1, m)$表示在原始价格$p_1$和收入$m$下对商品1的需求，表示价格变为后的需求。

我们已经看到，这一总变化可以进一步分解为两部分：替代效应和收入效应。用前述符号表示：

或者写得更详细一些：

其中，$m'$是补偿性收入，使得旧消费束在新价格下仍然可以获得。

用文字表述，即：

需求总变化 $=$ 替代效应 $+$ 收入效应

上述恒等式称为斯勒茨基恒等式（Slutsky Equation）。

• 替代效应 $[x_1(p_1', m') - x_1(p_1, m)]$：表示在保持实际效用不变（给予补偿性收入）时，仅因价格结构变化导致的需求变动。

恒等式的内容与经济学内涵

需要注意的是，这是一个恒等式：对于任意$p_1$、$p_1'$、$m$和$m'$都成立。可以发现，右侧第一项和右侧的第四项会相互抵消，因此右边恒等于左边。

斯勒茨基恒等式的内容不仅仅在于其代数上的成立，更重要的是其对替代效应和收入效应经济含义的解释。这为我们理解和预测价格变动时消费选择的变化提供了理论依据。

正常商品的情况

对于正常商品（normal good），我们可以结合替代效应和收入效应各自的符号来判断需求总变化的方向。

• 替代效应$\Delta x_1^s$总是负的（即与价格变动方向相反：价格上升时需求减少）。
• 收入效应$\Delta x_1^n$对于正常商品也是负的（价格上升，相当于实际收入下降，正常商品需求减少）。

因此，总效应$\Delta x_1$必为负，即：

换句话说，价格上涨时，正常商品的替代效应和收入效应方向一致（都使需求减少）。因此，需求总是下降。

劣等商品与吉芬商品

对于劣等商品（inferior good），情况会发生变化：

• 替代效应$\Delta x_1^s$仍然是负的。
• 但是，收入效应$\Delta x_1^n$为正（价格上升导致实际收入下降，而劣等商品是收入下降时需求增加的商品）。

此时，总效应$\Delta x_1$方向不确定，取决于收入效应和替代效应的大小：

如果收入效应$\Delta x_1^n$足够大，甚至可以超过替代效应$\Delta x_1^s$，那么$\Delta x_1$可能为正。也就是说，。

吉芬商品（Giffen good） 的条件：

1. 商品必须是劣等品（$\Delta x_1^n>0$）；
2. 且收入效应的绝对值大于替代效应的绝对值，即 $|\Delta x_1^n| > |\Delta x_1^s|$，从而使得。

现实中吉芬商品极为罕见，因为这种商品不仅要是劣等商品，还要“非常”劣等，才能令收入效应超过出替代效应。

重要结论

斯勒茨基恒等式揭示，价格上升导致需求上升的“反常”情形只可能发生在劣等商品（且必须是吉芬商品）。对于正常商品（$\Delta x_1^n<0$），无论如何总需求变化必为负，即需求随价格上升而下降，这正是需求法则的深层原因之一。

因此，吉芬商品一定是劣等商品，但劣等商品不一定是吉芬商品。

需求法则

消费者理论的内容

在前面讨论消费者理论时，我们曾经提出过一个重要的疑问：理论看似允许需求在价格或收入变动时向任意方向变化，那么理论有“内容”吗？如果一个理论对所有可能的行为都不加以区分，它实际上缺乏可检验性，也就不构成有解释力的科学理论。因此，真正有内容的理论应该能够对行为做出某些限制或预测。

理论的限制与启示

实际上，消费者理论并非毫无内容。通过分析理性消费者的优化选择，我们得知偏好必须满足强显示偏好公理（Strong Axiom of Revealed Preference, SARP），这已经是对行为的一种限制。

通过斯勒茨基方程的分解，我们还可以把价格变动的影响划分为替代效应和收入效应。我们已经严格证明：对于任何商品，替代效应$\Delta x_1^s$都必然为负——也就是说，若该商品的自身价格上升，其他条件不变，消费者对于该商品的需求总是因为替代效应而减少。而收入效应的方向，则根据商品是“正常的”还是“劣等的”而有所不同：正常商品的收入效应为负，劣等商品的收入效应为正。

需求法则的表达与推导

虽然消费者理论允许收入效应和替代效应相互抵消、甚至相互“打架”（如吉芬商品的案例），但它确实对收入效应与替代效应的相互关系施加了限制，从而获得了一个极为重要的结论——需求法则。

推导与证明：

这一结论实际上直接来源于斯勒茨基恒等式：

对于正常商品（$\Delta x_1^n < 0$），收入效应和替代效应方向一致，都会使得价格上升时需求减少，价格下降时需求增加。因此，正常商品的需求曲线必然向下倾斜。这是对所有偏好的强约束，也是理论层面对真实市场行为的重要解释。

对于劣等商品，虽然替代效应仍然为负，但收入效应可能为正，所以总效应不确定。当收入效应绝对值小于替代效应时，需求仍然随价格上升而下降（大多数劣等商品为此类）；只有收入效应极强时才会出现吉芬现象，即价格上升时需求增加。

理论意义与现实应用

需求法则揭示了消费者理论的“可检验内容”：正常商品的需求曲线必定向下倾斜，也就是说，在现实中大多数商品，如果我们观察到收入上升时其需求增加，那么我们就可以有把握地预言：该商品的需求一定会因为价格上升而减少。

需求法则的局限与实证意义

在现实世界，绝大多数商品均为正常商品，需求法则普遍适用。经济学家及政策制定者通常据此预测价格调整对市场的影响。但我们也看到：理论并不否定吉芬商品的存在，只是它们极为罕见，需要收入效应极强才可能观察到，因此构成了需求规律极少数的例外。在数据分析和实际调查中，需求法则也是判断商品属性的基本方法之一。

不同偏好类型的收入效应与替代效应

在理解需求的价格弹性时，将总效应拆解为替代效应和收入效应具有重要理论与实务意义。不同的偏好结构，会导致这两种效应表现出极为不同的性质。以下我们通过典型偏好类型的图示实例，加以对比和分析，并最终总结一般规律。

完全互补品

完全互补品的例子如“左脚鞋与右脚鞋”。消费者只会按一一配对的方式消费这两种商品，多买其中之一并无意义。

当我们围绕原选择点让预算线旋转（变动价格保持效用水平不变），你会发现转动后的选择仍然是原来的配对点。这表示“替代效应为零”。无论如何改变相对价格，消费者对于这两种商品的消费比例始终不变。随后若继续移动预算线到新的位置，消费点才发生平行移动，这全部是“收入效应”的作用。

直观解释：因为两个商品是一一配对，无法相互替代，价格变化只影响可购买的组合总体数量，不影响比例。

完全替代品

完全替代品（如红笔与蓝笔），消费者只关心总数量，对哪一种并无偏好。只要价格不同，必定全部买入便宜的一种。

预算线一旦倾斜（比如蓝笔变便宜、红笔变贵），消费者立即将全部需求从红笔“跳”到蓝笔。全部的需求变化都属于替代效应。由于始终购买最便宜的那一个，预算平移（即收入变化）并不会引起消费量的变化，收入效应为零。

因此，只要价格关系改变，全部消费立刻切换，“替代动作”彻底、瞬时完成。

拟线性偏好

拟线性偏好常见于效用形式为 $u(x_1, x_2) = f(x_1) + x_2$。在许多理论模型讨论中，这种结构尤其关键，因为它对收入效应有特殊结论。

拟线性偏好下（如 $u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1} + x_2$），商品 的最优消费量 。这意味着。当价格变化时， 只会因为价格的变化而改变，这全部体现在替代效应中。预算线平移（收入变化）不会令 发生任何变化。

对比与总结

• 完全互补品：替代效应为零，全部需求变化归因于收入效应。
• 完全替代品：收入效应为零，全部需求变化为替代效应。
• 拟线性偏好：收入效应为零，全部需求变化为替代效应；
• 一般偏好：两种效应通常都存在，除特殊结构外分量大小与方向不定。

希克斯替代效应

另一种替代效应的定义

在前面，我们学习了“替代效应”可以被定义为当价格变化、但调整收入恰好使原消费束仍可负担时，消费者需求如何相应变化。这是斯勒茨基（Slutsky）路径下的定义。

但经济学家还常用另一种定义——希克斯替代效应（Hicksian Substitution Effect）。区别是：斯勒茨基方法保持原消费束的可负担性，而希克斯方法保持消费者的效用水平不变。

希克斯方法

假设消费者最初预算约束为

最优选择为点 $A: (x_1^A, x_2^A)$，效用为 $u^A$。

现在，$p_1$ 发生变化（比如从 $p_1$ 变为 $p_1'$）。希克斯的方法是：不让收入保持不变，也不是让原消费束可负担，而是让预算线“绕着”原无差异曲线移动，使消费者能恰好达到原来的效用水平 。

也就是说，“调收入”，确保新的预算线

使得消费者刚好能选择在 $u^A$ 上的某个消费束。这一调整下消费者在新预算和新价格下选择的点，称为 $B$，其 $x_1^B$ 与 $x_1^A$ 的差异就是。

因此，希克斯替代效应的实质是在价格改变后，让消费调整到新价格下、效用和原来一样高时需求的变化。

两种方法区别表

希克斯替代效应的符号与显示偏好证明

虽然定义不同，希克斯替代效应与斯勒茨基替代效应一样，总是与价格变化方向相反。也就是说，如果 $p_1$ 上升，则希克斯替代效应下 $x_1$ 必然减少。

显示偏好证明如下：

• 设 $(x_1, x_2)$ 是最初价格 $(p_1, p_2)$ 下的效用最优点，效用 。

“希克斯预算线”就是：

并保证

因为两点的效用一样、都是各自预算下的最优，因此二者之间不能被彼此“显示偏好”（revealed preference）所支配。这带来如下不等式：

将两式相加、整理，可得：

如果只考虑 $p_2 = q_2$，只调整 $p_1$，则 $(q_2-p_2)(y_2$，于是有：

也就是说，需求量的变化与价格的变化符号相反：

• $q_1 > p_1$（价格上升）$\implies y_1 < x_1$（需求下降）

这就是希克斯替代效应必为负方向的严格证明。

补偿需求曲线

三种需求曲线

之前我们学习了三种不同的需求曲线，这三种曲线对应于在价格变化时保持不同的“参照量”不变。三种参照有：

1. 保持收入不变（原始或马歇尔需求）：这即是最基础、最直观的需求曲线，描述在名义收入不变时，价格不同对应的最优消费量。是常见的市场需求曲线的理论基础。
2. 保持初始消费束的可负担性不变（斯勒茨基需求）：通过对收入进行补偿，使得消费者在价格变化后仍刚好可以买到原先的消费束，这样分离出价格变动“相对价格效应”（替代效应）与“购买力效应”（收入效应）中的前者。斯勒茨基需求曲线正是表现替代效应的工具。
3. 保持效用水平不变（希克斯需求，或补偿需求）：对收入作补偿，使得在新价格下消费者能够恰好维持原有效用水平，隔离出由价格变化引发的纯粹替代效应。这条需求曲线也称为“补偿需求曲线”，是福利分析中的重要概念。

在分析这些需求曲线时，我们可以绘制出当价格 $p_1$ 变化、但三种“约束量”各自保持固定时，最优需求量的变化路径。这产生了三种不同的需求曲线，每条都反映不同的经济含义。

需求曲线类型

• 希克斯需求曲线一定向下倾斜（正常商品），反映在给定效用的前提下，价格越高，需要补偿的支出越多，对应的需求量越低。
• 斯勒茨基需求曲线也总是向下倾斜，体现纯替代效应，代表消费者在实际购买力不变时对价格变化的纯粹响应。
• 普通需求曲线（保持收入不变）通常在正常商品时向下倾斜——这就是我们常说的“需求法则”。但在吉芬商品情况下，收入效应足够强烈时，有可能出现向上倾斜的特殊情况。

这些需求曲线的之间的关系如下：

• 对于正常商品，一条价量点连线呈现出递减特性：希克斯需求曲线（最陡） < 斯勒茨基需求曲线 < 普通需求曲线（最平），具体陡峭程度反映了收入效应大小。
• 在极端情形下（如完全替代品、完全互补品、吉芬品），三条曲线可以重合，也可以出现显著差异，具体依赖于商品类型和消费者偏好结构。

补偿需求曲线的经济含义

希克斯需求曲线（补偿需求曲线）是经济学中极为重要的工具，尤其是在福利经济学、补偿标准、政策分析等领域。它是所有价格-需求曲线中最“纯粹”的：排除了收入效应的干扰，仅刻画消费者在效用水平不变下对价格变动的最直接响应。

为何称为“补偿需求曲线”？

之所以有“补偿”之名，是因为每当价格变化时，我们都会精确调整（补偿）收入，使得消费者在新价格下依然能达到原先的效用（即原先的无差异曲线）。换言之，消费者始终保持等同于最初状态的福利。曲线上的每一个点，代表在不同价格下和相应最优需求数量下，所得效用均一致。

实际应用价值：

补偿需求曲线在微观经济学和福利分析中应用广泛。例如，政策制定者在评估某项价格管制、税收、补贴、环境政策时，需要估算相关政策对消费者福利的净效应——“要补偿多少财富，才能让消费者在新政策下和政策前一样幸福/满足？”这种推算正是基于补偿需求曲线。在高级经济学课程中，补偿变化（compensating variation）、等价变化（equivalent variation）等福利测度，均以希克斯需求曲线为基础。

对理解现实政策影响和理论深入研究而言，掌握三种需求曲线的区别和联系，是学习消费者理论不可或缺的重要一环。

总结

一般来说，替代效应总是为负的，即价格上升导致被分析商品需求减少。而收入效应则取决于商品类型：对正常品，收入效应为负；对劣等品则为正。如果一件商品既为劣等品，且收入效应的绝对值大于替代效应，则可能出现需求随价格上升而增加的吉芬现象，此时总效应可以为正。正常商品满足需求法则，需求曲线向下倾斜。吉芬品需同时具备劣等品属性和强烈的收入效应，才可能违背需求法则。

不同的偏好类型对替代效应与收入效应的分布也有差异。比如完全互补品没有替代效应，完全替代品没有收入效应，拟线性偏好则收入效应为零。斯勒茨基分解方法为政策分析（如税收返还、福利补偿等）提供了理论工具。具体分解时，斯勒茨基效应保持原消费束可负担，希克斯效应保持原效用，两者的替代效应都为负。补偿需求曲线（希克斯曲线）是福利经济学和政策分析中的核心工具。

掌握这些理论后，应能熟练运用几何方法对价格变动引起的效应进行分解，计算每一部分的数值大小，判断商品属性和识别吉芬商品的条件，分析不同偏好模式下效应表现差异，利用斯勒茨基分解来评估各种政策工具的福利影响，并能理解和灵活应用补偿需求曲线。

理解斯勒茨基分解的核心思路，应注重对均衡状态的把握而非动态调整过程，将理论与实际案例相结合，把各种分析工具用于政策评价和福利测度，进而提升建模与实际应用能力。斯勒茨基方程是微观经济学的重要基石，不仅有助于解释需求的响应机制，更为后续的政策效应评估和福利经济学分析提供了坚实基础。这一系列知识点也将在更高阶的经济学学习与实际问题分析中持续发挥核心作用。

得：补偿性收入

总需求变化：$25 - 20 = 5\ \text{升/周}$