社会选择与公平分配

社会选择与公平分配领域关注如何以理性的方式在多种可能的资源配置之间进行取舍。在任何一个能够使某些人境况变好而不会让他人变坏的情况下，帕累托效率被视为理想。然而，现实中同时存在众多帕累托有效的选择，社会需要面对如何在它们中做出决策的问题。

社会福利函数提供了一种方法，用以把不同个体的效用整合起来，并据此对各种资源分配方式进行总体排序。这类函数不仅定义了社会对各种配置的偏好次序，也涉及如何度量和比较不同人之间的福利。

该领域的核心议题往往围绕：效率与公平之间的权衡，什么样的分配可以被视为公正，社会选择的标准如何确定，以及个人偏好如何汇聚为集体决策。此外，还包括社会福利函数的不同类型（如功利主义与罗尔斯主义）、权重设定与效用的可比较性，以及公平概念中的对称性、无嫉妒性和平等出发点等讨论。

偏好的聚合

个人偏好到社会偏好

让我们回顾消费者偏好的基本讨论，假定每个个体的偏好关系是传递的，即如果$x \succ y$且$y \succ z$，则$x \succ z$。最开始我们关注个人对自身商品束的偏好，但现在要扩展：每个代理人可能对所有人的商品配置$x = (x_1, \ldots, x_n)$有偏好。

社会决策的核心问题，就是如何将这些关于整个配置的个人偏好“聚合”成一种社会整体的排序。对于任意两个配置$x$和$y$，每个个体$i$可以表明他是否偏好$x$优于$y$（记作$x \succ_i y$）。给定所有代理人的偏好序列，我们期望有一种“聚合规则”（社会福利函数或社会选择规则）能据此决定社会偏好。

目标是：如果已知所有个体$i=1,\ldots,n$对所有配置的排序，就能据此推导出社会对这些配置的排序。这就是“社会选择”理论最一般的抽象问题。

困难在于，不同人的偏好往往冲突，聚合过程中必须找到合理机制并兼顾理性——即社会偏好也应满足自反、传递、完全性等性质。

多数投票问题及其循环

多数投票（Majority voting）是最直观的偏好聚合机制。当大多数人偏好$x$多于$y$时，社会整体也偏好$x$多于$y$（$x \succ^S y$）。但这种方法的一大难题是：社会偏好可能不再具备传递性！

多数投票循环经典例

分析投票结果：

• $x$ 比 $y$：A和C都偏好$x \succ y$，$x$胜出
• $y$ 比 $z$：A和B偏好 $y \succ z$，胜出

多数投票循环的图示与本质

这种循环称为康多塞悖论（Condorcet Paradox），即 $x \succ^S y$，$y \succ^S z$，$z \succ^S x$，但导致社会偏好不满足传递性：

因此不存在“最优选择”。这表明投票结果依赖于投票顺序——即路径依赖性（path dependence）：如果先比较$x$和$y$，再将胜出者与$z$比较，结果不同于先比$z$和$x$。

同时，精明的代理人通过操纵投票顺序或议题设置可能影响最终结果（strategic manipulation）。

排序投票的局限与无关性

另一种常见方法是排序投票（Borda Count）：每个人按偏好顺序给各选择排序，按得分加总。例如，每人将第一名记作$1$分，第二名$2$分，依次类推，总分数低者领先。

排序投票的一个核心不足是：引入或删除无关的选择可能改变原有选项的社会排序，这体现了所谓的“无关选择独立性”问题（Independence of Irrelevant Alternatives, IIA）。

排序投票问题举例

由表可见，$x$和$y$的胜负依赖于是否纳入$z$。也就是说，即使所有人对$z$的排名变化，与$x$和$y$之间的选择无关，也可能改变最终排序。这违反了IIA原则，也使得操纵投票（通过引入“搅局者”）成为可能。

阿罗不可能定理

社会选择的理想性质

面对投票和聚合机制的问题，自然而然会问：是否存在不易被操控、又合理的社会选择机制？

通常我们希望社会选择规则满足三大理想属性：

1. 理性性（Rationality）：如果每个人的偏好都是自反、全序和传递的，社会偏好也应如此。

2. 一致性（帕累托原则，Pareto Principle）：若对所有$i$，都有$x \succ_i y$，则社会也应该$x \succ^S y$。

   $$$$

这些要求表面上非常合理，但阿罗定理告诉我们：三者不可兼得。

阿罗不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）

这一结论令人震惊，说明即使我们对社会选择有最基本、合理的要求，只有“独裁制”符合所有理想属性——也即：

完美的民主聚合不可能存在。

理论意义：我们无法通过任意“合理”办法，把多元的个体偏好聚合成全体一致、理性的社会排序，必须放弃上面某个理想条件。

现实启示：实际制度设计中，必须选择哪些理想最优先、哪些可以适当让步。例如，有些排序投票机制可能放弃了IIA，而有些进一步弱化理性或一致性要求。

深刻含义：社会决策总是要权衡取舍，制度安排没有绝对完美，而是效率、公平、多样性等价值的权衡。阿罗定理极大地丰富并深化了我们对民主与集体决策困境的理解。

社会福利函数

效用聚合的方法

社会福利函数的核心是：能否将每个个人 $i$ 对配置 $x$ 的偏好整合为社会偏好？假设每个人 $i$ 有一个对所有配置 $x$ 的效用函数 $u_i(x)$，用以总结其价值判断。个人间效用的度量和可比性极为微妙，但在实际分析时，我们往往允许对每个人的偏好找一个代表性的效用函数，只要它反映了偏好的顺序即可。

效用的表示是非唯一的：任意单调递增的变换都不改变排序。因此，如果 $u_i(x) > u_i(y)$，就可以认定“$i$ 偏好 $x$ 胜于 $y$”。但 永远保持本质上是序数的，只是偏好顺序的工具。

要把个人偏好聚合为社会偏好，一种做法是采用加总型聚合：将 $n$ 个个体的效用函数简单相加，得出社会效用。其表达为：

也就是说，当且仅当

社会认为配置 $x$ 优于 $y$。

这种“加总法”其实非常任意——为何不用“效用加权和”、“效用乘积”或“效用平方和”？效用函数本身的确定也是任意的，社会福利函数的具体形式又会影响所得结论。例如，加权和为：

社会福利函数可以是任意递增函数：

其中 $f$ 关于每个分量单调递增，以保证如果所有个人都认为 $x$ 优于 $y$，则社会也偏好 $x$ 于 $y$（即“集体理性”与帕累托原则）。

社会福利函数的类型

抽象地讲，社会福利函数就是将 $n$ 个个人效用聚合，并给社会所有可能资源配置 $x$ 一个“排序”：

主要福利函数类型比较

经典功利主义 又称“边沁主义”，强调每个人的效用对社会福利同等重要，最大化全体的效用总和。

加权功利主义 允许不同个体赋予不同权重（比如 $a_1, \ldots, a_n > 0$），反映社会对某些人群福利的特殊关注或公平调整。

罗尔斯主义 则强调应最大化最不幸者（最小 $u_i$）的福利，体现对弱势群体的保护和最小最大原则：

除上述外，福利函数可以为任意递增函数，只要满足每个个体效用增加都会提升社会福利。

福利最大化

福利最大化问题的表述

拥有社会福利函数后，最自然的问题是：如何分配资源才能“最大化社会福利”？假设有 $n$ 个消费者、$k$ 种商品，总量分别为 $X_1, \dots, X_k$。

令 $x_{ji}$ 表示个人 $i$ 拥有商品 $j$ 的数量，总配置 $x$ 给出每个人的消费明细。福利最大化问题可形式化为：

约束条件为商品总量守恒：

目标是：在所有可行分配中，找使社会福利 $W$ 最大的那个配置。

福利最大与帕累托效率

福利最大配置是否必然帕累托有效？答案是肯定的。直观上，若某配置不是帕累托有效，则存在另一个配置对所有人都不会更差，对至少一个人更好。由于 $W$ 对各个 $u_i$ 均递增，更优配置会使 $W$ 增大，这与既定“最大化 $W$”矛盾。

即，任何福利最大配置必然帕累托有效；反之，不同福利函数下福利最大点集合覆盖了全部帕累托有效配置。

效用可能性分析

让我们正式讨论“效用可能性集合” $U$：

$U$ 即所有可能效用组合的集合。其“边界”即帕累托有效配置对应的效用水平集合——即没有别的分配能使所有人都不更差、至少一人更好。

效用可能性边界与社会福利函数

上图以二维情形（两人）为例，横轴为个人 1 效用 $u_1$，纵轴为个人 2 效用 $u_2$。阴影部分是所有可实现的效用组合，仅当点位于边界时，对应的分配才是帕累托有效的。

等福利曲线（iso-welfare curves）是社会福利函数 $W$ 的等值线。例如，功利主义下 $u_1 + u_2 = C$，为一条直线；罗尔斯主义下 $u_1 = u_2$ 或 ，为水平线或垂直线的组合。

福利最大即在可行集合 $U$ 上求 $W$ 最大的切点。福利函数不同，最优点位置也不同。例如：

• 功利主义：最大化 $u_1 + u_2$，切线斜率为 -1。
• 罗尔斯主义：最大化 $\min\{u_1, u_2\}$，切点对应 线与 边界的交点。

福利函数的选择灵活，每个福利函数最大化点都是帕累托有效的，反映了不同价值取向下“最优”配置的多样性。

凸性重要性：如果 $U$ 是凸集，则任一 $U$ 边界点都可以通过加权和型福利函数实现，即找到一组系数 $a_i > 0$，使下面优化问题有解：

综上，福利函数既提供了理论上筛选帕累托有效解的方法，也为实际制度设计提供了评价工具——通过选择不同的 $W$，社会可以在效率、公平等多重目标之间做出权衡。

个人主义社会福利函数

伯格森-萨缪尔森福利函数

到目前为止，我们假设个体偏好是定义在整个分配 $x = (x_1, ..., x_n)$ 上，即每个人的效用可能取决于整个社会的配置。但在许多情形下，更自然的前提是每个个人只关心自己的消费束 $x_i$，也就是说代理人的效用仅取决于自身的消费，而与其他人的分配无关。

那么，个人主义社会福利函数的基本形式为

其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个代理人的消费束，$u_i(x_i)$ 是代理人 $$ 的效用水平。这个福利函数是各个代理人效用水平的函数，间接地成为分配方案 的函数。

个人主义福利函数也称为伯格森-萨缪尔森（Bergson–Samuelson）福利函数。

如果不存在消费外部性（即每个代理人的效用只与自己的消费 $x_i$ 有关，而与他人的消费无关），则经济分析简化，福利分析和第31章的“标准结果”可适用。

市场机制和效率的关系表明，所有的竞争性均衡（competitive equilibrium）配置在此框架下都是帕累托有效的。同时，在适当的凸性（convexity）假设下，所有的帕累托有效配置都可以通过适当的价格体系实现为某种竞争均衡。

进一步地，从福利最大化与帕累托效率的关系出发，我们可以得到如下结论：

• 所有福利最大点必为某一竞争均衡。
• 所有竞争均衡点也是某种福利函数的最大化点。

理论上，这说明——在一定条件下——竞争均衡、帕累托有效、福利最大三者在数学上等价，即

这为我们评价和设计市场经济体制提供了完整而有力的分析框架。

公平分配

公平概念的具体化

福利函数方法是刻画社会福利极其一般的一种数学工具。正因为它如此宽泛，一方面可以总结许多不同的伦理和道德判断标准，但另一方面，单靠福利函数难以决定哪些伦理判断是“合理”的。

考虑公平分配问题，从最基本的出发点来看：假定现在有一定数量的商品，需要在 $n$ 个“同样值得”（impartial, symmetric）的人之间进行分配，怎样的配置才算公平？

最自然的直觉回答是：把商品平均分配（所谓严格平等分配），即每个人都获得相同的商品束。毕竟如果每个人在道德地位上一样，似乎没有理由不平等对待。

平等分配之所以在直觉上让人接受，一个重要原因是其高度“对称”：每个代理人分到的商品束完全一致。这样，每个人拿到的商品束都不比别人差，没有任何人会偏好别人的商品束多于自己的，即

（所有代理人 $i$ 相对于任何其他代理人 $j$）。

但平等分配未必帕累托有效。如果代理人有异质的偏好（即“品味”不同），也许大家更愿意相互交换商品，使自己更满意。于是，通常情况下，最终通过自愿交易会偏离严格平等分配，趋向帕累托有效点。

问题来了：交易完成后得到的帕累托有效分配，从某种意义上“依然公平”吗？从严平等（对称性极强）出发，经过交易的配置还保留起点的公平精神吗？

遗憾的是，答案通常是否定的。

交易的不对称性体现在：即使最初分配高度对称，一旦允许自愿交易，不同代理人获益程度便可能不同，配置的对称性被破坏。

嫉妒与对称性的破坏

三人交易例子

假设A、B两人偏好相同，C偏好不同。平等分配后，A找到C，交换部分商品，A与C都改善了效用。但B由于没有异质交易对象，无法与C交易，分配没有变化。

此时，A和C都比起点更好，B没改善甚至会嫉妒A，因为B认为如果自己获得了A的商品束会更满意（即 $u_B(x_A) > u_B(x_B)$），体现了公平的“对称性”遭到破坏。

总结：即使起点分配对称，随后的自愿交易也可能导致结果违背对称性与无嫉妒性，引入了“交易运气”（trade luck）的问题。

根本问题是：从对称起点（平等分配）出发，能否通过某种机制，最终配置依然保持对称性，或者至少尽量消除交易“偶然性”对公平的破坏？

核心追问：有没有办法找到既对称（或公平），又帕累托有效的分配？能否实现“无嫉妒又有效率”？

这也正是公平分配理论的核心难题。数学和经济学家提出了一系列无嫉妒、公平与有效率的分配定义和实现方案，后续将详细讨论。

嫉妒与公平的正式定义

公平分配的正式概念

现在我们尝试用严格的数学语言来形式化前面提到的公平与对称的直觉。什么是“公平分配”？什么又是“无嫉妒性”？我们可以如下定义：

换句话说，公平强调的是分配的对称性：没有人羡慕他人的所得。形式化地，严格平等分配是一种公平配置，但实际上很多效率更高的配置也能保持无嫉妒性。

如何判断一个给定的分配是否公平？有一个图形化方法：考虑 $n=2$，在埃奇沃思盒图中，把两个代理人的商品束交换，如果彼此都不更喜欢交换之后的束（即对于每个 $i$，$u_i(x_j) \leq u_i(x_i)$），说明原配置是公平的。

更一般地，对于 $n$ 个代理人，只要对任意两人 $i, j$， 总有 $u_i(x_i) \geq u_i(x_j)$，则无嫉妒。

“下方”的观念，即在边际替代率与无差异曲线的意义上，交换后的配置落在各自的无差异曲线内侧（对于本人来说更差，公平即可）。

埃奇沃思盒中的公平分配

如下方埃奇沃思盒（Edgeworth box）所示：

如上图，“平等分配 E”点落在对称线之上，是显然的公平配置。而“公平点 F”虽然不是严格平等，但也没有任何一位代理人想要交换到对方的位置，因此满足无嫉妒性。更进一步，某些配置既公平又帕累托有效，即也是所谓“公正配置”。

数学上，配置 $x = (x_1, \ldots, x_n)$ 是公正的，需要同时满足

竞争市场的公平性

一个重要问题：这样的公正配置仅仅是偶然出现的吗？实际上，在很多情况下，从平等分配出发，竞争市场机制能自然地达成无嫉妒性和帕累托有效性兼具的结果。

假设每个人初始分得相同商品束 $\omega$，市场给出价格 $(p_1, p_2)$，每个人选择能负担的最优商品

则均衡分配 $(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n)$ 必然是帕累托有效的。

那它公平吗？我们用反证法说明。若某个代理人 $i$ 嫉妒 $j$，即有

那么由于 $x_i^*$ 已是 $i$ 在其预算约束下的最优选择，必有

但如果 $x_j^*$ 超过 $i$ 的预算，就不可能存在 $u_i(x_j^*) > u_i(x_i^*)$ 这类嫉妒。因此，若起点完全对称，则市场均衡下无嫉妒性必然成立。

在异质性商品、异质性偏好，多人情形下，这一结论都成立。现实中，通过适当的再分配与市场机制结合，能确保效率与公平兼容。

总结

福利理论主要聚焦于社会选择中的困境、社会福利函数、公平分配及理论统一等方面。阿罗不可能定理揭示了“完美投票机制”理论上的不可能性，说明任何民主决策制度都需在多种理想性质间权衡；社会福利函数方法则为我们提供了将效率、平等与价值判断结合的统一分析框架，其中功利主义强调效用总和，罗尔斯主义关注最弱者，实现了不同公平观念下的权衡。

公平分配理论通过无嫉妒、公正分配等形式，补充了评价社会配置正义性的实用工具，竞争市场在起点对称时也能兼顾效率与公平。所有这些理论在制度设计、税收与再分配、公共资源配置与法律制度等政策制定中具有重要参考意义，为民主制度完善、收入分配调节、公共服务优化和法治建设提供了坚实基础。

随着社会发展，福利理论不断吸收心理学、计算机科学等跨学科成果，面对全球治理、技术进步、人工智能伦理、可持续发展等现实挑战，不断拓展研究前沿。我们应着重理解核心定理和基本概念，关注理论如何应用于分析现实问题，并养成批判性思维，认识到各种机制和价值观念间的冲突与局限。掌握这些理论不仅有助于深入分析复杂的社会现象，更为参与和设计更公平、更有效的社会制度打下坚实理论基础。

即社会排序完全等同于$j$的个人排序。

即没有任何代理人 $i$ 偏好其他代理人 $j$ 的商品束大于自己分到的束。此时称配置 $\{x_i\}_{i=1}^n$ 是公平的。

嫉妒（Envy）：如果存在某个代理人 $i$ 和 $j$，使得

那么称 $i$ 嫉妒 $j$，即 $i$ 更喜欢 $j$ 的分配。

公正配置（Fair）：如果一个配置既是公平的（没有任何嫉妒），又是帕累托有效的，那么称它为公正配置。即在所有无嫉妒的配置中，再也无法帕累托改进。