把正方形转一下，再翻过来，和先翻再转，结果可能不同。可这些操作又不是毫无规律：每一步都能撤销，接连做几步仍然是一次对称操作。群论要研究的，就是这类运算里反复出现的结构。
如果你以前学代数，主要是在解方程、化简式子，这门课会换一种提问方式。我们不急着求出某个未知数，而是问：允许哪些对象参加运算？哪些操作能合在一起？换一套名字以后，运算关系还在不在？这些问题开始有些陌生，我会从能亲手算的余数、函数和正方形对称讲起，让定义落在具体对象上。
比如在模 12 的加法里，集合 整体加上 1，得到 ；整体加上 5，得到的还是同一块。这个小现象会带我们走到陪集。等你想把每一块当成一个新元素时，还要面对一个更难的问题：同一块有不同的名字，用哪个名字计算，会不会改变答案？正规子群和商群就从这里进入课程。同态定理也会沿着这条线推出来，不只留下一张需要背诵的公式表。
你需要会读集合与函数的记号，分清单射、满射和双射，能使用数学归纳法，也接触过等价关系与等价类。如果“任取一个元素”和“找到一个例子”在证明中有什么区别还不熟悉，建议回到《离散数学与证明 I》，复习逻辑、集合、函数、等价关系和证明方法这些部分。后面证明陪集形成划分时，这些基础会直接用上。
余数运算、最大公因数、带余除法和 Bézout 等式也需要熟悉，可以对照《基础数论》中的整除与同余内容。循环群里那些看似不同的生成元，常常就是靠一条整数等式联系起来的。这里不要求你学过微积分；仿射函数的例子只用到函数复合和初等代数。
开头讨论什么样的运算构成群。结合律、单位元和逆元都要逐项检查，不能因为一张表看起来整齐就算通过。子群与循环群会把视线缩到内部：只允许重复一个元素，究竟能走到哪里？为什么一个最大公因数就能决定可到达的范围？
置换把“移动对象”写成可以计算的语言。复合顺序、循环分解和奇偶性在这里打好基础，随后才能稳当地使用二面体群与交错群。陪集和 Lagrange 定理负责说明大小受到什么限制，也会展示限制为什么不能反过来当成存在性保证。
后半部分集中处理保持运算的映射。你会构造同态，找出核与像，辨别哪些群可能同构；也会亲自检查商群的运算为什么不依赖代表元。第一同构定理把这些工作连起来：同态把哪些元素合并了，合并后的结构又怎样与它的像对应。
群作用把整套方法送回可以观察的问题。固定一个顶点时，我们找稳定子；固定一个操作时，我们数不动点。它们的区别弄清后，就能推导轨道—稳定子定理、类方程和 Burnside 计数公式，并解释为什么正方形的染色不能直接拿总数除以对称操作数。
| 章节 | 主要任务 |
|---|---|
| 01 群与运算 | 从函数和运算表核验公理，推导逆元、消去律与幂的规则 |
| 02 子群与循环结构 | 证明子群判据，计算元素阶，完整分类循环群的子群 |
| 03 置换与对称 | 按约定计算复合，证明循环与奇偶性结论，使用二面体群 |
| 04 陪集与 Lagrange 定理 | 建立划分与双射，辨清整除条件和存在性之间的距离 |
| 05 同态、同构与直积 | 从核、像和纤维理解映射，构造同构与直积分解 |
| 06 正规子群与商群 | 检查良定义，证明第一同构定理，处理映射下降与子群对应 |
| 07 群作用与对称计数 | 用轨道、稳定子和共轭理解群结构，完成带对称的计数 |
我建议把符号翻译成一个可以执行的动作。例如 是两个集合相等，要证明它，通常得拿出一边的任意元素，把它改写成另一边要求的样子。若中间出现 ，就停下来核对：为什么这一串还在 中？这里是否偷偷交换了因子？能回答这些问题，比把证明抄得很顺更有用。
实验可以帮你看见猜想失败的位置。商群那一章，换一个代表元，观察乘积究竟有没有变；着色实验里，把“只允许旋转”改成“允许全部对称”，看哪些图案被归到了一起。操作前写一个预测，操作后用正文中的条件解释结果。图和实验呈现具体情形，通用结论仍要靠论证。
每章末尾的题目留有独立题干和可展开的解答。算不下去时，可以只读提示，把关键一步自己补出来。后面的题会改变对象或条件，有些需要同时使用前面几章的方法；这时把可用结论和它们的前提写在纸上，往往更容易找到入口。
本课程集中在群论的第一阶段，保留定义、核心证明与应用训练。环、域、Sylow 定理及一般有限阿贝尔群分类没有纳入本课；学到这里以后，再进入这些主题，会更容易辨认哪些问题来自运算本身，哪些来自额外结构。