一个尖峰越来越窄。你盯住数轴上任意一个正数，过一会儿，尖峰就退到它的左边，那里的函数值变成了零。可如果尖峰的高度同时增加，它下面的面积完全可能一直等于一。

这时，“每一点都趋于零”和“积分趋于零”就分开了。微积分里习惯的换极限、换积分次序，到了这里不能只看式子顺不顺眼，还要知道条件够不够。这门课会跟你把这些依据重新建立起来，从集合的大小一直走到函数的积分。

长度也有需要重新解释的时候

区间的长度容易算，所有有理数的集合呢？一个由无数零散部分组成的集合，怎样谈它的大小？我们会用区间覆盖来估计，再看哪些集合能把任意测试集合切开而不破坏测量规则。σ-代数、外测度和可测性都在解决这些具体问题，不是为了增加几套符号。

有了测度，就能把函数按高度分层。最开始只计算几种固定高度的总量，然后用下方的简单函数逼近一般函数。这里有一处值得慢下来：看见阶梯越来越贴近曲线，并不能代替“积分也趋近”的证明。我会把单调收敛定理的关键步骤展开，让你知道集合的从下连续性怎样真正用在函数上。

需要带来的基础

建议已经学过实分析入门，熟悉集合的并、交、补，数列与函数极限，上确界和下确界，也能读懂带有“对任意 ε”的论证。课程会用到 Riemann 上下和及常规微积分计算；如果你对分割与夹逼还不稳，可以在第五章之前回去补一遍。

不要求先学完点集拓扑。连续函数、开集与闭集的基本概念够用，Borel 集会在课内说明。到最后的 Lp 空间时，向量空间与范数的直觉会有帮助，但这里要用的定义和不等式仍会写清楚。

课程怎样往下走

开头两章处理集合：哪些集合能测量，测度怎样对待可数并，为什么递减集合列有时必须加上有限测度条件。可测函数一章把目光转到阈值的原像，你可以移动水平线，看它在定义域里留下什么集合。

积分部分从非负函数开始，再进入正负部分。我们会认真区分“积分是无穷大”“可积”与“积分没有定义”，用具体例子检查抵消到底是否合法。Fatou、单调收敛和主导收敛随后放在一起比较：同样是逐点收敛，有的能交换积分，有的只能得到一个方向，还有的会被尖峰反例挡住。

乘积测度把这些工具带到两个变量。拖动区域切片时，你需要自己写出两个方向的上下限；换序失败的离散例子，则让你看见绝对可积性保护了什么。最后一章用 Lp 范数衡量函数大小，推导 Hölder 与 Minkowski，并练习判断一个无界函数到底属于哪些空间。

读到证明卡住时

不必强迫自己一次读完整章。比如 Carathéodory 条件，第一次可以只弄懂它怎样切开一个集合；回读时再把可数并封闭的证明补齐。主导收敛的两次 Fatou 也值得分别写在纸上，确认哪个方向来自 $g+f_n$，哪个方向来自 $g-f_n$。如果不等号变得混乱，回到这两个非负函数，比硬记最后一行更管用。