散射与衍射 | 自在学

散射与衍射

晴天抬头望去，天空呈现均匀的蓝色；夕阳西下时，地平线附近的天空转为橙红。这两种景象来自同一个物理过程：太阳光在大气中被分子散射，不同波长的光散射效率相差悬殊，使得不同方向的观察者看到截然不同的色彩。散射与衍射是电磁波与物质相互作用时普遍存在的现象，小到气体分子对光的散射，大到雷达波被飞机反射，衍射制约着光学仪器的分辨极限，散射决定着大气的透明程度。以下内容从天空颜色这一直观现象出发，系统讨论长波散射、微扰散射理论、球体散射以及衍射的基本规律。

瑞利散射与天空的颜色

阳光照射到大气分子时，分子内部的电荷被电场驱动振荡，形成一个振荡电偶极子，向四面八方辐射电磁波——这就是散射的微观图像。对于尺寸远小于入射波长的粒子（ $a \ll \lambda$ ），这种散射过程由英国物理学家瑞利（Lord Rayleigh）在1871年给出了定量描述。

入射平面波的电场驱动分子极化，感应偶极矩为 $p = \alpha E_0 e^{-i\omega t}$ ，其中 $\alpha$ 是分子极化率。振荡偶极子向外辐射，对散射截面进行角积分后，得到瑞利散射的总散射截面：

\sigma_{\text{瑞利}} = \frac{8\pi}{3}\left(\frac{k^2 \alpha}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \propto \omega^4 \propto \frac{1}{\lambda^4}

散射截面与波长的四次方成反比，波长越短的光被散射得越强烈。

太阳光中各种颜色的光照射到地球大气时，蓝光（波长约 $450\ \mathrm{nm}$ ）被散射的概率约是红光（波长约 $700\ \mathrm{nm}$ ）的 $(700/450)^4 \approx 5.8$ 倍。观察者向任意方向看向大气时，视线方向上积累了大量被散射过来的蓝光，天空因此呈现蓝色。

日落时阳光以极大的斜角穿越厚厚的大气层，路径长度可达正午时的数十倍。在漫长的传播中，蓝光和绿光几乎被散射殆尽，只剩波长较长的橙色和红色光到达观察者眼中，造成日出日落的橙红色彩。

例题　氮气分子（ $\mathrm{N_2}$ ）在波长 $\lambda_1 = 400\ \mathrm{nm}$ 处的散射截面约为 $\sigma_1 = 2.4\times10^{-30}\ \mathrm{m^2}$ ，求其在波长处的散射截面。

由 $\sigma \propto \lambda^{-4}$ ：

\sigma_2 = \sigma_1 \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^4 = 2.4\times10^{-30}\times\left(\frac{400}{600}\right)^4 = 2.4\times10^{-30}\times\frac{16}{81} \approx 4.7\times10^{-31}\ \mathrm{m^2}

绿光（ $600\ \mathrm{nm}$ ）处的散射截面约为蓝紫光（ $400\ \mathrm{nm}$ ）处的 $20\%$ ，验证了蓝光散射远强于绿光。

瑞利散射的微分截面描述散射光在不同方向上的分布。对于线偏振入射光：

\frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \sin^2\Theta

其中 $\Theta$ 是散射方向与入射偏振方向的夹角。在垂直入射方向（ $\Theta = 90°$ ）散射最强，沿偏振方向（ $\Theta = 0°$ 或 $180°$ ）散射为零。对于自然光，微分截面变为正比于 $(1 + \cos^2\theta)/2$ ，其中是散射角。

天空在太阳侧面方向（散射角约 $90°$ ）呈现较强的偏振，这可以用来辨别太阳的方向。蜜蜂等昆虫正是利用天空偏振光进行导航，即使在阴天太阳被遮住时，也能通过偏振图案判断方向。

散射的微扰理论

当散射体内的折射率与背景介质差别很小时，可以将散射场视为入射场的微小修正，对电磁散射问题作微扰处理。这一方法的核心近似称为玻恩近似（Born approximation）。

设背景介质的介电常数为 $\varepsilon_0$ ，散射体内局部介电常数为 $\varepsilon(\mathbf{r}) = \varepsilon_0[1 + \chi(\mathbf{r})]$ ，其中是局部的极化率偏差（通常）。在玻恩近似下，用入射场代替散射体内的总场，远场散射振幅为：

f(\hat{\mathbf{k}}_s,\hat{\mathbf{k}}_i) = \frac{k^2}{4\pi}\int_V \chi(\mathbf{r})\,e^{i(\mathbf{k}_i - \mathbf{k}_s)\cdot\mathbf{r}}\,d^3r

这个积分的形式正是 $\chi(\mathbf{r})$ 对动量转移 $\mathbf{q} = \mathbf{k}_i - \mathbf{k}_s$ 的傅里叶变换。散射振幅取决于散射体折射率不均匀性的空间频谱成分，与散射方向相对应的傅里叶分量贡献最大。

微分散射截面为：

\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\hat{\mathbf{k}}_s,\hat{\mathbf{k}}_i)|^2 = \frac{k^4}{16\pi^2}\left|\int_V \chi(\mathbf{r})\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}\,d^3r\right|^2

玻恩近似将散射振幅表达为散射体不均匀性的傅里叶变换。这一结论揭示了散射实验与结构探测之间的深刻联系：通过测量不同方向的散射强度，可以反推散射体内部的折射率分布。X射线晶体衍射正是基于这一原理确定蛋白质等复杂分子的三维结构。

对于球形均匀散射体，半径为 $a$ ，极化率差 $\chi$ 为常数，动量转移量为 $q = 2k\sin(\theta/2)$ （ $\theta$ 为散射角），积分后得：

f(\theta) = \frac{k^2\chi V}{4\pi}\cdot 3\frac{\sin(qa) - qa\cos(qa)}{(qa)^3}

其中 $V = 4\pi a^3/3$ 是球的体积。括号内的函数在 $qa \to 0$ （即粒子尺寸远小于波长）时趋向于 1，结果退化为瑞利散射的形式。

球体的米氏散射

当散射球的半径 $a$ 与波长 $\lambda$ 可以比较时，瑞利近似不再成立，必须使用完整的电磁场理论求解。德国物理学家古斯塔夫·米（Gustav Mie）在1908年给出了均匀介质球对平面电磁波散射的精确解析解。

米氏理论将入射平面波和散射场分别展开为球谐函数级数，并利用球面上切向电场和磁场连续的边界条件确定展开系数。最终，散射场表达为一系列电多极和磁多极辐射的叠加，总散射截面为：

\sigma_{\text{散射}} = \frac{2\pi}{k^2}\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)\left(|a_n|^2 + |b_n|^2\right)

其中 $a_n$ 和 $b_n$ 分别是电多极（TM）和磁多极（TE）散射系数，由球面边界条件决定，用球贝塞尔函数和汉克尔函数表达。

描述球体大小与波长关系的无量纲参数是尺寸参数：

x = \frac{2\pi a}{\lambda} = ka

不同尺寸参数下，米氏散射展现出丰富的物理行为：

云层看起来是白色而非蓝色，正是因为云滴（半径 $1\sim10\ \mu\mathrm{m}$ ）的尺寸参数 $x$ 接近 1，各种波长的散射强度差别不大，白光经过多次散射后成为白色漫反射光。

彩虹则是米氏散射效应在日常生活中最壮观的体现。雨滴（ $a \approx 1\ \mathrm{mm}$ ）的散射已接近几何光学极限，主彩虹是阳光在雨滴内经历一次全反射后出射，不同波长的光折射率略有差异，出射角度不同，将阳光分解成红到紫的完整光谱弧形。

例题　估算云滴（ $a = 5\ \mu\mathrm{m}$ ）对可见光（ $\lambda = 550\ \mathrm{nm}$ ）的尺寸参数，判断应使用哪种散射理论描述。

x = \frac{2\pi a}{\lambda} = \frac{2\pi\times5\times10^{-6}}{550\times10^{-9}} = \frac{2\pi\times5}{0.55} \approx \frac{31.4}{0.55} \approx 57

尺寸参数 $x \approx 57$ ，远大于 1，超出瑞利近似的适用范围，但也未达到 $x\gg 1$ 的几何光学极限。此时应使用完整的米氏理论，但定性上各波长散射强度接近均等，这正是云层呈白色的原因。

米氏散射在大气科学和激光雷达（LiDAR）中有重要应用。激光雷达通过分析大气中气溶胶粒子的米氏散射信号来反演颗粒物浓度和尺寸分布，是监测 PM2.5 等空气质量指标的重要手段。

基尔霍夫衍射理论

当光波经过一个小孔或障碍物时，会在几何阴影区出现亮纹，这就是衍射现象。荷兰物理学家惠更斯（Huygens）在17世纪提出，波阵面上每一点都可视为新的子波源，衍射场是所有子波的叠加。德国数学家基尔霍夫（Kirchhoff）在1882年将这一思想数学化，建立了严格的标量衍射理论。

基尔霍夫衍射公式的出发点是格林定理。设场点 $P$ 位于孔径平面后方，孔径面 $\Sigma$ 上的场为 $U$ ，则 $P$ 点处的衍射场为：

U(P) = \frac{1}{4\pi}\iint_\Sigma \left[\frac{\partial U}{\partial n}\frac{e^{ikr}}{r} - U\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{ikr}}{r}\right)\right]dS

其中 $r$ 是孔径面积元到场点 $P$ 的距离， $\partial/\partial n$ 是沿孔径法线方向的偏导数。基尔霍夫近似通过以下假设简化这一积分：在孔径开口区域，用无遮挡时的入射场代替实际场；在不透明挡板区域，将场及其法向导数设为零。

根据场点到孔径的距离与孔径尺寸的关系，衍射分为两种极限情况：

在夫琅禾费衍射条件下，衍射场与孔径透过率函数的二维傅里叶变换成正比：

U(\mathbf{k}_\perp) \propto \iint_\Sigma t(\mathbf{r}_\perp)\, e^{-i\mathbf{k}_\perp\cdot\mathbf{r}_\perp}\,dS

其中 $t(\mathbf{r}_\perp)$ 是孔径的透过率函数（开孔处为 1，遮挡处为 0）， $\mathbf{k}_\perp$ 是与观察方向对应的横向波矢。这一关系表明，衍射场的角度分布是孔径形状的傅里叶变换。

例题　宽度为 $a$ 的单缝，用波长为 $\lambda$ 的单色光照射，求夫琅禾费衍射图样第一极小值所对应的衍射角 $\theta_1$ ，并说明缝宽减小时衍射图样如何变化。

对单缝，透过率函数为矩形函数，其傅里叶变换为 $\mathrm{sinc}$ 函数，光强分布为：

I(\theta) = I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,\qquad \beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}

第一极小值对应 $\beta = \pi$ ，即：

\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a} \implies \theta_1 \approx \frac{\lambda}{a}\ (\text{小角度近似})

缝宽 $a$ 减小时， $\theta_1$ 增大，中央亮纹变宽——孔径越小，衍射越弥散。

夫琅禾费衍射场是孔径透过率函数的傅里叶变换。孔径越小，傅里叶变换越宽，衍射角越大。这正是海森堡不确定性原理在光学中的体现：空间约束越紧，角动量（波矢）展宽越大。

圆孔衍射与巴比涅原理

圆形孔径是最常见的光学器件（望远镜物镜、相机镜头）的形状，其夫琅禾费衍射图样称为艾里斑（Airy pattern）。设圆孔半径为 $a$ ，衍射强度为：

I(\theta) = I_0\left[\frac{2J_1(u)}{u}\right]^2,\qquad u = \frac{2\pi a\sin\theta}{\lambda}

其中 $J_1(u)$ 是一阶贝塞尔函数。第一暗环（光强首次为零）对应 $J_1(u) = 0$ 的第一个非零根 $u_1 = 3.832$ ：

\sin\theta_{\min} = \frac{3.832\lambda}{2\pi a} = \frac{1.22\lambda}{D}

其中 $D = 2a$ 是孔径直径。这就是著名的瑞利判据（Rayleigh criterion）：两个点源能被分辨的条件是，一个点源的艾里斑中心恰好落在另一点源艾里斑的第一暗环处：

\theta_{\min} \approx \frac{1.22\lambda}{D}

巴比涅原理（Babinet's principle）指出：对于两个互补孔径（一个是另一个的挡板），它们各自的衍射场之和等于无遮挡时的入射场：

U_{\text{孔}}(\mathbf{P}) + U_{\text{挡}}(\mathbf{P}) = U_{\text{入射}}(\mathbf{P})

在偏离主方向的方向上 $U_{\text{入射}} = 0$ ，因此 $U_{\text{孔}} = -U_{\text{挡}}$ ，两者强度分布完全相同：。

巴比涅原理的价值在于：计算不透明圆盘的衍射图样，与计算同尺寸圆孔的衍射等价。这解释了泊松亮斑（Poisson bright spot）：小圆盘后方轴线上因衍射出现一个亮点。历史上这个预言曾被认为荒谬，结果实验观测到了这个亮点，有力支持了光的波动本性。

例题　绿光（ $\lambda = 550\ \mathrm{nm}$ ）经过直径 $D = 1.0\ \mathrm{mm}$ 的圆孔，求艾里斑中央亮斑的角半径，以及在距孔 $L = 2.0\ \mathrm{m}$ 处中央亮斑的半径。

艾里斑角半径：

\theta_{\min} = \frac{1.22\lambda}{D} = \frac{1.22\times550\times10^{-9}}{1.0\times10^{-3}} = 6.71\times10^{-4}\ \mathrm{rad}

距孔 $L = 2.0\ \mathrm{m}$ 处的亮斑半径：

r = L\tan\theta_{\min} \approx L\theta_{\min} = 2.0\times6.71\times10^{-4} \approx 1.34\times10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.34\ \mathrm{mm}

中央艾里斑的直径约为 $2.7\ \mathrm{mm}$ ，远大于孔径（ $1\ \mathrm{mm}$ ），体现了衍射使光束扩散。

瑞利判据给出的是理想情况下的理论分辨极限，实际光学系统还受到像差、大气湍流等因素的限制。地面天文望远镜即使孔径很大，在大气扰动下的实际分辨能力也往往不及哈勃空间望远镜，这正是把望远镜发射到太空的动机之一。

短波极限与光学定理

当波长远小于散射体尺寸时（ $\lambda \ll a$ ），散射问题可以用几何光学近似处理，这称为短波极限或几何光学极限。在此极限下，电磁波可以用光线来描述，反射、折射等规律适用。

对于不透明球体，几何光学预言的散射截面恰好等于球的几何截面 $\pi a^2$ 。然而，精确的波动理论给出的总散射截面是几何截面的两倍：

\sigma_{\text{总}} = 2\pi a^2

这个因子 2 的来源是：除了被球反射或吸收的光（截面 $\pi a^2$ ），球体边缘区域还会发生明显的衍射，将部分光偏折到几何阴影区——衍射对散射截面的贡献与几何截面相同。这一现象称为消光悖论（extinction paradox）。

光学定理（optical theorem）是散射理论中最深刻的普遍结论之一。它将总消光截面与前向散射振幅直接联系起来：

\sigma_{\text{消光}} = \frac{4\pi}{k}\,\mathrm{Im}\!\left[f(\hat{\mathbf{k}},\hat{\mathbf{k}})\right]

其中 $f(\hat{\mathbf{k}},\hat{\mathbf{k}})$ 是前向散射振幅（散射方向与入射方向相同）， $k = 2\pi/\lambda$ 是入射波的波数， $\mathrm{Im}$ 表示取虚部。

光学定理的物理根源在于能量守恒：散射截面衡量的是从入射波中提取出来的总能量，这部分能量的减少表现为入射方向上波的振幅下降，而前向散射波干涉性地削弱了入射波，两者通过相位关系被光学定理定量联系。

例题　某散射体对波长 $\lambda = 632.8\ \mathrm{nm}$ （He-Ne 激光）的平面波，测得前向散射振幅的虚部为 $\mathrm{Im}[f(0)] = 8.0\times10^{-4}\ \mathrm{m}$ ，求消光截面。

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{632.8\times10^{-9}} \approx 9.93\times10^6\ \mathrm{m^{-1}}

\sigma_{\text{消光}} = \frac{4\pi}{k}\,\mathrm{Im}[f(0)] = \frac{4\pi}{9.93\times10^6}\times8.0\times10^{-4} \approx \frac{12.57}{9.93\times10^6}\times8.0\times10^{-4}

\approx 1.266\times10^{-6}\times8.0\times10^{-4} \approx 1.01\times10^{-9}\ \mathrm{m^2}

光学定理在量子散射（粒子物理）、声学散射和经典电磁散射中都有完全相同的形式，体现了散射理论的普遍性。实验上，通过只测量前向散射振幅即可得到总截面，而不必对所有方向积分，大大简化了测量工作。

练习题

选择题

题目一（知识点：瑞利散射的波长依赖）

蓝光（ $\lambda_1 = 450\ \mathrm{nm}$ ）和红光（ $\lambda_2 = 700\ \mathrm{nm}$ ）被大气分子散射，两者散射截面之比 $σ_{蓝} / σ_{}$ 最接近（　　）

A. $1.6$ 　　B. $3.4$ 　　C. $5.8$ 　　D. $9.4$

题目二（知识点：夫琅禾费衍射与孔径的关系）

用同一波长的激光分别照射宽度为 $a$ 和 $2a$ 的两条单缝，以下关于夫琅禾费衍射图样的说法，正确的是（　　）

A. 宽缝中央亮纹宽度是窄缝的两倍

B. 两条缝的中央亮纹宽度相同

C. 窄缝中央亮纹宽度是宽缝的两倍

D. 宽缝中央亮纹宽度是窄缝的四倍

题目三（知识点：瑞利判据与光学分辨率）

两颗恒星的角间距为 $0.5''$ （角秒），用波长 $\lambda = 550\ \mathrm{nm}$ 的光观测。要恰好能分辨这两颗星，所需望远镜物镜的最小直径约为（　　）

A. $9\ \mathrm{cm}$ 　　B. $14\ \mathrm{cm}$ 　　C. $27\ \mathrm{cm}$ 　　D. $54\ \mathrm{cm}$

题目四（知识点：光学定理）

以下关于光学定理的说法，正确的是（　　）

A. 消光截面等于散射截面与前向散射截面之和

B. 消光截面与前向散射振幅的实部成正比

C. 消光截面等于散射截面加吸收截面，且与前向散射振幅的虚部成正比

D. 光学定理只适用于瑞利散射，不适用于大粒子散射

计算题

题目五（知识点：圆孔衍射与艾里斑）

激光束（ $\lambda = 488\ \mathrm{nm}$ ）经过一个直径 $D = 0.50\ \mathrm{mm}$ 的圆孔衍射后，在距圆孔 $L = 3.0\ \mathrm{m}$ 处的屏上观察衍射图样。

（1）求艾里斑中央亮斑的角半径 $\theta_{\min}$ ；

（2）求屏上艾里斑中央亮斑的半径 $r$ ；

（3）若将圆孔直径缩小为 $D' = 0.25\ \mathrm{mm}$ ，屏上中央亮斑半径变为多少？

题目六（知识点：瑞利散射与大气透明度）

设海平面大气中氮气分子数密度为 $N = 2.7\times10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}$ ，氮气分子对波长 $\lambda = 550\ \mathrm{nm}$ （绿光）的瑞利散射截面为 $σ$ 。

（1）求大气对 $550\ \mathrm{nm}$ 绿光的散射系数 $\mu_s = N\sigma$ ；

（2）求光在大气中的散射平均自由程 $\ell = 1/\mu_s$ （即光被散射一次前平均传播的距离）；

（3）大气层的等效垂直厚度约为 $H = 8\ \mathrm{km}$ ，估算阳光垂直入射时经过大气层后被散射的比例（用 $1 - e^{-\mu_s H}$ 近似），判断大气对绿光是否透明。

\chi(\mathbf{r})

红

\sigma_{\text{蓝}}/\sigma_{\text{红}}

=

1.0

\times

10^{- 30}

m^{2}

\sigma = 1.0\times10^{-30}\ \mathrm{m^2}