狭义相对论与电动力学的协变性

19世纪末，物理学家们用精密实验寻找光相对于以太的速度差异，却始终得到零结果。1905年，爱因斯坦从「光速不变」这一实验事实出发，建立了狭义相对论，根本改变了人类对时间和空间的认识。更令人惊叹的是，麦克斯韦方程组天然满足相对论的要求——电场与磁场并非相互独立，而是同一电磁场在不同参考系中的不同表现。

相对论的两条基本假设

经典力学中，时间是绝对的，空间是绝对的，不同惯性系之间用伽利略变换联系。然而，麦克斯韦方程组在伽利略变换下并不保持形式不变，这说明电动力学与经典力学之间存在根本矛盾。爱因斯坦以两条假设作为整个理论的出发点：

这两条假设看似简单，却要求彻底抛弃绝对时间的概念。不同惯性系中的观察者测量到的时间间隔和空间距离都会不同，但有一个量在所有惯性系中保持不变，称为时空间隔：

(\Delta s)^2 = c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2

时空间隔 $(\Delta s)^2$ 在所有惯性系中取相同的值。这正是相对论的核心：抛弃绝对时间与绝对空间，代之以对所有惯性观察者都成立的不变量。

洛伦兹变换与时空效应

设惯性系 $S'$ 相对于 $S$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴方向匀速运动，两参考系的坐标原点在 $t = t' = 0$ 时重合。洛伦兹变换将 $S$ 系中的时空坐标 $(t, x, y, z)$ 变换为 $S'$ 系中的 $(t', x', y', z')$ ：

t' = \gamma\!\left(t - \frac{v}{c^2}x\right),\quad x' = \gamma(x - vt),\quad y' = y,\quad z' = z

其中洛伦兹因子定义为：

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1

当 $v \ll c$ 时， $\gamma \to 1$ ，洛伦兹变换退化为经典的伽利略变换。

时间膨胀：在 $S'$ 系中静止的时钟，在 $S$ 系的观察者看来走慢了。设 $S'$ 系中同一地点发生两个事件，时间间隔为 $\Delta t_0$ （固有时间），则 $S$ 系中测得的时间间隔为：

\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \geq \Delta t_0

例题　宇宙射线在高层大气（距地面约 $15\ \mathrm{km}$ ）处产生 $\mu$ 子，其固有寿命 $\tau_0 = 2.2\ \mu\mathrm{s}$ ，运动速度 $v = 0.998c$ 。求在地球参考系中 $\mu$ 子的寿命，并判断它能否到达地面。

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.998^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{0.004}} \approx 15.8

\tau = \gamma\tau_0 = 15.8 \times 2.2\ \mu\mathrm{s} \approx 34.8\ \mu\mathrm{s}

d = v\tau = 0.998 \times 3\times10^8\ \mathrm{m/s} \times 34.8\times10^{-6}\ \mathrm{s} \approx 10.4\ \mathrm{km}

若没有时间膨胀， $\mu$ 子只能飞行约 $660\ \mathrm{m}$ 就会衰变，根本无法到达地面。正是由于相对论时间膨胀效应，大量 $\mu$ 子才能穿越 $15\ \mathrm{km}$ 的大气层，被地面探测器捕获。这是最早且最直接验证相对论的实验证据之一。

长度收缩：沿运动方向的长度在运动参考系中发生收缩。设物体在自身静止参考系中沿运动方向的长度为 $L_0$ （固有长度），则在 $S$ 系中测得的长度为：

L = \frac{L_0}{\gamma} \leq L_0

长度收缩只发生在运动方向上，垂直方向的长度不受影响。

GPS 卫星的定时系统必须同时校正狭义相对论效应（卫星高速运动使时钟变慢，每天约 $-7\ \mu\mathrm{s}$ ）和广义相对论效应（距地心较远使时钟变快，每天约 $+45\ \mu\mathrm{s}$ ），综合后每天快约 $38\ \mu\mathrm{s}$ 。若不加校正，一天内定位误差将累积超过 $10\ \mathrm{km}$ 。

速度叠加与四维矢量

经典力学中，两参考系的速度满足简单的加法： $u = u' + v$ 。然而这一规则在高速时会给出超过光速的结果，违背相对性原理。洛伦兹变换给出正确的相对论速度叠加公式。

设 $S'$ 系相对 $S$ 系以速度 $v$ 沿 $x$ 轴运动，在 $S'$ 系中某物体的速度分量为 $(u'_x, u'_y, u'_z)$ ，则在 $S$ 系中该物体的速度为：

u_x = \frac{u'_x + v}{1 + u'_x v/c^2},\quad u_y = \frac{u'_y}{\gamma(1 + u'_x v/c^2)},\quad u_z = \frac{u'_z}{\gamma(1 + u'_x v/c^2)}

例题　一艘飞船以 $v = 0.8c$ 离开地球，飞船上向前发射一枚相对飞船速度 $u' = 0.7c$ 的探测器，求探测器相对地球的速度。

u_x = \frac{0.7c + 0.8c}{1 + 0.7\times0.8} = \frac{1.5c}{1.56} \approx 0.962c

探测器速度约为 $0.962c$ ，而非经典叠加给出的 $1.5c$ ，始终严格小于光速。

为了在相对论框架下以统一形式描述时空，引入四维矢量。将时间与空间坐标合并为时空四维矢量：

x^\mu = (ct,\, x,\, y,\, z),\quad \mu = 0,1,2,3

两个四维矢量 $A^\mu = (A^0, \mathbf{A})$ 与 $B^\mu = (B^0, \mathbf{B})$ 的内积（洛伦兹标量）定义为：

A^\mu B_\mu = A^0 B^0 - \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}

这个内积在洛伦兹变换下保持不变，类似于三维空间中点积在旋转下的不变性。粒子的四维速度定义为：

u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma(c,\,\mathbf{v})

其中 $\tau$ 是粒子的固有时， $\mathbf{v}$ 是三维速度。四维速度的内积为：

u^\mu u_\mu = \gamma^2(c^2 - |\mathbf{v}|^2) = c^2

这是一个洛伦兹不变量，在任何惯性系中均成立。

相对论能量与动量

经典力学动量 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ 在高速情况下不满足动量守恒定律。相对论动量定义为：

\mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

当 $v \to c$ 时， $\gamma \to \infty$ ，动量趋于无穷大，这正是有静止质量的粒子无法被加速到光速的根本原因。

粒子的相对论能量为：

E = \gamma mc^2

当粒子静止时（ $v = 0$ ， $\gamma = 1$ ），得到著名的静止能量：

E_0 = mc^2

这说明质量本身就是一种形式的能量，质量与能量可以相互转化。粒子的动能为：

E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2

四维动量将三维动量和能量统一为：

p^\mu = (E/c,\,\mathbf{p})

其内积给出粒子的不变质量关系：

p^\mu p_\mu = \frac{E^2}{c^2} - |\mathbf{p}|^2 = m^2c^2

整理后得到能量-动量关系式：

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2

对于光子， $m = 0$ ，故 $E = pc$ ，即光子的能量与动量的关系。

例题　在粒子加速器中，一个质子（静止质量 $m_p = 938.3\ \mathrm{MeV}/c^2$ ）被加速到动能 $E_k = 7000\ \mathrm{GeV} = 7.0\times10^6\ \mathrm{MeV}$ （即 LHC 的设计能量），求其总能量、洛伦兹因子和速度。

E = E_k + m_p c^2 = 7.0\times10^6\ \mathrm{MeV} + 938.3\ \mathrm{MeV} \approx 7.001\times10^6\ \mathrm{MeV}

\gamma = \frac{E}{m_p c^2} = \frac{7.001\times10^6}{938.3} \approx 7460

v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} = c\sqrt{1 - 1/7460^2} \approx c\left(1 - 9\times10^{-9}\right)

质子速度极度接近光速，但永远不可能达到 $c$ 。此时质子的动量 $p \approx E/c$ ，质量几乎可忽略不计，与光子行为相近。

能量-动量关系 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ 是相对论力学的核心公式，它将粒子的能量、动量和质量统一在一个洛伦兹不变的关系中。对于有质量的粒子，当 $pc \ll mc^2$ 时退化为经典动能；对于无质量粒子（光子），则给出 $E = pc$ 。

电动力学的协变性

麦克斯韦方程组是相对论的「天然盟友」——它在洛伦兹变换下形式不变，这正是爱因斯坦建立相对论的出发点之一。为了清晰展示这一协变性，需要将电荷与电流、电场与磁场都写成四维形式。

电荷守恒定律可以用连续性方程表达：

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0

将电荷密度 $\rho$ 与电流密度 $\mathbf{J}$ 合并为四维电流密度矢量：

J^\mu = (c\rho,\,\mathbf{J})

则连续性方程变为：

\partial_\mu J^\mu = 0

这是一个洛伦兹协变的方程——在任何惯性系中都成立，形式相同。

类似地，将标量势 $\varphi$ 与矢量势 $\mathbf{A}$ 合并为四维势：

A^\mu = (\varphi/c,\,\mathbf{A})

在洛伦兹规范 $\partial_\mu A^\mu = 0$ 下，四维势满足的波动方程统一写为：

\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu,\quad \Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2

这一方程的形式在所有惯性系中完全相同，体现了电动力学的洛伦兹协变性。

麦克斯韦方程组在1865年建立时，就已经天然地满足洛伦兹协变性，只是当时的物理学家尚未认识到这一点。正是这种深刻的内在一致性，使得麦克斯韦方程组成为经典物理中最完美的理论体系之一。

电磁场在不同参考系间的变换

电场与磁场并非两种彼此独立的物理量，它们在不同惯性系中的变换密切相关。相对论揭示出， $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 实际上是同一个二阶反对称张量——电磁场张量 $F^{\mu\nu}$ 的不同分量，在洛伦兹变换下相互混合。

电磁场张量的各分量与 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 的对应关系为：

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

当参考系沿 $x$ 轴以速度 $v$ 发生洛伦兹变换时，电场和磁场的各分量变换规律为：

E'_x = E_x,\quad E'_y = \gamma(E_y - vB_z),\quad E'_z = \gamma(E_z + vB_y)

B'_x = B_x,\quad B'_y = \gamma\!\left(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\right),\quad B'_z = \gamma\!\left(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\right)

沿运动方向的分量不变，垂直方向的分量相互混合。

例题　在实验室参考系 $S$ 中，有一根沿 $x$ 轴方向放置的无限长直导线，线电荷密度为 $\lambda$ （静止），无电流（ $\mathbf{J} = 0$ ）。一个以速度 $v$ 沿 $x$ 轴运动的观察者（在 $S'$ 系中），会看到什么？

在 $S$ 系中，直导线产生的电场（以距导线距离 $r$ 处）：

E_y = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},\quad B_z = 0

变换到 $S'$ 系：

E'_y = \gamma(E_y - v\cdot 0) = \gamma E_y = \frac{\gamma\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}

B'_z = \gamma\!\left(0 - \frac{v}{c^2}E_y\right) = -\frac{\gamma v}{c^2}\cdot\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{\gamma\lambda v}{2\pi\varepsilon_0 c^2 r}

利用 $c^2 = 1/(\varepsilon_0\mu_0)$ ：

B'_z = -\frac{\mu_0\gamma\lambda v}{2\pi r}

在 $S'$ 系中，观察者不仅看到了电场，还看到了磁场！这是因为 $S'$ 系相对导线运动，等效于导线中有电流 $I = \gamma\lambda v$ （相对论性长度收缩使线电荷密度变为 $\gamma\lambda$ ），自然产生磁场。

两个洛伦兹不变量可由电磁场张量构成，在任何惯性系中取相同的值：

\mathbf{E}^2 - c^2\mathbf{B}^2 = \text{不变量},\quad \mathbf{E}\cdot\mathbf{B} = \text{不变量}

导线中电流产生磁场这一现象，从相对论视角看，不过是运动观察者看到的「纯电场」情形的变换结果。电与磁的统一，在相对论框架下得到了最深刻的诠释：它们是同一电磁场张量在不同惯性系中的不同侧面。

练习题

选择题

题目一（知识点：时间膨胀）

一列高速列车以速度 $v = 0.6c$ 通过站台，列车上的乘务员测量车厢某灯泡闪烁一次的持续时间为 $\Delta t_0 = 1.0\ \mathrm{s}$ （固有时）。站台上的观察者测得该灯泡闪烁的持续时间 $\Delta t$ 约为（　　）

A. $0.8\ \mathrm{s}$ 　　B. $1.0\ \mathrm{s}$ 　　C. $1.25\ \mathrm{s}$ 　　D. $1.67\ \mathrm{s}$

题目二（知识点：相对论速度叠加）

飞船 A 以速度 $0.6c$ 相对地球向右运动，飞船 B 以速度 $0.6c$ 相对地球向左运动（即两船相向而行）。以下关于飞船 A 上的观察者测量飞船 B 的速度，说法正确的是（　　）

A. $1.2c$ （经典叠加）

B. 恰好等于 $c$

C. 约为 $0.88c$ ，仍小于光速

D. 约为 $0.75c$ ，仍小于光速

答案：C

取地球系为 $S$ 系，飞船 A 的运动方向为正方向， $v = 0.6c$ （ $S'$ 系相对 $S$ 系的速度），飞船 B 在 $S$ 系中的速度 $u'_x = -0.6c$ （向左）。

u_x = \frac{u'_x + v}{1 + u'_x v/c^2} = \frac{-0.6c + 0.6c}{1 + (-0.6)(0.6)} = \frac{0}{0.64}

这里需要从飞船 A 的参考系来看： $v_{AB}$ 使用 $u'_x = -0.6c$ （B 在地球系中的速度）， $v = -0.6c$ （A 相对地球的速度，A 看地球以 $-0.6c$ 运动），则 B 相对 A 的速度：

u = \frac{-0.6c - 0.6c}{1 + (-0.6c)(-0.6c)/c^2} = \frac{-1.2c}{1 + 0.36} = \frac{-1.2c}{1.36} \approx -0.882c

速度大小约为 $0.88c$ ，仍然小于光速，选 C。经典叠加给出 $1.2c$ 是错误的。

题目三（知识点：相对论能量与静止能量）

一个电子（静止质量 $m_e = 0.511\ \mathrm{MeV}/c^2$ ）的动能恰好等于其静止能量，则此时电子的速度约为（　　）

A. $0.5c$ 　　B. $0.707c$ 　　C. $0.866c$ 　　D. $0.943c$

答案：C

动能 $E_k = (\gamma - 1)mc^2 = mc^2$ ，故 $\gamma = 2$ 。

由 $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} = 2$ ，解得：

1 - v^2/c^2 = 1/4 \implies v^2/c^2 = 3/4 \implies v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0.866c

选 C。此时电子的总能量为 $E = 2mc^2 = 1.022\ \mathrm{MeV}$ 。

题目四（知识点：电磁场的参考系变换）

在实验室参考系中，某区域只有匀强磁场 $\mathbf{B}$ ，电场 $\mathbf{E} = 0$ 。一个观察者以速度 $v$ （垂直于磁场方向）通过该区域，则该观察者在自己的参考系中测量到（　　）

A. 只有磁场，没有电场

B. 只有电场，没有磁场

C. 既有电场，又有磁场

D. 既没有电场，也没有磁场

答案：C

由电磁场变换公式，以速度 $v$ 沿 $x$ 方向运动的观察者看到的电场（以 $\mathbf{B} = B\hat{z}$ ， $\mathbf{E} = 0$ 为例）：

E'_y = \gamma(E_y - vB_z) = \gamma(0 - vB) = -\gamma vB \neq 0

B'_z = \gamma(B_z - vE_y/c^2) = \gamma B \neq 0

运动观察者同时看到电场和磁场，选 C。这说明电场和磁场在不同参考系中相互转化，是同一电磁场的不同侧面。

计算题

题目五（知识点：洛伦兹变换、时间膨胀与长度收缩）

一艘飞船以速度 $v = 0.8c$ 相对地球匀速飞行，飞船的固有长度（自身静止参考系中的长度）为 $L_0 = 100\ \mathrm{m}$ 。

（1）求洛伦兹因子 $\gamma$ ；

（2）求地球观察者测得的飞船长度 $L$ ；

（3）飞船上的时钟显示飞行了 $\tau = 10\ \mathrm{h}$ （固有时），求地球参考系中经过的时间 $t$ ；

（4）在地球参考系中，飞船飞行的距离 $d$ 是多少？

解：
（1）洛伦兹因子

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.667

（2）地球观察者测得的飞船长度

L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{100\ \mathrm{m}}{1.667} = 60\ \mathrm{m}

地球观察者测得飞船长度仅为固有长度的 $60\%$ ，沿运动方向发生了长度收缩。

（3）地球参考系中经过的时间

t = \gamma\,\tau = 1.667\times10\ \mathrm{h} = 16.67\ \mathrm{h} \approx 16.7\ \mathrm{h}

飞船上的时钟走得较慢，地球上已经过了约 $16.7\ \mathrm{h}$ ，而飞船上只走过 $10\ \mathrm{h}$ 。

（4）地球参考系中飞船飞行的距离

d = v\cdot t = 0.8\times(3\times10^8\ \mathrm{m/s})\times16.7\times3600\ \mathrm{s}

= 0.8\times3\times10^8\times6.012\times10^4\ \mathrm{m} \approx 1.44\times10^{13}\ \mathrm{m} \approx 1.44\times10^{10}\ \mathrm{km}

约为 $1.52$ 光时（以光速飞行 $1.52$ 小时的距离）。

题目六（知识点：相对论能量-动量关系与电磁场变换）

在实验室参考系 $S$ 中，有一均匀带电的无限长直导线，线电荷密度为 $\lambda = 1.0\times10^{-6}\ \mathrm{C/m}$ ，静止（无电流）。

（1）求距导线 $r = 0.1\ \mathrm{m}$ 处的电场大小 $E$ （ $S$ 系中）；

（2）一个观察者以速度 $v = 0.6c$ 平行于导线运动（在 $S'$ 系中），求 $S'$ 系中距导线 $r = 0.1\ \mathrm{m}$ 处的电场 $E'$ 和磁场 $B'$ ；

（3）验证 $S'$ 系中的磁场可以解释为：相对论性线电荷密度变化产生等效电流后，利用安培定律所得到的结果。

解：
（1） $S$ 系中的电场

由高斯定律，无限长带电直导线在距离 $r$ 处的电场：

E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \frac{1.0\times10^{-6}}{2\pi\times8.85\times10^{-12}\times0.1} = \frac{1.0\times10^{-6}}{5.56\times10^{-12}} \approx 1.80\times10^{5}\ \mathrm{V/m}

$S$ 系中无磁场， $B = 0$ 。

（2） $S'$ 系中的电场和磁场

洛伦兹因子： $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1/0.8 = 1.25$

设 $v$ 沿 $x$ 轴方向，导线平行 $x$ 轴，则 $E$ 沿 $y$ 方向（垂直导线）， $B = 0$ ：

E'_y = \gamma(E_y - vB_z) = 1.25\times(1.80\times10^5 - 0) = 2.25\times10^5\ \mathrm{V/m}

B'_z = \gamma\!\left(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\right) = 1.25\times\left(0 - \frac{0.6c}{c^2}\times1.80\times10^5\right)

= 1.25\times\left(-\frac{0.6\times1.80\times10^5}{3\times10^8}\right) = 1.25\times(-3.60\times10^{-4}) \approx -4.50\times10^{-4}\ \mathrm{T}

（3）用等效电流验证磁场

$S'$ 系中，由于观察者以 $v = 0.6c$ 平行导线运动，相当于导线以 $-v$ 运动。导线的线电荷密度因相对论性长度收缩而变为 $\lambda' = \gamma\lambda = 1.25\times1.0\times10^{-6} = 1.25\times10^{-6}\ \mathrm{C/m}$ ，等效电流为：

I' = \lambda' v = 1.25\times10^{-6}\times0.6\times3\times10^8 = 225\ \mathrm{A}

由安培定律，该电流在距离 $r = 0.1\ \mathrm{m}$ 处产生的磁场：

B' = \frac{\mu_0 I'}{2\pi r} = \frac{4\pi\times10^{-7}\times225}{2\pi\times0.1} = \frac{225\times2\times10^{-7}}{0.1} = 4.50\times10^{-4}\ \mathrm{T}

方向与变换公式的结果一致（差一个负号对应于方向约定），数值完全吻合。这验证了： $S'$ 系中出现的磁场，正是相对论性长度收缩使导线线电荷密度增大、形成等效电流的必然结果。