气体动理论

空气充满整个房间、轮胎充气后变硬、高压锅中水蒸气推动阀门……这些现象背后都涉及气体的行为。气体不同于固体和液体——它没有固定形状，也没有固定体积，可以无限膨胀充满容器。

理解气体的行为，需要从两个角度入手：一是宏观角度，研究气体的压强、温度和体积之间的关系；二是微观角度，探究气体分子的运动规律。这两个角度相互补充，共同构成气体动理论的完整框架。

气体的微观图像

气体由大量分子组成，这些分子处于永不停息的无规则运动状态。气体动理论建立在三个基本假设之上：

• 假设一：气体分子的线度（直径）远小于分子间的平均距离。在标准状态下，气体分子直径约为 $10^{-10}$ m，而分子间平均距离约为 $10^{-9}$ m——分子间距约是分子直径的 10 倍，分子本身占据的体积可以忽略不计。

• 假设二：气体分子之间除碰撞瞬间外，没有相互作用力。分子做自由飞行，直到与其他分子或容器壁发生碰撞。

• 假设三：分子之间的碰撞以及分子与容器壁的碰撞都是弹性碰撞，动能没有损失。

满足这三个假设的气体称为理想气体。在温度不太低、压强不太高的条件下，实际气体的行为与理想气体非常接近。

气体对容器壁产生压强的原因，正是大量分子持续不断地撞击容器壁。每个分子的撞击力极小，但每秒内撞击容器壁的分子数极多（每平方厘米每秒约 $10^{23}$ 次），大量碰撞的统计平均效果就形成了稳定的压强。

理想气体状态方程

描述一定量气体的状态，需要三个宏观量：压强 $p$、体积 $V$、温度 $T$。实验表明，这三个量并不独立——改变其中一个，其他量也会相应改变。

对于 $n$ mol 理想气体，三个状态量之间满足理想气体状态方程：

$pV = nRT$

其中：

• $p$ 为压强，单位 Pa（帕斯卡）
• $V$ 为体积，单位 m³
• $n$ 为物质的量，单位 mol
• $T$ 为热力学温度，单位 K（开尔文）
• $R = 8.314$ J/(mol·K) 为普适气体常数

热力学温度 $T$ 与摄氏温度 $t$ 的换算关系为：

$T = t + 273.15 \approx t + 273$

零摄氏度对应 273 K，人体体温 37°C 对应 310 K。

例题一：一个密闭容器中装有 2 mol 理想气体，温度为 27°C，体积为 $10$ L。求气体的压强。

热力学温度：$T = 27 + 273 = 300$ K

体积换算：$V = 10 \text{ L} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 0.01 \text{ m}^3$

由状态方程：

$p = \frac{nRT}{V} = \frac{2 \times 8.314 \times 300}{0.01} = \frac{4988.4}{0.01} \approx 4.99 \times 10^5 \text{ Pa}$

约为大气压（$1.013 \times 10^5$ Pa）的 5 倍。

当气体的质量（物质的量 $n$）保持不变时，状态方程可以用来比较气体从初状态（$p_1, V_1, T_1$）到末状态（$p_2, V_2, T_2$）的变化：

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} = nR = \text{常数}$

这个关系综合了三条经典气体实验定律：

例题二：自行车轮胎在冬天（气温 $-7$°C）充气至表压 $3.0 \times 10^5$ Pa，到夏天气温升至 43°C（轮胎体积视为不变），求夏天轮胎内的表压。（大气压 $p_0 = 1.0 \times 10^5$ Pa）

冬天绝对压强：$p_1 = 3.0 \times 10^5 + 1.0 \times 10^5 = 4.0 \times 10^5$ Pa，$T_1 = -7 + 273 = 266$ K

夏天：$T_2 = 43 + 273 = 316$ K，体积不变

由等容过程：

$p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 4.0 \times 10^5 \times \frac{316}{266} \approx 4.75 \times 10^5 \text{ Pa}$

夏天表压：$p_2 - p_0 = 4.75 \times 10^5 - 1.0 \times 10^5 = 3.75 \times 10^5$ Pa，比冬天高出约 $0.75 \times 10^5$ Pa。这就是为什么夏天轮胎更容易爆胎——气温升高导致胎压升高。

温度与分子平均动能

温度是气体分子热运动激烈程度的宏观表现。气体分子的运动速率各不相同，但从统计角度来看，温度越高，分子运动越快，分子的平均动能越大。

气体分子的平均平动动能与热力学温度 $T$ 的关系为：

$\bar{E}_k = \frac{3}{2}k_B T$

其中 $k_B = 1.38 \times 10^{-23}$ J/K 是玻尔兹曼常数。

这个公式揭示了温度的微观本质：热力学温度是气体分子平均平动动能的量度，两者成正比。温度升高一倍（以 K 为单位），分子平均动能就增大一倍。

从表中可以看出：温度从 300 K 升至 600 K（摄氏温度从 27°C 升至 327°C），分子平均动能恰好翻倍，完全符合 $\bar{E}_k \propto T$ 的正比关系。

例题三：求室温（27°C）下气体分子的平均平动动能，以及要使平均动能增大为室温时的 3 倍，温度需升至多少摄氏度？

室温下：$T_1 = 300$ K

$\bar{E}_{k1} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 = 6.21 \times 10^{-21} \text{ J}$

平均动能增大为 3 倍，由 $\bar{E}_k \propto T$：

$T_2 = 3T_1 = 3 \times 300 = 900 \text{ K}$

对应摄氏温度：$t_2 = 900 - 273 = 627$°C

平均动能增大 3 倍，需将热力学温度提高到 900 K（627°C）——这体现了热力学温度的绝对性：摄氏温度增大了 600°C，但热力学温度只是乘以了 3。

麦克斯韦速率分布律

在某一温度下，气体中每个分子的速率各不相同，且时刻都在变化。但对于大量分子的集体，速率的统计分布遵循一定规律，这就是麦克斯韦速率分布律。

以速率 $v$ 为横轴，以速率分布函数（具有该速率附近的分子比例）为纵轴，可以画出速率分布曲线。这条曲线的形状呈不对称的单峰形：

• 曲线从零开始上升，在某一速率处达到峰值（最概然速率 $v_p$），之后缓慢下降，在高速率端有一条“长尾”延伸。
• 曲线下的面积代表分子的比例，总面积为 1（即 100% 的分子）。

几个特征速率的关系为：

$v_p < \bar{v} < v_{rms}$

其中 $M$ 为气体的摩尔质量（单位 kg/mol）。

温度升高时，速率分布曲线的变化规律如下：峰值（最概然速率）向右移动，曲线变得更加“矮胖”——高速率分子的比例增大，低速率分子的比例减小，整体分布向右展宽。

例题四：计算 27°C 时氮气（$M = 0.028$ kg/mol）分子的最概然速率和方均根速率。

$v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{\frac{2 \times 8.314 \times 300}{0.028}} = \sqrt{\frac{4988.4}{0.028}} = \sqrt{178157} \approx 422 \text{ m/s}$

$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{0.028}} = \sqrt{\frac{7482.6}{0.028}} = \sqrt{267236} \approx 517 \text{ m/s}$

室温下氮气分子的典型速率约为 400—500 m/s，远超音速（约 340 m/s）。气体分子的运动速率是很大的，只是由于分子之间频繁碰撞（每秒约 $10^9$ 次），实际扩散速度远小于此。

气体的典型热力学过程

气体状态的变化过程称为热力学过程。研究气体过程最直观的工具是 $p$-$V$ 图（以体积 $V$ 为横轴、压强 $p$ 为纵轴的图像）。图上的每个点代表一个平衡状态，连接两个状态的曲线代表过程路径。

• 等温过程（$T$ 不变）：由 $pV = nRT =$ 常数，$p$ 与 $V$ 成反比，$p$-$V$ 图上是一条双曲线（等温线）。温度越高，等温线越靠右上方。

• 等压过程（$p$ 不变）：$V$ 与 $T$ 成正比，$p$-$V$ 图上是一条水平线。气体等压膨胀时，温度升高；等压压缩时，温度降低。

• 等容过程（$V$ 不变）：$p$ 与 $T$ 成正比，$p$-$V$ 图上是一条竖直线。等容升温时压强增大，等容降温时压强减小。

• 绝热过程（与外界无热量交换）：在 $p$-$V$ 图上，绝热线比等温线更“陡峭”——绝热膨胀时，气体对外做功，内能减小，温度降低，压强下降得比等温过程更快。

例题五：一定量气体从状态 A（$p_1 = 2 \times 10^5$ Pa，$V_1 = 4$ L，$T_1 = 400$ K）经过等温过程变化到状态 B，体积变为 $V_2 = 8$ L，再经等容过程变到状态 C，压强变为 $p_3 = 1.5 \times 10^5$ Pa。求状态 B 的压强和状态 C 的温度。

A → B 等温过程（$T$ 不变，$T_B = 400$ K）：

$p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} = 2 \times 10^5 \times \frac{4}{8} = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}$

B → C 等容过程（$V$ 不变，$V_3 = V_2 = 8$ L）：

$\frac{p_2}{T_B} = \frac{p_3}{T_C} \implies T_C = T_B \cdot \frac{p_3}{p_2} = 400 \times \frac{1.5 \times 10^5}{1.0 \times 10^5} = 600 \text{ K}$

即 $t_C = 600 - 273 = 327$°C。

例题六：打气筒快速压缩活塞时，筒内气体温度明显升高。设初始状态为标准大气压 $p_0 = 1.0 \times 10^5$ Pa，温度 $T_1 = 300$ K，活塞将气体绝热压缩至原体积的 $\dfrac{1}{8}$，绝热过程满足 $pV^{1.4} =$ 常数，求压缩后的压强和温度。

由绝热条件 $p_1 V_1^{1.4} = p_2 V_2^{1.4}$，其中 $V_2 = \dfrac{V_1}{8}$：

$p_2 = p_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{1.4} = 1.0 \times 10^5 \times 8^{1.4}$

$8^{1.4} = 8^1 \times 8^{0.4} \approx 8 \times 2.297 \approx 18.4$

$p_2 \approx 18.4 \times 10^5 \text{ Pa}$

再由 $\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$：

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = 300 \times \frac{18.4 \times 10^5 \times \frac{V_1}{8}}{1.0 \times 10^5 \times V_1} = 300 \times \frac{18.4}{8} = 300 \times 2.3 = 690 \text{ K}$

对应摄氏温度约为 417°C。绝热压缩能使气体温度急剧升高——柴油发动机正是利用这一原理点燃燃油的，无需火花塞。

练习题

1. 下列关于理想气体的说法，正确的是（　　）

A．理想气体分子之间没有任何相互作用力，因此理想气体不存在内能

B．温度升高时，气体分子的平均动能增大，每个分子的速率都会增大

C．气体压强的大小取决于单位时间内撞击单位面积容器壁的分子数和每次碰撞的平均冲量

D．在标准状态下，任何气体的摩尔体积都不相同

2. 一定量理想气体被密封在固定容积的钢瓶中，将其从室温加热到更高温度，下列说法正确的是（　　）

A．气体的物质的量增大

B．气体分子的平均速率不变，但压强增大

C．气体压强增大，分子平均动能增大

D．气体体积增大，压强不变

3. 如图所示，某理想气体经历了 A → B → C 三个状态，其中 A → B 为等温过程，B → C 为等压过程。下列判断正确的是（　　）

A．$T_A > T_C$

B．$T_A = T_B < T_C$

C．$p_A > p_B$

D．从 A 到 C，气体内能先不变后减小

4. 对于麦克斯韦速率分布律，下列说法正确的是（　　）

A．气体中所有分子的速率都等于最概然速率 $v_p$

B．温度升高时，速率分布曲线的峰值向左移动，曲线变高变窄

C．最概然速率 $v_p$、平均速率 $\bar{v}$ 和方均根速率 $v_{rms}$ 满足 $v_p < \bar{v} < v_{rms}$

D．摩尔质量越大的气体，在相同温度下方均根速率越大

5.（计算题） 某密封气缸中有 0.5 mol 理想气体，初始状态为：温度 $T_1 = 300$ K，体积 $V_1 = 6$ L。先对气体等压加热，使体积变为 $V_2 = 9$ L（状态二）；再等容降温，使压强降至 $p_3 = 1.5 \times 10^5$ Pa（状态三）。

（1）求初始状态的压强 $p_1$；

（2）求状态二的温度 $T_2$；

（3）求状态三的温度 $T_3$。

（$R = 8.314$ J/(mol·K)）

6.（计算题） 一个打气筒将气体从大气压 $p_0 = 1.0 \times 10^5$ Pa 状态压入容积为 $V_0 = 2.0$ L 的自行车轮胎中。打气前轮胎内气体压强已为 $p_1 = 3.0 \times 10^5$ Pa（绝对压强），温度 $T = 300$ K。打气筒每次行程将体积 $V_{筒} = 0.5$ L 的大气（大气压 $p_0$，温度 $T$）压入轮胎，整个过程为等温过程。

（1）打气筒压入一筒气后，轮胎内气体的总物质的量是多少（设原来轮胎内气体物质的量为 $n_0$，打气筒内气体物质的量为 $\Delta n$，给出相对关系即可）？

（2）打气前轮胎内气体物质的量为 $n_0 = \dfrac{p_1 V_0}{RT}$，打气筒内气体物质的量为 $\Delta n = \dfrac{p_0 V_{筒}}{RT}$，压入后轮胎内共有 $n_0 + \Delta n$ mol 气体，求压入一筒后轮胎内的新压强 $p_2$。

（3）若继续打气直到轮胎压强达到 $5.0 \times 10^5$ Pa，问从 $3.0 \times 10^5$ Pa 开始还需压入几筒气？