功能关系的定量分析

物体运动时，力可以改变物体的速度——推一下静止的小球，它就动了起来；制动一辆行驶中的汽车，它就慢下来了。这种力改变运动状态的效果，在物理学中用功和能量来定量描述。功是力对物体作用过程的度量，而动能是物体运动状态的量度，二者通过动能定理紧密联系在一起。

功的概念与计算

一个力对物体做功，需要同时满足两个条件：有力作用在物体上，且物体在力的方向上发生了位移。功的计算公式是：

$W = Fs\cos\theta$

其中 $F$ 是力的大小（单位 $\mathrm{N}$），$s$ 是物体发生的位移（单位 $\mathrm{m}$），$\theta$ 是力的方向与位移方向之间的夹角。功的单位是焦耳（$\mathrm{J}$），$1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}$。

当 $\theta = 0°$ 时（力与位移同向），$W = Fs$，力做正功，物体加速；当 $\theta = 90°$ 时（力与位移垂直），$W = 0$，力不做功；当 $\theta =180\mathrm{°}$ 时（力与位移反向），，力做负功，物体减速。

例题：用绳子斜向上拉一个箱子，绳子与水平方向成 30° 角，拉力大小为 50 N，箱子沿水平面移动了 4 m，求绳子拉力对箱子做的功。

$W = Fs\cos\theta = 50 \times 4 \times \cos 30° = 200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 173\ \text{J}$

绳子拉力对箱子做功约为 173 J（正功）。

变力做功

恒力做功用 $W = Fs\cos\theta$ 直接计算，但很多实际情形中力的大小随位移变化，不能直接套用该公式。典型的例子是弹簧弹力——拉伸越长，弹力越大。

对于弹簧（胡克定律：$F = kx$），弹力从零逐渐增大到 $F_{max} = kx$，用平均力代替恒力来计算做功：

$W_{弹} = \frac{0 + kx}{2} \cdot x = \frac{1}{2}kx^2$

这个结论可以用 $F$-$x$ 图像的面积来理解：$F$-$x$ 图中，弹力随位移线性增大，图线是从原点出发的直线，图线下方围成的三角形面积就是弹力做的功。

例题：弹簧劲度系数 $k = 200\ \text{N/m}$，将其从自然状态压缩 0.1 m，求弹簧弹力在此过程中做的功。

弹力从 0 增大到 $F = kx = 200 \times 0.1 = 20\ \text{N}$，做功：

$W_{弹} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.1)^2 = 1\ \text{J}$

弹簧在被压缩过程中，外力克服弹力做了 1 J 的功，这 1 J 的能量以弹性势能的形式储存在弹簧中，释放时可以再转化回来。

动能定理

动能是描述物体运动快慢的能量，定义为：

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

其中 $m$ 是物体质量（kg），$v$ 是速度（m/s），$E_k$ 的单位是焦耳（J）。动能定理建立了合外力做功与物体动能变化之间的定量关系。

推导过程：设物体质量为 $m$，初速度为 $v_1$，在合外力 $F_{合}$ 的作用下经位移 $s$ 后速度变为 $v_2$。由匀变速运动公式 以及牛顿第二定律 ，可得：

$W_{合} = F_{合} \cdot s = ma \cdot s = m \cdot \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$

整理得到动能定理：

$W_{合} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = \Delta E_k$

合外力做的总功等于物体动能的变化量。

例题1：质量为 2 kg 的物体从静止开始运动，合外力做功 400 J，求物体末速度。

初始动能 $E_{k1} = 0$（静止），由动能定理：

$\frac{1}{2}mv_2^2 = E_{k1} + W_{合} = 0 + 400 = 400\ \text{J}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \times 400}{2}} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}$

例题2：质量为 1 kg 的滑块在粗糙水平面上以初速度 10 m/s 运动，摩擦力大小为 2 N，求滑块滑行多远后停止。

初动能：$E_{k1} = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 10^2 = 50\ \text{J}$，末动能 （停止）。

合外力只有摩擦力（做负功），由动能定理：

$-f \cdot s = E_{k2} - E_{k1} = 0 - 50\ \text{J}$

$s = \frac{50}{f} = \frac{50}{2} = 25\ \text{m}$

重力势能与弹性势能

势能是由物体的位置或形变状态决定的能量，可以在适当条件下转化为动能。

重力势能以选定的水平面为参考面（势能零点），物体距参考面高度为 $h$ 时：

$E_p = mgh$

重力势能是标量，但有正负之分：取地面为参考面时，物体在地面以上 $E_p > 0$，在地面以下 $E_p < 0$。重力做功与重力势能变化的关系是：

$W_{重力} = -\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2}$

重力做正功（物体下降），重力势能减小；重力做负功（物体上升），重力势能增大。

弹性势能是弹簧（或其他弹性体）发生形变时储存的能量：

$E_{弹} = \frac{1}{2}kx^2$

其中 $k$ 是弹簧的劲度系数（N/m），$x$ 是弹簧偏离自然长度的形变量（m）。弹簧拉伸和压缩都储存弹性势能，自然状态下弹性势能为零。

例题：质量为 0.5 kg 的物体从离地面 8 m 高处由静止下落，不计空气阻力。（$g = 10\ \text{m/s}^2$）

重力做功：$W_{重力} = mgh = 0.5 \times 10 \times 8 = 40\ \text{J}$

由动能定理（初速度为零）：

$v = \sqrt{\frac{2W_{重力}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 40}{0.5}} = \sqrt{160} \approx 12.6\ \text{m/s}$

机械能守恒定律

物体的机械能是动能与重力势能（及弹性势能）之和：

$E_{机} = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

机械能守恒定律：若物体只受重力（和弹力）做功，不受摩擦力等非保守力的作用，则物体的机械能保持不变：

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

展开写为：

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$

机械能守恒的成立条件：只有重力（或弹力）做功，其他力（如摩擦力、空气阻力、发动机推力）不做功或不存在。一旦摩擦力做了功，机械能就不再守恒，减少的机械能转化为内能（热能）。

例题1：质量为 1 kg 的小球从 5 m 高处由静止自由下落，不计空气阻力，求到达地面时的速度。（$g = 10\ \text{m/s}^2$，以地面为参考面）

只有重力做功，机械能守恒，初始动能为零：

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10\ \text{m/s}$

例题2：质量为 0.1 kg 的小球以 6 m/s 的速度在水平面上匀速滚动，之后碰到一个竖直弹簧，弹簧被压缩后弹回，设全程无能量损失。求弹簧被压缩到最短时储存的弹性势能。

小球与弹簧相互作用到弹簧最短时，小球速度为零，全部动能转化为弹性势能：

$E_{弹} = E_{k1} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 6^2 = 1.8\ \text{J}$

摩擦力存在时的能量关系：若系统存在摩擦，摩擦力大小乘以相对滑动距离，等于损失的机械能，也等于产生的热量：

$Q = f \cdot s = -\Delta E_{机}$

这个关系是能量守恒定律在有摩擦情形下的具体体现——机械能减少了多少，就产生了多少热量，总能量始终守恒。

练习题

1. 用 30 N 的水平推力将一个物体沿水平方向推动了 5 m，同时有大小为 10 N 的摩擦力与运动方向相反，则合外力对物体做的功为（　　）

A．150 J　　B．100 J　　C．50 J　　D．−50 J

2. 一个质量为 2 kg 的物体从静止开始在光滑水平面上运动，合外力对它做了 100 J 的功，则它的末速度为（　　）

A．5 m/s　　B．10 m/s　　C．20 m/s　　D．50 m/s

3. 下列情形中，机械能守恒的是（　　）

A．子弹射入木块后二者一起运动

B．物体沿粗糙斜面匀速下滑

C．物体在竖直方向做自由落体运动

D．汽车在水平路面上匀速行驶

4. 弹簧劲度系数 $k = 400\ \text{N/m}$，将弹簧从自然状态压缩 0.05 m，弹簧储存的弹性势能为（　　）

A．0.25 J　　B．0.5 J　　C．1 J　　D．2 J

5.（计算题） 一辆质量为 1000 kg 的汽车以 20 m/s 的速度在平直公路上行驶，紧急刹车后滑行 50 m 停下。（$g = 10\ \text{m/s}^2$）

（1）求汽车刹车过程中合外力对汽车做的功；

（2）求路面对汽车的摩擦力大小；

（3）求刹车过程中产生的热量。

6.（计算题） 质量为 0.2 kg 的小球从离地面 20 m 高处由静止释放，不计空气阻力。（$g = 10\ \text{m/s}^2$，以地面为参考面）

（1）求小球在出发点处的重力势能；

（2）求小球落到距地面 5 m 高处时的速度；

（3）验证该下落过程中机械能守恒。

合外力做功：$W_{合} = 150 + (-50) = 100\ \text{J}$

故选 B。

$v_2 = \sqrt{\frac{2W_{合}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 100}{2}} = \sqrt{100} = 10\ \text{m/s}$

故选 B。

故选 B。

$E_{k2} = 0$

由动能定理：

$W_{合} = E_{k2} - E_{k1} = 0 - 2\times10^5 = -2\times10^5\ \text{J}$

（2）摩擦力大小

水平面上只有摩擦力做功（重力和支持力垂直位移，不做功），所以：

$W_{合} = -f \cdot s$

$f = \frac{|W_{合}|}{s} = \frac{2\times10^5}{50} = 4000\ \text{N}$

（3）产生的热量

$Q = f \cdot s = 4000 \times 50 = 2\times10^5\ \text{J}$

（1）合外力做功为 $-2\times10^5\ \text{J}$；（2）摩擦力大小为 4000 N；（3）产生热量为 $2\times10^5\ \text{J}$。

（2）落到距地面 5 m 处时的速度

由机械能守恒定律（初动能为零）：

$mgh_1 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh_2$

$v = \sqrt{2g(h_1 - h_2)} = \sqrt{2 \times 10 \times (20 - 5)} = \sqrt{300} \approx 17.3\ \text{m/s}$

（3）验证机械能守恒

在距地面 5 m 处，动能为：

$E_{k2} = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (\sqrt{300})^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 300 = 30\ \text{J}$

重力势能为：

$E_{p2} = mgh_2 = 0.2 \times 10 \times 5 = 10\ \text{J}$

末态机械能：$E_{机2} = 30 + 10 = 40\ \text{J}$

初态机械能：$E_{机1} = 0 + 40 = 40\ \text{J}$

两者相等，机械能守恒得到验证。

（1）重力势能为 40 J；（2）速度约为 17.3 m/s；（3）初末机械能均为 40 J，守恒。