动量与冲量

一辆满载货物的卡车行驶时很难被制动，而一颗高速飞行的子弹虽然质量极小，却能穿透厚钢板——这两种现象告诉我们，物体的运动状态不仅与速度有关，还与质量密切相关。动量正是将质量与速度结合起来描述运动状态的物理量，冲量则描述了力在时间上的累积效果。两者之间的关系，是理解碰撞、爆炸和缓冲机制的核心。

动量的定义与矢量性

物体的动量定义为质量与速度的乘积：

$p = mv$

其中 $m$ 是物体质量（单位 kg），$v$ 是速度（单位 m/s），动量 $p$ 的单位是 kg·m/s，也等价于 N·s。

动量是矢量，方向与速度方向完全一致。两个质量相同、速度大小相同但方向相反的物体，动量大小相等、方向相反，合动量为零。

从表中可以看出，汽车的动量远大于子弹，这正是汽车难以快速制动的原因；而火车的动量极大，一旦运动起来所需的制动距离相当可观。

动量计算中最容易出错的地方在于符号。一维问题中必须规定正方向，向右运动取正，向左运动取负。一个质量 $m = 2$ kg 的物体，速度从 $v_1 = +6$ m/s（向右）变为 $v_2 = -4$ m/s（向左），动量变化为：

$\Delta p = mv_2 - mv_1 = 2\times(-4) - 2\times6 = -8 - 12 = -20\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

负号表示动量变化的方向向左，即物体受到了向左的合力作用。

冲量与动量定理

力作用于物体并持续一段时间，会改变物体的动量。力与作用时间的乘积称为冲量：

$I = F \cdot t$

冲量 $I$ 的单位是 N·s，方向与力的方向相同。

由牛顿第二定律 $F = ma = m\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$，两边同乘以时间 $\Delta t$：

$F\Delta t = m\Delta v = mv_2 - mv_1$

这就是动量定理：合外力在某段时间内的冲量，等于物体在这段时间内的动量变化量：

$I = \Delta p = p_2 - p_1$

动量定理揭示了一个重要规律：要改变相同的动量，力大则时间短，力小则时间长。这正是缓冲设计的物理依据。

表中数据清楚地表明：安全气囊将碰撞时间从约 0.02 s 延长至 0.15 s，力峰值降低约 7 倍，大幅减轻了对人体的伤害。

例题：质量 $m = 0.5$ kg 的球以 $v_0 = 10$ m/s 的速度水平飞来，被球棒击打后以 $v = 15$ m/s 的速度沿原路返回。若击打时间 $t = 0.02$ s，求球棒对球的冲量和平均作用力。

取飞来方向为正，则 $v_0 = +10$ m/s，$v = -15$ m/s，动量变化为：

$\Delta p = m v - m v_0 = 0.5\times(-15) - 0.5\times10 = -7.5 - 5.0 = -12.5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

冲量 $I = \Delta p = -12.5$ N·s，方向与球返回方向相同（即向左）。

平均作用力：

$F = \frac{|I|}{t} = \frac{12.5}{0.02} = 625 \text{ N}$

动量守恒定律

当一个系统所受的合外力为零时，系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。对于由两个物体组成的系统，碰撞或相互作用前后，满足：

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$

其中 $v_1$、$v_2$ 是作用前的速度，$v_1'$、 是作用后的速度，均为矢量（需带正负号）。

动量守恒成立的核心条件是系统合外力为零。实际问题中，若相互作用时间极短（如碰撞、爆炸），内力远大于外力，也可近似认为动量守恒。

例题：质量 $M = 3$ kg 的小车静止在光滑地面上，质量 $m = 1$ kg 的人站在车上，随后以相对地面 $v_人 = 4$ m/s 的速度向右跳离，求小车的反冲速度。

系统初始静止，总动量为零。设小车速度为 $V$（向右为正）：

$m v_人 + M V = 0$

$1 \times 4 + 3 \times V = 0 \implies V = -\frac{4}{3} \approx -1.33 \text{ m/s}$

小车以约 1.33 m/s 的速度向左运动。这正是反冲运动的原理——火箭向后喷出燃气，本身获得向前的动量，与此完全相同。

例题：质量 $m_1 = 4$ kg 的滑块以 $v_1 = 6$ m/s 向右运动，追上前方质量 $m_2 = 2$ kg、以 m/s 同向运动的滑块，碰后 速度变为 3 m/s，求碰后 的速度。

由动量守恒（向右为正）：

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$

$4\times6 + 2\times2 = 4\times3 + 2 v_2'$

$24 + 4 = 12 + 2 v_2' \implies v_2' = 8 \text{ m/s（向右）}$

弹性碰撞与非弹性碰撞

碰撞是动量守恒最典型的应用场景。根据碰撞过程中动能是否守恒，分为弹性碰撞和非弹性碰撞两类。

• 弹性碰撞中，碰撞前后动能总量不变，无能量损失。理想弹性碰撞在宏观世界中比较少见，气体分子间的碰撞、钢球在硬质表面的弹跳可以近似看作弹性碰撞。

• 非弹性碰撞中，碰撞过程有动能转化为内能（热、声、形变等），动能总量减少。完全非弹性碰撞是非弹性碰撞的极端情况，两物体碰后合为一体共同运动，动能损失最大。

完全非弹性碰撞的计算只需用动量守恒，设碰后共同速度为 $v'$：

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v'$

$v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

例题：质量 $m_1 = 2$ kg 的滑块以 $v_1 = 6$ m/s 向右运动，与质量 $m_2 = 4$ kg 的静止滑块在光滑地面上发生完全非弹性碰撞，求碰后共同速度及动能损失。

碰后速度：

$v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 \times 0}{m_1 + m_2} = \frac{2\times6}{2+4} = \frac{12}{6} = 2 \text{ m/s（向右）}$

碰前总动能：

$E_{k0} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2}\times2\times6^2 = 36 \text{ J}$

碰后总动能：

$E_k' = \frac{1}{2}(m_1+m_2)v'^2 = \frac{1}{2}\times6\times2^2 = 12 \text{ J}$

动能损失：$\Delta E_k = 36 - 12 = 24$ J，这部分能量以热、声等形式散失。

弹性碰撞中，当两物体质量相等（$m_1 = m_2$）时，存在一个简洁的结论：两者恰好交换速度，即 $v_1' = v_2$，。台球桌上正碰时，运动球碰静止球后恰好停下，静止球以原速度运动，即为此规律的体现。

练习题

1. 质量 $m = 0.2$ kg 的橡皮球，以 $v_0 = 5$ m/s 的速度水平飞向墙壁，垂直撞墙后以 $v = 3$ m/s 的速度弹回，则球的动量变化大小为（　　）

A．0.4 kg·m/s　　B．1.0 kg·m/s　　C．1.6 kg·m/s　　D．2.0 kg·m/s

2. 跳远运动员落入沙坑时会弯曲膝盖，身体随之下沉，这样做的目的是（　　）

A．增大动量的变化量，从而减小冲击力

B．减小动量的变化量，从而减小冲击力

C．增加与沙坑接触的时间，从而减小平均冲击力

D．减少与沙坑接触的时间，从而减小平均冲击力

3. 在光滑水平面上，质量 $m_1 = 3$ kg 的物体以 $v_1 = 4$ m/s 向右运动，质量 $m_2 = 2$ kg 的物体以 m/s 向左运动，两者碰撞后 速度变为 1 m/s 向右，则 碰后的速度为（　　）

A．3 m/s 向右　　B．1.5 m/s 向左　　C．4.5 m/s 向右　　D．1.5 m/s 向右

4. 关于弹性碰撞与完全非弹性碰撞，下列说法正确的是（　　）

A．两种碰撞中动量均不守恒，只有动能守恒

B．弹性碰撞中动量守恒且动能守恒，完全非弹性碰撞中动量不守恒

C．两种碰撞中动量均守恒，但弹性碰撞动能守恒，完全非弹性碰撞动能损失最大

D．完全非弹性碰撞中动能损失最小，弹性碰撞中动能损失最大

5．（计算题） 在光滑水平面上，质量 $m_1 = 5$ kg 的物体以 $v_1 = 6$ m/s 向右运动，与质量 $m_2 = 3$ kg、以 m/s 向左运动的物体相撞，碰后 的速度变为 m/s 向右。

（1）求碰后 $m_2$ 的速度大小和方向；

（2）判断此次碰撞是否为弹性碰撞，并求碰撞中损失的动能。

6．（计算题） 一门炮车静止在水平地面上，炮管水平。炮弹质量 $m = 5$ kg，以速度 $v = 400$ m/s 水平射出，炮车（含炮身）质量 $M = 500$ kg，$g = 10$ m/s²。

（1）求炮车的反冲速度；

（2）若炮车与地面之间的动摩擦因数 $\mu = 0.4$，炮车在反冲后能滑行多远才停下？

动量变化的大小为 $|\Delta p| = 1.6$ kg·m/s，方向为弹回方向（背离墙壁）。注意：动量变化不是 $mv - mv_0$ 绝对值相减，而必须考虑方向后再作差。

由动量守恒：

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$

$3\times4 + 2\times(-3) = 3\times1 + 2 v_2'$

$12 - 6 = 3 + 2 v_2' \implies 2 v_2' = 3 \implies v_2' = 1.5 \text{ m/s（向右）}$

$m_2$ 碰后以 1.5 m/s 的速度向右运动，说明两物体碰后均向右运动，符合动量守恒的逻辑（碰前系统总动量为 $12 - 6 = 6$ kg·m/s，向右）。

由动量守恒：

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$

$5\times6 + 3\times(-2) = 5\times1 + 3 v_2'$

$30 - 6 = 5 + 3 v_2' \implies 3 v_2' = 19 \implies v_2' \approx 6.33 \text{ m/s（向右）}$

（2）判断是否为弹性碰撞

碰前总动能：

$E_{k0} = \frac{1}{2}\times5\times6^2 + \frac{1}{2}\times3\times2^2 = 90 + 6 = 96 \text{ J}$

碰后总动能：

$E_k' = \frac{1}{2}\times5\times1^2 + \frac{1}{2}\times3\times\left(\frac{19}{3}\right)^2 = 2.5 + \frac{1}{2}\times3\times\frac{361}{9} = 2.5 + \frac{361}{6} \approx 2.5 + 60.2 = 62.7 \text{ J}$

碰后动能小于碰前，故此次碰撞为非弹性碰撞。

动能损失：$\Delta E_k = 96 - 62.7 \approx 33.3$ J

（1）碰后 $m_2$ 的速度约为 6.33 m/s，方向向右；（2）碰撞为非弹性碰撞，损失动能约为 33.3 J。

炮车以 4 m/s 的速度向后（与炮弹相反方向）反冲。

（2）炮车滑行距离

地面对炮车的摩擦力大小：

$f = \mu M g = 0.4\times500\times10 = 2000 \text{ N}$

炮车做匀减速运动，加速度大小：

$a = \frac{f}{M} = \frac{2000}{500} = 4 \text{ m/s}^2$

由运动学公式 $v^2 = v_0^2 - 2as$，炮车停下时 $v = 0$：

$0 = 4^2 - 2\times4\times s \implies s = \frac{16}{8} = 2 \text{ m}$

（1）炮车反冲速度为 4 m/s，方向与炮弹相反；（2）炮车滑行 2 m 后停下。