稳恒磁场

磁场是自然界中最基本的物理场之一。指南针能够指向北方，电动机能够旋转做功，带电粒子在宇宙射线中发生偏转，这些现象背后都有磁场的作用。稳恒磁场由恒定电流产生，场的分布不随时间改变。从这一章开始，我们将系统地研究磁场的来源、分布规律以及它对电流和运动电荷的力的作用。

磁感应强度与洛伦兹力

描述磁场强弱和方向的物理量是磁感应强度 $\vec{B}$，单位是特斯拉（$\text{T}$）。磁场的存在通过它对运动电荷的作用力来体现——这个力就是洛伦兹力。

洛伦兹力公式

一个电荷量为 $q$、以速度 $\vec{v}$ 运动的带电粒子，在磁场 $\vec{B}$ 中受到的洛伦兹力为：

$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$

力的大小为：

$F = qvB\sin\theta$

其中 $\theta$ 是速度 $\vec{v}$ 与磁场 $\vec{B}$ 之间的夹角。当速度垂直于磁场时，，洛伦兹力取最大值 ；当速度平行于磁场时，，洛伦兹力为零。

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

当带电粒子以速度 $v$ 垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力持续提供向心力，粒子做匀速圆周运动：

$qvB = \frac{mv^2}{r}$

由此解出回旋半径：

$r = \frac{mv}{qB}$

例1：质子在磁场中的偏转

质子质量 $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$，电荷量 $q = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$，以速度 垂直射入 的匀强磁场中：

$r = \frac{m_p v}{qB} = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.5} \approx 0.063\ \text{m}$

质子的回旋半径约为 $6.3\ \text{cm}$。回旋加速器正是利用这一原理，通过磁场约束粒子轨道，交变电场反复加速，使粒子最终达到很高的能量。

安培力：通电导线在磁场中受力

载流导线在磁场中受到的力称为安培力，它是导线中大量运动电荷所受洛伦兹力的合力。对于长度为 $L$、通有电流 $I$ 的直导线：

$\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}$

大小为：

$F = BIL\sin\theta$

例2：电动机中的安培力

一段长 $L = 0.2\ \text{m}$ 的通电导线，电流 $I = 5\ \text{A}$，置于 $B = 0.3\ \text{T}$ 的匀强磁场中，导线与磁场垂直：

$F = BIL = 0.3 \times 5 \times 0.2 = 0.3\ \text{N}$

电动机中的线圈通电后，线圈两侧的导线受到方向相反的安培力，形成力矩，推动转子持续旋转，将电能转化为机械能。

毕奥-萨伐尔定律

电流是磁场的来源。1820年，毕奥和萨伐尔通过大量实验总结出：电流元 $Id\vec{l}$ 在空间某点产生的磁场元为：

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{Id\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}$

其中 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T{\cdot}m/A}$ 是真空磁导率，$\hat{r}$ 是从电流元指向场点的单位矢量， 是两者之间的距离。对整条导线积分，即可得到任意形状载流导线产生的总磁场。

无限长直导线的磁场

对无限长直导线沿全程积分，在距导线垂直距离为 $d$ 处，磁场大小为：

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$

磁场方向由右手定则确定：右手大拇指指向电流方向，四指自然弯曲的方向即为磁场的环绕方向，磁场线是以导线为轴的同心圆族。

例3：两平行导线之间的作用力

两根平行导线相距 $d = 0.1\ \text{m}$，分别通有同向电流 $I_1 = 3\ \text{A}$、$I_2 = 4\ \text{A}$。导线1在导线2所在位置产生的磁场：

$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{2\pi \times 0.1} = 6 \times 10^{-6}\ \text{T}$

每米导线2受到的安培力为：

$\frac{F}{L} = I_2 B_1 = 4 \times 6 \times 10^{-6} = 2.4 \times 10^{-5}\ \text{N/m}$

同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。国际单位制中，安培的定义正是基于这一原理：在真空中相距 $1\ \text{m}$、每米受力恰好为 $2 \times 10^{-7}\ \text{N}$ 时，导线中的电流为 $1\ \text{A}$。

圆形电流在圆心处的磁场

半径为 $R$、通有电流 $I$ 的圆形线圈，由于线圈上每个电流元到圆心等距且垂直，对毕奥-萨伐尔定律积分后，圆心处的磁场为：

$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$

方向垂直于线圈平面，由右手定则确定。

例4：圆形线圈的磁场计算

一个半径 $R = 5\ \text{cm} = 0.05\ \text{m}$、通有电流 $I = 2\ \text{A}$ 的单匝圆形线圈，圆心处磁感应强度为：

$B = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 0.05} \approx 2.51 \times 10^{-5}\ \text{T}$

将两个相同的圆形线圈同轴排列、间距等于半径，构成亥姆霍兹线圈，两线圈之间的轴线区域磁场高度均匀，是物理实验中产生均匀磁场的常用装置。

安培定律及其应用

毕奥-萨伐尔定律适用于任意形状的导线，但对于具有高度对称性的电流分布，安培定律（安培环路定理）更为简洁。

安培环路定理

磁感应强度 $\vec{B}$ 沿任意闭合路径 $L$ 的线积分，等于穿过该路径所围曲面的电流代数和乘以 $\mu_0$：

$\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}$

电流方向的正负由右手定则确定：右手四指沿积分路径方向弯曲，大拇指所指为电流正方向。

无限长螺线管内部的磁场

螺线管是最重要的产生均匀磁场的装置。设单位长度匝数为 $n$，通有电流 $I$，沿轴向取矩形安培路径，一侧在管内（长度 $l$），另一侧在管外（磁场近似为零），穿过路径的电流为 $nIl$：

$Bl + 0 = \mu_0 nIl$

$B = \mu_0 nI$

例5：螺线管的磁场计算

一根螺线管长 $0.5\ \text{m}$，共绕 $1000$ 匝，通有电流 $I = 2\ \text{A}$。单位长度匝数 $n = 1000 / 0.5 = 2000\ \text{匝/m}$，管内磁场：

$B = \mu_0 nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 2 \approx 5.03 \times 10^{-3}\ \text{T}$

螺线管的磁场只与 $n$ 和 $I$ 有关，与螺线管的截面大小、材料无关（真空中），这使得它成为标准均匀磁场的理想来源。

螺绕环内部的磁场

螺绕环将导线均匀绕在圆环形铁芯上，共 $N$ 匝，通电流 $I$。取通过环内部、半径为 $r$ 的圆形安培路径，穿过的总电流为 $NI$：

$B \cdot 2\pi r = \mu_0 NI$

$B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}$

螺绕环将磁场完全封闭在环内，外部磁场几乎为零，因此常用于变压器、电感器等对磁场隔离有严格要求的器件中。

例6：螺绕环的磁场计算

一个螺绕环中心半径 $r = 0.1\ \text{m}$，共绕 $500$ 匝，通有电流 $I = 0.4\ \text{A}$，环内磁场：

$B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 500 \times 0.4}{2\pi \times 0.1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200}{2\pi \times 0.1} = 4 \times 10^{-4}\ \text{T}$

磁偶极子与物质的磁性

现实中的磁铁和磁性材料，其磁性来源于微观层面的电流环路。理解磁偶极子的概念，是从宏观到微观理解磁性的关键一步。

磁偶极矩

一个面积为 $S$、通有电流 $I$ 的小电流环，其磁偶极矩（简称磁矩）定义为：

$\vec{m} = I\vec{S}$

方向由右手定则确定，垂直于电流环平面，大小 $m = IS$，单位为 $\mathrm{A \cdot m^2}$。

在外磁场 $\vec{B}$ 中，磁偶极子受到的力矩为：

$\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$

这个力矩使磁偶极子趋向于与外场方向一致，这正是指南针能够指向北方的物理原因——地磁场对指南针的磁偶极矩施加力矩，使其转至与地磁场平行的方向。

原子中电子的轨道运动等效为一个环形电流，其轨道磁矩是原子磁性的来源之一。电子自旋也产生内禀磁矩，称为自旋磁矩，其基本单位是玻尔磁子 $\mu_\mathrm{B} = 9.274 \times 10^{-24}\ \mathrm{A \cdot m^2}$。

物质磁性的分类

根据物质在外磁场中的磁化行为，可以将材料分为三大类：

铁磁性与磁畴

铁磁性材料在微观上存在称为磁畴的小区域，每个磁畴内部的大量原子磁矩整齐平行排列，形成一个强磁化的小区域。在未被外场磁化时，各磁畴取向杂乱，宏观磁矩相互抵消，合力为零。施加外磁场后，取向接近外场方向的磁畴扩展壮大，其他方向的磁畴缩小，宏观上出现强烈磁化。

铁磁性材料还具有磁滞特性：磁化过程不可逆，外磁场撤去后仍保留一定剩余磁化强度（剩磁）。硬磁材料（如钕铁硼）剩磁强、矫顽力大，适合制造永磁体；软磁材料（如硅钢片）矫顽力小、易于去磁，适合制造变压器铁芯。

练习题

选择题

第1题　一个带正电的粒子以速度 $v$ 进入匀强磁场，速度方向与磁场方向成 $30^{\circ}$ 角，磁感应强度大小为 $B$，粒子所受洛伦兹力的大小为（　　）

A. $qvB$

B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}qvB$

C. $\dfrac{1}{2}qvB$

D. 零

第2题　在真空中，一根无限长直导线通有电流 $I$，距导线 $r$ 处磁感应强度为 $B_0$。若将电流增大为 $2I$，同时将该处与导线的距离增大为 $2r$，则此处磁感应强度变为（　　）

A. $4B_0$

B. $2B_0$

C. $B_0$

D. $\dfrac{B_0}{2}$

第3题　一根无限长螺线管，单位长度匝数为 $n$，通有电流 $I$，内部磁感应强度为 $B$。若将匝数密度增大为 $2n$，电流减小为 $\dfrac{I}{2}$，则管内磁场变为（　　）

A. $4B$

B. $2B$

C. $B$

D. $\dfrac{B}{2}$

第4题　关于铁磁性材料，下列说法正确的是（　　）

A. 铁磁性材料的相对磁导率 $\mu_r$ 是固定常数，不随外磁场变化

B. 温度超过居里温度后，铁磁性材料将变为抗磁性材料

C. 铁磁性材料中存在磁畴，每个磁畴内部的原子磁矩方向整齐排列

D. 铁磁性材料被磁化后，撤去外磁场，剩余磁化强度一定为零

计算题

第5题　一个半径 $R = 0.1\,\text{m}$ 的圆形线圈，共 $N = 100$ 匝，通有电流 $I = 0.5\,\text{A}$，求圆心处的磁感应强度。

第6题　两根无限长平行直导线相距 $d = 0.04\,\text{m}$，分别通有同向电流 $I_1 = 10\,\text{A}$ 和 $I_2 = 6\,\text{A}$。（1）在两导线之间，求合磁场为零的位置（距导线1的距离 ）；（2）求每米长度上两导线之间安培力的大小，并判断是引力还是斥力。

知识点： 洛伦兹力公式 $F = qvB\sin\theta$，其中 $\theta$ 是速度与磁场的夹角，$\sin 30^\circ = 0.5$。

选 C。

知识点： $B$ 与 $I$ 成正比，与 $r$ 成反比，两者按相同比例变化时 $B$ 的值不变。

选 C。

知识点： 螺线管公式 $B = \mu_0 nI$，匝数密度与电流的乘积不变则磁场不变。

$B = N \cdot B_1 = \frac{\mu_0 N I}{2R}$

代入数值：

$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100 \times 0.5}{2 \times 0.1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 50}{0.2} = \pi \times 10^{-4}\ \text{T}$

$\boxed{B \approx 3.14 \times 10^{-4}\ \text{T} = 0.314\,\text{mT}}$

知识点： 圆形电流在圆心处的磁场公式 $B = \mu_0 I / (2R)$，多匝线圈磁场的叠加（方向相同时直接乘以匝数）。

$\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d - x)}$

$\frac{10}{x} = \frac{6}{0.04 - x}$

$10(0.04 - x) = 6x \implies 0.4 = 16x$

$\boxed{x = 0.025\,\text{m} = 2.5\,\text{cm}}$

磁场为零的位置在距导线1 $2.5\,\text{cm}$ 处，距导线2 $1.5\,\text{cm}$ 处（位于两导线之间）。

（2）求安培力：

导线1在导线2处产生的磁场：

$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.04} = 5 \times 10^{-5}\,\text{T}$

每米导线2受到的安培力：

$\frac{F}{L} = I_2 B_1 = 6 \times 5 \times 10^{-5} = \boxed{3 \times 10^{-4}\,\text{N/m}}$

由于两导线通有同向电流，互相吸引。

知识点： 无限长直导线的磁场公式，磁场叠加原理求零磁场点，平行导线间安培力的计算，同向电流相互吸引、反向电流相互排斥。