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上一节稳恒电流与基尔霍夫定律下一节电磁感应
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物理高级物理二稳恒磁场

稳恒磁场

磁场是自然界中最基本的物理场之一。指南针能够指向北方，电动机能够旋转做功，带电粒子在宇宙射线中发生偏转，这些现象背后都有磁场的作用。稳恒磁场由恒定电流产生，场的分布不随时间改变。从这一章开始，我们将系统地研究磁场的来源、分布规律以及它对电流和运动电荷的力的作用。

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磁感应强度与洛伦兹力

描述磁场强弱和方向的物理量是磁感应强度 B⃗\vec{B}B，单位是特斯拉（T\text{T}T）。磁场的存在通过它对运动电荷的作用力来体现——这个力就是洛伦兹力。

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洛伦兹力公式

一个电荷量为 qqq、以速度 v⃗\vec{v}v 运动的带电粒子，在磁场 B⃗\vec{B}B 中受到的洛伦兹力为：

F⃗=qv⃗×B⃗\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}F=qv×B

力的大小为：

F=qvBsin⁡θF = qvB\sin\thetaF=qvBsinθ

其中 θ\thetaθ 是速度 v⃗\vec{v}v 与磁场 B⃗\vec{B}B 之间的夹角。当速度垂直于磁场时，θ=90°\theta = 90°θ=90°，洛伦兹力取最大值 F=qvBF = qvBF=qvB；当速度平行于磁场时，θ=0°\theta = 0°θ=0°，洛伦兹力为零。

洛伦兹力始终垂直于速度方向，因此对带电粒子不做功，只改变运动方向，不改变速率和动能。这是洛伦兹力与电场力最本质的区别。

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

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当带电粒子以速度 vvv 垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力持续提供向心力，粒子做匀速圆周运动：

qvB=mv2rqvB = \frac{mv^2}{r}qvB=rmv2​

由此解出回旋半径：

r=mvqBr = \frac{mv}{qB}r=qBmv​

例1：质子在磁场中的偏转

质子质量 mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}mp​=1.67×10−27 kg，电荷量 q=1.6×10−19 Cq = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}q=1.6×10−19 C，以速度 v=3×106 m/sv = 3 \times 10^6\ \text{m/s}v=3×106 m/s 垂直射入 B=0.5 TB = 0.5\ \text{T}B=0.5 T 的匀强磁场中：

r=mpvqB=1.67×10−27×3×1061.6×10−19×0.5≈0.063 mr = \frac{m_p v}{qB} = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.5} \approx 0.063\ \text{m}r=qBmp​v​=1.6×10−19×0.51.67×10−27×3×106​≈0.063 m

质子的回旋半径约为 6.3 cm6.3\ \text{cm}6.3 cm。回旋加速器正是利用这一原理，通过磁场约束粒子轨道，交变电场反复加速，使粒子最终达到很高的能量。

安培力：通电导线在磁场中受力

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载流导线在磁场中受到的力称为安培力，它是导线中大量运动电荷所受洛伦兹力的合力。对于长度为 LLL、通有电流 III 的直导线：

F⃗=IL⃗×B⃗\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}F=IL×B

大小为：

F=BILsin⁡θF = BIL\sin\thetaF=BILsinθ

例2：电动机中的安培力

一段长 L=0.2 mL = 0.2\ \text{m}L=0.2 m 的通电导线，电流 I=5 AI = 5\ \text{A}I=5 A，置于 B=0.3 TB = 0.3\ \text{T}B=0.3 T 的匀强磁场中，导线与磁场垂直：

F=BIL=0.3×5×0.2=0.3 NF = BIL = 0.3 \times 5 \times 0.2 = 0.3\ \text{N}F=BIL=0.3×5×0.2=0.3 N

电动机中的线圈通电后，线圈两侧的导线受到方向相反的安培力，形成力矩，推动转子持续旋转，将电能转化为机械能。

毕奥-萨伐尔定律

电流是磁场的来源。1820年，毕奥和萨伐尔通过大量实验总结出：电流元 Idl⃗Id\vec{l}Idl 在空间某点产生的磁场元为：

dB⃗=μ04π⋅Idl⃗×r^r2d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{Id\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}dB=4πμ0​​⋅r2Idl×r^​

其中 μ0=4π×10−7 T⋅m/A\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T{\cdot}m/A}μ0​=4π×10−7 T⋅m/A 是真空磁导率，r^\hat{r}r^ 是从电流元指向场点的单位矢量，rrr 是两者之间的距离。对整条导线积分，即可得到任意形状载流导线产生的总磁场。

毕奥-萨伐尔定律在磁场中的地位相当于库仑定律在电场中的地位——它是计算任意电流分布产生磁场的基本出发点，适用于任何形状的导线，不需要借助对称性。

无限长直导线的磁场

对无限长直导线沿全程积分，在距导线垂直距离为 ddd 处，磁场大小为：

B=μ0I2πdB = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}B=2πdμ0​I​

磁场方向由右手定则确定：右手大拇指指向电流方向，四指自然弯曲的方向即为磁场的环绕方向，磁场线是以导线为轴的同心圆族。

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例3：两平行导线之间的作用力

两根平行导线相距 d=0.1 md = 0.1\ \text{m}d=0.1 m，分别通有同向电流 I1=3 AI_1 = 3\ \text{A}I1​=3 A、I2=4 AI_2 = 4\ \text{A}I2​=4 A。导线1在导线2所在位置产生的磁场：

B1=μ0I12πd=4π×10−7×32π×0.1=6×10−6 TB_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{2\pi \times 0.1} = 6 \times 10^{-6}\ \text{T}B1​=2πdμ0​I1​​=2π×0.14π×10−7×3​=6×10−6 T

每米导线2受到的安培力为：

FL=I2B1=4×6×10−6=2.4×10−5 N/m\frac{F}{L} = I_2 B_1 = 4 \times 6 \times 10^{-6} = 2.4 \times 10^{-5}\ \text{N/m}LF​=I2​B1​=4×6×10−6=2.4×10−5 N/m

同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。国际单位制中，安培的定义正是基于这一原理：在真空中相距 1 m1\ \text{m}1 m、每米受力恰好为 2×10−7 N2 \times 10^{-7}\ \text{N}2×10−7 N 时，导线中的电流为 1 A1\ \text{A}1 A。

圆形电流在圆心处的磁场

半径为 RRR、通有电流 III 的圆形线圈，由于线圈上每个电流元到圆心等距且垂直，对毕奥-萨伐尔定律积分后，圆心处的磁场为：

B=μ0I2RB = \frac{\mu_0 I}{2R}B=2Rμ0​I​

方向垂直于线圈平面，由右手定则确定。

例4：圆形线圈的磁场计算

一个半径 R=5 cm=0.05 mR = 5\ \text{cm} = 0.05\ \text{m}R=5 cm=0.05 m、通有电流 I=2 AI = 2\ \text{A}I=2 A 的单匝圆形线圈，圆心处磁感应强度为：

B=μ0I2R=4π×10−7×22×0.05≈2.51×10−5 TB = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 0.05} \approx 2.51 \times 10^{-5}\ \text{T}B=2Rμ0​I​=2×0.054π×10−7×2​≈2.51×10−5 T

将两个相同的圆形线圈同轴排列、间距等于半径，构成亥姆霍兹线圈，两线圈之间的轴线区域磁场高度均匀，是物理实验中产生均匀磁场的常用装置。

安培定律及其应用

毕奥-萨伐尔定律适用于任意形状的导线，但对于具有高度对称性的电流分布，安培定律（安培环路定理）更为简洁。

安培环路定理

磁感应强度 B⃗\vec{B}B 沿任意闭合路径 LLL 的线积分，等于穿过该路径所围曲面的电流代数和乘以 μ0\mu_0μ0​：

∮LB⃗⋅dl⃗=μ0∑I内\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}∮L​B⋅dl=μ0​∑I内​

电流方向的正负由右手定则确定：右手四指沿积分路径方向弯曲，大拇指所指为电流正方向。

∑I内\sum I_{\text{内}}∑I内​ 是穿过积分路径所围曲面的净电流，路径外的电流虽然对各处的 B⃗\vec{B}B 有贡献，但对线积分的总值没有影响——它们的贡献在绕一圈后相互抵消。

无限长螺线管内部的磁场

螺线管是最重要的产生均匀磁场的装置。设单位长度匝数为 nnn，通有电流 III，沿轴向取矩形安培路径，一侧在管内（长度 lll），另一侧在管外（磁场近似为零），穿过路径的电流为 nIlnIlnIl：

Bl+0=μ0nIlBl + 0 = \mu_0 nIlBl+0=μ0​nIl

B=μ0nIB = \mu_0 nIB=μ0​nI

例5：螺线管的磁场计算

一根螺线管长 0.5 m0.5\ \text{m}0.5 m，共绕 100010001000 匝，通有电流 I=2 AI = 2\ \text{A}I=2 A。单位长度匝数 n=1000/0.5=2000 匝/mn = 1000 / 0.5 = 2000\ \text{匝/m}n=1000/0.5=2000 匝/m，管内磁场：

B=μ0nI=4π×10−7×2000×2≈5.03×10−3 TB = \mu_0 nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 2 \approx 5.03 \times 10^{-3}\ \text{T}B=μ0​nI=4π×10−7×2000×2≈5.03×10−3 T

螺线管的磁场只与 nnn 和 III 有关，与螺线管的截面大小、材料无关（真空中），这使得它成为标准均匀磁场的理想来源。

螺绕环内部的磁场

螺绕环将导线均匀绕在圆环形铁芯上，共 NNN 匝，通电流 III。取通过环内部、半径为 rrr 的圆形安培路径，穿过的总电流为 NININI：

B⋅2πr=μ0NIB \cdot 2\pi r = \mu_0 NIB⋅2πr=μ0​NI

B=μ0NI2πrB = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}B=2πrμ0​NI​

螺绕环将磁场完全封闭在环内，外部磁场几乎为零，因此常用于变压器、电感器等对磁场隔离有严格要求的器件中。

例6：螺绕环的磁场计算

一个螺绕环中心半径 r=0.1 mr = 0.1\ \text{m}r=0.1 m，共绕 500500500 匝，通有电流 I=0.4 AI = 0.4\ \text{A}I=0.4 A，环内磁场：

B=μ0NI2πr=4π×10−7×500×0.42π×0.1=4π×10−7×2002π×0.1=4×10−4 TB = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 500 \times 0.4}{2\pi \times 0.1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200}{2\pi \times 0.1} = 4 \times 10^{-4}\ \text{T}B=2πrμ0​NI​=2π×0.14π×10−7×500×0.4​=2π×0.14π×10−7×200​=4×10−4 T

磁偶极子与物质的磁性

现实中的磁铁和磁性材料，其磁性来源于微观层面的电流环路。理解磁偶极子的概念，是从宏观到微观理解磁性的关键一步。

磁偶极矩

一个面积为 SSS、通有电流 III 的小电流环，其磁偶极矩（简称磁矩）定义为：

m⃗=IS⃗\vec{m} = I\vec{S}m=IS

方向由右手定则确定，垂直于电流环平面，大小 m=ISm = ISm=IS，单位为 A⋅m2\mathrm{A \cdot m^2}A⋅m2。

在外磁场 B⃗\vec{B}B 中，磁偶极子受到的力矩为：

τ⃗=m⃗×B⃗\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}τ=m×B

这个力矩使磁偶极子趋向于与外场方向一致，这正是指南针能够指向北方的物理原因——地磁场对指南针的磁偶极矩施加力矩，使其转至与地磁场平行的方向。

原子中电子的轨道运动等效为一个环形电流，其轨道磁矩是原子磁性的来源之一。电子自旋也产生内禀磁矩，称为自旋磁矩，其基本单位是玻尔磁子 μB=9.274×10−24 A⋅m2\mu_\mathrm{B} = 9.274 \times 10^{-24}\ \mathrm{A \cdot m^2}μB​=9.274×10−24 A⋅m2。

物质磁性的分类

根据物质在外磁场中的磁化行为，可以将材料分为三大类：

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铁磁性与磁畴

铁磁性材料在微观上存在称为磁畴的小区域，每个磁畴内部的大量原子磁矩整齐平行排列，形成一个强磁化的小区域。在未被外场磁化时，各磁畴取向杂乱，宏观磁矩相互抵消，合力为零。施加外磁场后，取向接近外场方向的磁畴扩展壮大，其他方向的磁畴缩小，宏观上出现强烈磁化。

铁磁性材料存在一个临界温度——居里温度。超过此温度后，热运动破坏磁畴的有序结构，铁磁性转变为顺磁性。铁的居里温度约为 770 °C770\ °\text{C}770 °C，镍约为 358 °C358\ °\text{C}358 °C，钴约为 1115 °C1115\ °\text{C}1115 °C。永磁体在高温下会退磁，原因即在于此。

铁磁性材料还具有磁滞特性：磁化过程不可逆，外磁场撤去后仍保留一定剩余磁化强度（剩磁）。硬磁材料（如钕铁硼）剩磁强、矫顽力大，适合制造永磁体；软磁材料（如硅钢片）矫顽力小、易于去磁，适合制造变压器铁芯。

练习题

选择题

第1题　一个带正电的粒子以速度 vvv 进入匀强磁场，速度方向与磁场方向成 30∘30^{\circ}30∘ 角，磁感应强度大小为 BBB，粒子所受洛伦兹力的大小为（　　）

A. qvBqvBqvB

B. 32qvB\dfrac{\sqrt{3}}{2}qvB23​​qvB

C. 12qvB\dfrac{1}{2}qvB21​qvB

D. 零

答案：C

洛伦兹力 F=qvBsin⁡θ=qvBsin⁡30∘=12qvBF = qvB\sin\theta = qvB\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}qvBF=qvBsinθ=qvBsin30∘=21​qvB，选 C。

知识点： 洛伦兹力公式 F=qvBsin⁡θF = qvB\sin\thetaF=qvBsinθ，其中 θ\thetaθ 是速度与磁场的夹角，sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5sin30∘=0.5。

第2题　在真空中，一根无限长直导线通有电流 III，距导线 rrr 处磁感应强度为 B0B_0B0​。若将电流增大为 2I2I2I，同时将该处与导线的距离增大为 2r2r2r，则此处磁感应强度变为（　　）

A. 4B04B_04B0​

B. 2B02B_02B0​

C. B0B_0B0​

D. B02\dfrac{B_0}{2}2B0​​

答案：C

无限长直导线磁场 B=μ0I2πrB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}B=2πrμ0​I​。变化后：

B′=μ0⋅2I2π⋅2r=μ0I2πr=B0B' = \frac{\mu_0 \cdot 2I}{2\pi \cdot 2r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = B_0B′=2π⋅2rμ0​⋅2I​=2πrμ0​I​=B0​

选 C。

知识点： BBB 与 III 成正比，与 rrr 成反比，两者按相同比例变化时 BBB 的值不变。

第3题　一根无限长螺线管，单位长度匝数为 nnn，通有电流 III，内部磁感应强度为 BBB。若将匝数密度增大为 2n2n2n，电流减小为 I2\dfrac{I}{2}2I​，则管内磁场变为（　　）

A. 4B4B4B

B. 2B2B2B

C. BBB

D. B2\dfrac{B}{2}2B​

答案：C

螺线管内部磁场 B=μ0nIB = \mu_0 nIB=μ0​nI。变化后：

B′=μ0⋅2n⋅I2=μ0nI=BB' = \mu_0 \cdot 2n \cdot \frac{I}{2} = \mu_0 nI = BB′=μ0​⋅2n⋅2I​=μ0​nI=B

选 C。

知识点： 螺线管公式 B=μ0nIB = \mu_0 nIB=μ0​nI，匝数密度与电流的乘积不变则磁场不变。

第4题　关于铁磁性材料，下列说法正确的是（　　）

A. 铁磁性材料的相对磁导率 μr\mu_rμr​ 是固定常数，不随外磁场变化

B. 温度超过居里温度后，铁磁性材料将变为抗磁性材料

C. 铁磁性材料中存在磁畴，每个磁畴内部的原子磁矩方向整齐排列

D. 铁磁性材料被磁化后，撤去外磁场，剩余磁化强度一定为零

答案：C

A 错误，铁磁性材料的 μr\mu_rμr​ 随外磁场变化，表现为磁滞曲线；B 错误，超过居里温度变为顺磁性，而非抗磁性；C 正确，磁畴内部磁矩整齐排列是铁磁性的微观本质；D 错误，铁磁性材料存在剩磁，这正是制造永磁体的基础。

知识点： 铁磁性材料的磁畴结构、居里温度与磁滞现象。

计算题

第5题　一个半径 R=0.1 mR = 0.1\,\text{m}R=0.1m 的圆形线圈，共 N=100N = 100N=100 匝，通有电流 I=0.5 AI = 0.5\,\text{A}I=0.5A，求圆心处的磁感应强度。

解题过程：

单匝圆形线圈在圆心处的磁场：

B1=μ0I2RB_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}B1​=2Rμ0​I​

NNN 匝线圈产生的磁场方向相同，叠加后总磁场：

B=N⋅B1=μ0NI2RB = N \cdot B_1 = \frac{\mu_0 N I}{2R}B=N⋅B1​=2Rμ0​NI​

代入数值：

B=4π×10−7×100×0.52×0.1=4π×10−7×500.2=π×10−4 TB = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100 \times 0.5}{2 \times 0.1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 50}{0.2} = \pi \times 10^{-4}\ \text{T}B=2×0.14π×10−7×100×0.5​=0.24π×10−7×50​=π×10−4 T

B≈3.14×10−4 T=0.314 mT\boxed{B \approx 3.14 \times 10^{-4}\ \text{T} = 0.314\,\text{mT}}B≈3.14×10−4 T=0.314mT​

知识点： 圆形电流在圆心处的磁场公式 B=μ0I/(2R)B = \mu_0 I / (2R)B=μ0​I/(2R)，多匝线圈磁场的叠加（方向相同时直接乘以匝数）。

第6题　两根无限长平行直导线相距 d=0.04 md = 0.04\,\text{m}d=0.04m，分别通有同向电流 I1=10 AI_1 = 10\,\text{A}I1​=10A 和 I2=6 AI_2 = 6\,\text{A}I2​=6A。（1）在两导线之间，求合磁场为零的位置（距导线1的距离 xxx）；（2）求每米长度上两导线之间安培力的大小，并判断是引力还是斥力。

（1）求磁场为零的位置：

在两导线之间，I1I_1I1​ 和 I2I_2I2​ 产生的磁场方向相反（同向电流，在中间区域磁场反向）。设磁场为零处距导线1的距离为 xxx，则距导线2为 (d−x)(d - x)(d−x)，令两导线产生的磁场大小相等：

μ0I12πx=μ0I22π(d−x)\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d - x)}2πxμ0​I1​​=2π(d−x)μ0​I2​​

10x=60.04−x\frac{10}{x} = \frac{6}{0.04 - x}x10​=0.04−x6​

10(0.04−x)=6x  ⟹  0.4=16x10(0.04 - x) = 6x \implies 0.4 = 16x10(0.04−x)=6x⟹0.4=16x

x=0.025 m=2.5 cm\boxed{x = 0.025\,\text{m} = 2.5\,\text{cm}}x=0.025m=2.5cm​

磁场为零的位置在距导线1 2.5 cm2.5\,\text{cm}2.5cm 处，距导线2 1.5 cm1.5\,\text{cm}1.5cm 处（位于两导线之间）。

（2）求安培力：

导线1在导线2处产生的磁场：

B1=μ0I12πd=4π×10−7×102π×0.04=5×10−5 TB_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.04} = 5 \times 10^{-5}\,\text{T}B1​=2πdμ0​I1​​=2π×0.044π×10−7×10​=5×10−5T

每米导线2受到的安培力：

FL=I2B1=6×5×10−5=3×10−4 N/m\frac{F}{L} = I_2 B_1 = 6 \times 5 \times 10^{-5} = \boxed{3 \times 10^{-4}\,\text{N/m}}LF​=I2​B1​=6×5×10−5=3×10−4N/m​

由于两导线通有同向电流，互相吸引。

知识点： 无限长直导线的磁场公式，磁场叠加原理求零磁场点，平行导线间安培力的计算，同向电流相互吸引、反向电流相互排斥。

  • 磁感应强度与洛伦兹力
    • 洛伦兹力公式
    • 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
    • 安培力：通电导线在磁场中受力
  • 毕奥-萨伐尔定律
    • 无限长直导线的磁场
    • 圆形电流在圆心处的磁场
  • 安培定律及其应用
    • 安培环路定理
    • 无限长螺线管内部的磁场
    • 螺绕环内部的磁场
  • 磁偶极子与物质的磁性
    • 磁偶极矩
    • 物质磁性的分类
    • 铁磁性与磁畴
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题

目录

  • 磁感应强度与洛伦兹力
    • 洛伦兹力公式
    • 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
    • 安培力：通电导线在磁场中受力
  • 毕奥-萨伐尔定律
    • 无限长直导线的磁场
    • 圆形电流在圆心处的磁场
  • 安培定律及其应用
    • 安培环路定理
    • 无限长螺线管内部的磁场
    • 螺绕环内部的磁场
  • 磁偶极子与物质的磁性
    • 磁偶极矩
    • 物质磁性的分类
    • 铁磁性与磁畴
  • 练习题
    • 选择题
    • 计算题