电磁感应

电和磁之间存在着深刻的内在联系。奥斯特发现电流能够产生磁场之后，科学家们开始追问另一个方向：磁场能否反过来产生电？1831年，法拉第通过反复实验给出了肯定的答案，并归纳出了电磁感应的核心规律。这一发现直接催生了发电机的诞生，开启了人类大规模利用电能的时代。

磁通量

要理解电磁感应，首先要掌握“磁通量”这个物理量。磁通量描述的是穿过某一平面的磁场的“总量”。对于匀强磁场，磁感应强度为 $B$，所研究的平面面积为 $S$，磁场方向与该平面法线方向的夹角为 $\theta$，则磁通量定义为：

$\Phi = BS\cos\theta$

磁通量的单位是韦伯，符号为 $\text{Wb}$，$1\,\text{Wb} = 1\,\text{T} \cdot \text{m}^2$。

当磁场方向垂直穿过平面时，$\theta = 0°$，磁通量取得最大值 $\Phi = BS$；当磁场方向与平面平行时，$\theta = 90°$，磁通量为零。

磁通量可以为正，也可以为负，正负取决于磁场方向与所选法线方向的关系。判断感应电动势大小的关键，不是磁通量本身的大小，而是磁通量的变化量 $\Delta\Phi$。

法拉第电磁感应定律

法拉第通过大量实验总结出：当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中就会产生感应电动势，感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比：

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$

负号的含义来自楞次定律（下一节详述），表明感应电动势总是阻碍磁通量的变化。在处理匀变化的情形时，常用平均感应电动势：

$\bar{\varepsilon} = \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = \frac{|\Phi_2 - \Phi_1|}{\Delta t}$

若线圈有 $N$ 匝，每匝的磁通量变化相同，则总感应电动势为：

$\varepsilon = N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$

例1： 一个单匝线圈，面积 $S = 0.1\,\text{m}^2$，穿过它的匀强磁场在 $0.5\,\text{s}$ 内从 $B_1 = 0.2\,\text{T}$ 均匀增大到 ，磁场始终垂直穿过线圈平面，求平均感应电动势。

$\Delta\Phi = (B_2 - B_1) \cdot S = (0.6 - 0.2) \times 0.1 = 0.04\,\text{Wb}$

$\bar{\varepsilon} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{0.04}{0.5} = 0.08\,\text{V}$

例2： 导体棒在匀强磁场中切割磁力线。如图所示，导体棒以速度 $v$ 在间距为 $L$ 的两条平行导轨上匀速滑动，匀强磁场 $B$ 垂直导轨平面向上。在时间 $\Delta t$ 内，导体棒扫过的面积为 $\Delta S = Lv\Delta t$，磁通量变化量 $\Delta\Phi = BLv\Delta t$，因此：

$\varepsilon = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = BLv$

这个公式说明，导体棒切割磁力线产生的感应电动势与磁感应强度、棒的有效长度和运动速度均成正比。

楞次定律

法拉第定律给出了感应电动势的大小，而感应电流的方向则由楞次定律来判断。楞次定律的内容是：感应电流产生的磁场，总是阻碍引起感应电流的那个磁通量的变化。

楞次定律是能量守恒定律在电磁感应中的直接体现：感应电流产生的安培力总是阻碍导体的运动，因此外力必须克服安培力做功，这部分功才转化为电能。

例3（靠近磁铁）： 一个线圈正对一块磁铁的 N 极。将磁铁迅速向线圈靠近时，穿过线圈向右的磁通量增大，由楞次定律，感应电流的磁场方向应向左（与原磁场相反），根据右手定则，从正面看感应电流沿逆时针方向。线圈朝向磁铁的一面表现为 N 极，对磁铁产生排斥力，阻碍磁铁靠近。

例4（远离磁铁）： 将同一块磁铁从线圈中拔出时，穿过线圈向右的磁通量减小，感应磁场方向应向右（与原磁场相同），从正面看感应电流沿顺时针方向。线圈朝向磁铁的一面表现为 S 极，吸引磁铁，阻碍磁铁离开。

自感现象

当一个线圈中的电流发生变化时，线圈本身的磁通量也随之变化，从而在线圈自身中产生感应电动势，这种现象称为自感，产生的感应电动势称为自感电动势。根据楞次定律，自感电动势总是阻碍线圈中电流的变化：

$\varepsilon_L = L\frac{|\Delta I|}{\Delta t}$

其中 $L$ 称为自感系数，简称电感，单位是亨利，符号为 $\text{H}$。电感 $L$ 的大小只由线圈本身的结构决定，与通过的电流大小无关。

自感现象在实验室中有两个经典的演示效果，可以直观感受到自感“阻碍电流变化”的特性：

• 断路时的自感： 在含有大电感线圈的直流电路中，断开开关的瞬间，电流迅速减小，自感电动势方向与原电流方向相同，试图维持原来的电流。这个感应电动势可能远大于电源电压，在开关触点之间产生明显的电弧。

• 通路时的自感： 接通电源的瞬间，电流从零开始增大，自感电动势阻碍电流增大，使得含电感支路的灯泡比纯电阻支路的灯泡明显延迟点亮，好像电感在“拖住”电流上升。

互感现象

两个相邻的线圈，当其中一个线圈（称为初级线圈）的电流发生变化时，其产生的变化磁场穿过另一个线圈（称为次级线圈），从而在次级线圈中产生感应电动势，这种现象称为互感。互感电动势的大小为：

$\varepsilon_M = M\frac{|\Delta I_1|}{\Delta t}$

$M$ 称为互感系数，单位同样是亨利（$\text{H}$）。$M$ 的大小由两线圈的几何形状、相对位置和周围介质共同决定。两线圈靠得越近、铁芯导磁性越好，$M$ 就越大。

变压器是互感现象最重要的工程应用。变压器的核心是两组绕在同一铁芯上的线圈，初级线圈接交流电源，次级线圈向负载供电。理想变压器中，初、次级线圈的匝数比决定了电压比：

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}$

由于理想变压器不消耗功率，初、次级的功率相等，因此电流比与匝数比呈反比关系：

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}$

例5： 一台理想变压器，初级线圈匝数 $N_1 = 1000$ 匝，接 $220\,\text{V}$ 交流电，要求次级输出 $22\,\text{V}$，求次级线圈匝数及当负载为 $44\,\Omega$ 时的初级电流。

次级匝数：

$N_2 = N_1 \times \frac{U_2}{U_1} = 1000 \times \frac{22}{220} = 100 \text{ 匝}$

次级电流：$I_2 = U_2 / R = 22 / 44 = 0.5\,\text{A}$

初级电流：$I_1 = I_2 \times N_2 / N_1 = 0.5 \times 100 / 1000 = 0.05\,\text{A}$

交流发电机与正弦交流电

交流发电机是将机械能转化为电能的核心装置，其工作原理正是电磁感应。一个矩形线圈在匀强磁场中以角速度 $\omega$ 匀速转动，线圈平面的法线方向与磁场方向的夹角随时间变化，磁通量按余弦规律变化：

$\Phi = BS\cos\omega t$

对时间求导，得到线圈中的感应电动势：

$e = -\frac{d\Phi}{dt} = BS\omega\sin\omega t$

对于 $N$ 匝线圈，感应电动势为：

$e = NBS\omega\sin\omega t = E_0\sin\omega t$

其中峰值电动势 $E_0 = NBS\omega$，$\omega$ 是线圈转动的角速度。这就是正弦交流电的标准表达式。

三者之间的换算关系：

$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$

中国电网的标准频率为 $f = 50\,\text{Hz}$，对应周期 $T = 0.02\,\text{s}$，角频率 $\omega = 100\pi\,\text{rad/s}$。家用交流电有效值为 $220\,\text{V}$，对应的峰值电压为：

$U_0 = \sqrt{2} \times 220 \approx 311\,\text{V}$

例6： 一台交流发电机，线圈共 $N = 200$ 匝，每匝面积 $S = 0.05\,\text{m}^2$，在磁感应强度 $B = 0.5\,\text{T}$ 的匀强磁场中以转速 $n = 50\,\text{r/s}$ 匀速旋转，求该发电机的峰值电动势和有效值电动势。

角速度：

$\omega = 2\pi n = 2\pi \times 50 = 100\pi\,\text{rad/s}$

峰值电动势：

$E_0 = NBS\omega = 200 \times 0.5 \times 0.05 \times 100\pi = 500\pi \approx 1571\,\text{V}$

有效值电动势：

$E = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{500\pi}{\sqrt{2}} \approx 1111\,\text{V}$

练习题

选择题

1. 关于磁通量，下列说法正确的是（　　）

A. 磁感应强度越大，穿过某面积的磁通量一定越大

B. 磁通量为零，说明该处没有磁场

C. 闭合回路中磁通量发生变化，是产生感应电动势的条件

D. 磁通量的单位与磁感应强度的单位相同

2. 下列关于楞次定律的说法，正确的是（　　）

A. 感应电流产生的磁场总与原磁场方向相反

B. 感应电流产生的磁场总与原磁场方向相同

C. 感应电流总是阻碍导体的运动

D. 感应电流产生的磁场总是阻碍穿过回路磁通量的变化

3. 一线圈的自感系数为 $L$，通过它的电流在 $\Delta t$ 时间内均匀从 $I_1$ 增大到 $I_2$，则自感电动势的大小为（　　）

A. $L(I_2 - I_1)$

B. $\dfrac{L(I_2 - I_1)}{\Delta t}$

C. $\dfrac{L \cdot I_1}{\Delta t}$

D. $\dfrac{L \cdot I_2}{\Delta t}$

4. 中国家用交流电的频率为 $50\,\text{Hz}$，有效电压为 $220\,\text{V}$，其峰值电压约为（　　）

A. $220\,\text{V}$

B. $156\,\text{V}$

C. $311\,\text{V}$

D. $380\,\text{V}$

计算题

5. 一矩形线圈共 $100$ 匝，每匝面积 $S = 0.02\,\text{m}^2$，磁场方向始终垂直穿过线圈平面。匀强磁场从 $B_1 = 0.1\,\text{T}$ 在 $$ 内均匀增大到 ，求该线圈中的平均感应电动势。

6. 一台理想变压器，初级线圈匝数 $N_1 = 500$ 匝，次级线圈匝数 $N_2 = 50$ 匝，初级接 $220\,\text{V}$ 的交流电源，次级接一个阻值为 的纯电阻负载。求：（1）次级输出电压；（2）次级电路中的电流；（3）初级电路中的电流。

$100$ 匝线圈的平均感应电动势：

$\bar{\varepsilon} = N \cdot \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 100 \times \frac{0.008}{0.4} = 2\,\text{V}$

该线圈中的平均感应电动势为 $2\,\text{V}$。

（2）次级电路中，负载纯电阻 $R = 44\,\Omega$：

$I_2 = \frac{U_2}{R} = \frac{22}{44} = 0.5\,\text{A}$

（3）理想变压器输入功率等于输出功率，即 $U_1 I_1 = U_2 I_2$：

$I_1 = \frac{U_2 I_2}{U_1} = \frac{22 \times 0.5}{220} = 0.05\,\text{A}$

也可直接用电流比公式验证：$I_1 / I_2 = N_2 / N_1 = 50/500 = 0.1$，故 $I_1 = 0.1 \times 0.5 = 0.05\,\text{A}$，结果一致。