静电场与库仑定律

自然界中存在两种电荷——正电荷与负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。这一简单的规律背后，隐藏着支撑整个电磁学大厦的基础：电荷如何量化、电荷总量如何守恒、以及带电体之间的作用力究竟遵从怎样的数学规律。本章从最基本的电荷概念出发，逐步建立起静电场的完整图像。

电荷的量子化与守恒

物质由原子构成，原子由带正电的原子核和绕核运动的电子组成。电子携带的电荷量是自然界中最小的电荷单元，称为元电荷，用 $e$ 表示：

$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$

任何宏观带电体所携带的电荷量 $q$ ，都只能是 $e$ 的整数倍：

$q = ne \quad (n = \pm1, \pm2, \pm3, \ldots)$

这一性质称为电荷的量子化。“量子化”的含义是：电荷不能连续变化，只能以 $e$ 为最小单位跳跃式地取值，就像台阶只能一级一级地走，而不能停在台阶中间一样。

质子的电荷量为 $+e$ ，电子的电荷量为 $-e$ 。两者大小相等，符号相反。中子不带电， $q = 0$ 。

电荷守恒定律指出：在一个孤立系统内，正电荷总量与负电荷总量的代数和保持不变。电荷可以从一个物体转移到另一个物体，但不能凭空产生，也不能凭空消失。

下面通过三种常见起电方式，验证电荷守恒定律的普遍性：

以摩擦起电为例：玻璃棒失去若干电子带 $+q$ ，丝绸得到相同数量的电子带 $-q$ ，两者合计仍为零，电荷总量守恒。

库仑定律

1785年，法国物理学家查尔斯·库仑通过扭秤实验，精确测量了点电荷之间的作用力，总结出库仑定律：

$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}$

其中 $F$ 是两点电荷之间的静电力， $q_1$ 、 $q_2$ 是两个点电荷的电荷量， $r$ 是两者之间的距离， $k$ 是静电力常量：

$k = 9.0 \times 10^9\,\mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$

库仑定律的形式与牛顿引力定律极为相似，都与距离的平方成反比。两个质量为 $m_1$ 、 $m_2$ 的物体之间的万有引力为 $F = Gm_1m_2/r^2$ ，而两个点电荷之间的静电力与之形式完全对应。

库仑定律只适用于点电荷之间，即电荷的几何尺寸远小于两者距离的情形。对于有限大小的带电体，需要将其视作无数点电荷的集合，分别计算后再叠加。

力的方向： $q_1 q_2 > 0$ （同号电荷）时，静电力为斥力； $q_1 q_2 < 0$ （异号电荷）时，静电力为引力。力的方向始终沿两点电荷的连线。

通过几个具体数值，感受库仑定律中各参数的影响：

可以看出：距离减半，力变为原来的4倍；电荷量加倍，力变为原来的2倍。这正是“与距离平方成反比、与电荷量乘积成正比”的体现。

例题1　两个点电荷 $q_1 = +2 \times 10^{-6}\,\text{C}$ ， $q_2 = -3 \times 10^{-6}\,\text{C}$ ，相距 $r = 0.3\,\text{m}$ 。求两者之间的静电力大小。

$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2\times10^{-6} \times 3\times10^{-6}}{(0.3)^2}$

$F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{6\times10^{-12}}{0.09} = 0.6\,\text{N}$

由于两电荷异号，这是一个大小为 $0.6\,\text{N}$ 的引力。

电场强度

静电力是“超距作用”还是通过某种媒介传递？现代物理学的答案是：电荷 $q_1$ 在其周围空间产生电场，电场对置入其中的电荷 $q_2$ 施加作用力。电场是真实存在的物质形态，不依赖试探电荷的存在而消失。

为了描述电场中各点的强弱与方向，引入电场强度（简称场强） $\boldsymbol{E}$ 。将一个电荷量为 $q_0$ 的正试探电荷置于电场中某点，测得该点对它的静电力为 $\boldsymbol{F}$ ，则该点的电场强度定义为：

$\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q_0}$

$\boldsymbol{E}$ 的方向与正试探电荷所受静电力的方向相同；大小 $E = F/q_0$ ，单位为 N/C（牛顿每库仑），等价于 V/m（伏特每米）。

电场强度 $E$ 是描述电场本身性质的物理量，与试探电荷 $q_0$ 的大小无关。无论 $q_0$ 取何值， $F/q_0$ 的比值始终相同。

叠加原理：当空间中存在多个点电荷时，某点的合场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和：

$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_1 + \boldsymbol{E}_2 + \boldsymbol{E}_3 + \cdots$

例题2　在同一直线上，点 $A$ 处有 $q_1 = +1 \times 10^{-8}\,\text{C}$ ，点 $B$ 处有 $q_2 = -1 \times 10^{-8}\,\text{C}$ ， $AB = 0.2\,\text{m}$ 。求 $AB$ 中点 $P$ 处的合场强大小与方向。

$P$ 距 $q_1$ 和 $q_2$ 均为 $r = 0.1\,\text{m}$ 。

$E_1 = k\frac{|q_1|}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = 9000\,\text{N/C}，\text{方向由 }A\text{ 指向 }B$

$E_2 = k\frac{|q_2|}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = 9000\,\text{N/C}，\text{方向由 }P\text{ 指向 }B$

$q_1$ 为正电荷， $P$ 点受到向 $B$ 方向的场强； $q_2$ 为负电荷， $P$ 点同样受到向 $B$ 方向的场强（电场线指向负电荷）。两者方向相同，合场强：

$E = E_1 + E_2 = 9000 + 9000 = 18000\,\text{N/C}，方向由 A 指向 B$

点电荷电场与匀强电场

点电荷产生的电场

一个电荷量为 $q$ 的点电荷，在距其 $r$ 处产生的电场强度大小为：

$E = k\frac{|q|}{r^2}$

方向：正点电荷的电场指向外（背离电荷），负点电荷的电场指向内（指向电荷）。

点电荷电场具有球对称性：以点电荷为球心，相同半径的球面上，各点场强大小相等，方向沿径向向外（或向内）。

距离越近，场强越大，且随距离平方增大而迅速减小。

例题3　一个 $q = +3 \times 10^{-9}\,\text{C}$ 的点电荷，求距其 $r = 0.3\,\text{m}$ 处的电场强度大小。

$E = k\frac{q}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{3\times10^{-9}}{(0.3)^2} = 9\times10^9 \times \frac{3\times10^{-9}}{0.09} = 300\,\text{N/C}$

方向沿径向向外（远离正电荷）。

匀强电场

在某些特殊结构中，电场在一定区域内处处方向相同、大小相等，这种电场称为匀强电场。最典型的例子是两块平行金属板之间的电场：当两板间距远小于板的面积时，两板之间（除边缘外）的电场近似为匀强电场。

匀强电场的电场线是一组平行且等间距的直线，这也是匀强电场最直观的几何特征。与点电荷电场的辐射状分布相比，匀强电场的形态更规整，也更便于计算。

点电荷电场与匀强电场的主要特征对比：

例题4　在匀强电场中，一个电荷量 $q = 2 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的正电荷受到静电力 $F = 6 \times 10^{-3}\,\text{N}$ 。求该匀强电场的场强大小。

$E = \frac{F}{q} = \frac{6\times10^{-3}}{2\times10^{-6}} = 3000\,\text{N/C}$

例题5　已知匀强电场场强 $E = 500\,\text{N/C}$ ，将一个电荷量 $q = 4 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的负电荷放入该电场。求其所受静电力的大小与方向。

$F = qE = 4\times10^{-6} \times 500 = 2\times10^{-3}\,\text{N}$

由于是负电荷，受力方向与电场方向相反。

电场线不代表带电粒子的运动轨迹。电场线描述的是电场的分布，粒子的实际运动轨迹由初速度和合力共同决定。带正电荷的粒子静止释放时，运动方向与电场线重合；但若有初速度，轨迹将偏离电场线。

练习题

选择题

1．关于元电荷，下列说法正确的是（　）

A. 元电荷是电子
B. 元电荷是质子
C. 元电荷是自然界中最小的带电单元， $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$
D. 质量越小的粒子，其电荷量越接近元电荷

2．两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 相距 $r$ ，之间的静电力为 $F$ 。保持 $q_1$ 不变，将 $q_2$ 增大为原来的3倍，距离缩短为原来的 $1/2$ ，则新的静电力为（　）

A. $6F$
B. $9F$
C. $12F$
D. $18F$

3．在真空中，点 $O$ 处有一个正点电荷 $Q$ ，在距 $O$ 为 $r$ 的 $A$ 点放置试探电荷 $q_0$ ，测得 $A$ 点的场强为 $E$ 。若将 $q_0$ 撤去，则 $A$ 点的场强为（　）

A. $0$
B. $E$
C. $2E$
D. 无法确定

4．下列关于匀强电场的描述，正确的是（　）

A. 匀强电场中各点的电场线密度不同
B. 匀强电场只能由无限大带电平板产生，实际中不存在
C. 在匀强电场中，不同位置的电场强度大小和方向完全相同
D. 匀强电场中放入正电荷后，电场将不再匀强

计算题

5．在真空中，三个点电荷沿一条直线排列： $q_1 = +4 \times 10^{-8}\,\text{C}$ 位于 $x = 0$ 处， $q_2 = -4 \times 10^{-8}\,\text{C}$ 位于 $x = 0.4\,\text{m}$ 处。求 $x = 0.2\,\text{m}$ 处（即两电荷中点 $P$ ）的合场强大小与方向。

解题过程：

$P$ 点距 $q_1$ 的距离 $r_1 = 0.2\,\text{m}$ ，距 $q_2$ 的距离 $r_2 = 0.2\,\text{m}$ 。

$q_1$ 在 $P$ 点产生的场强：

$E_1 = k\frac{|q_1|}{r_1^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{(0.2)^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{0.04} = 9000\,\text{N/C}$

$q_1$ 为正电荷，方向沿 $x$ 轴正方向（由 $q_1$ 指向 $P$ ，即向右）。

$q_2$ 在 $P$ 点产生的场强：

$E_2 = k\frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{(0.2)^2} = 9000\,\text{N/C}$

$q_2$ 为负电荷， $P$ 点处场强方向指向 $q_2$ ，即沿 $x$ 轴正方向（向右）。

两场强方向相同，合场强：

$E = E_1 + E_2 = 9000 + 9000 = 18000\,\text{N/C}$

方向：沿 $x$ 轴正方向（由 $q_1$ 指向 $q_2$ ）。

6．两块平行金属板水平放置，板间距 $d = 0.05\,\text{m}$ ，板间存在匀强电场，场强方向竖直向上，大小 $E = 1.0 \times 10^4\,\text{N/C}$ 。将一个质量 $m = 2 \times 10^{-2}\,\text{kg}$ 、带电量 $q = 1 \times 10^{-5}\,\text{C}$ 的正电荷小球置于两板之间，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$ 。

（1）求小球受到的重力与静电力大小；
（2）分析小球的受力状态，判断其是否处于平衡状态。

解题过程：

(1) 重力：

$G = mg = 2\times10^{-2} \times 10 = 0.2\,\text{N}，方向竖直向下$

静电力：

$F = qE = 1\times10^{-5} \times 1.0\times10^4 = 0.1\,\text{N}，方向竖直向上（正电荷与场强方向相同）$

(2) 受力分析：

重力 $G = 0.2\,\text{N}$ ，方向向下；静电力 $F = 0.1\,\text{N}$ ，方向向上。两力方向相反，大小不等：

$\text{合力} = G - F = 0.2 - 0.1 = 0.1\,\text{N}，方向向下$

合力不为零，小球不处于平衡状态，会在合力作用下向下加速运动，加速度为：

$a = \frac{G - F}{m} = \frac{0.1}{2\times10^{-2}} = 5\,\text{m/s}^2，方向竖直向下$

静电场与库仑定律

电荷的量子化与守恒

物质由原子构成，原子由带正电的原子核和绕核运动的电子组成。电子携带的电荷量是自然界中最小的电荷单元，称为元电荷，用 $e$ 表示：

$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$

任何宏观带电体所携带的电荷量 $q$ ，都只能是 $e$ 的整数倍：

$q = ne \quad (n = \pm1, \pm2, \pm3, \ldots)$

质子的电荷量为 $+e$ ，电子的电荷量为 $-e$ 。两者大小相等，符号相反。中子不带电， $q = 0$ 。

下面通过三种常见起电方式，验证电荷守恒定律的普遍性：

以摩擦起电为例：玻璃棒失去若干电子带 $+q$ ，丝绸得到相同数量的电子带 $-q$ ，两者合计仍为零，电荷总量守恒。

库仑定律

1785年，法国物理学家查尔斯·库仑通过扭秤实验，精确测量了点电荷之间的作用力，总结出库仑定律：

$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}$

其中 $F$ 是两点电荷之间的静电力， $q_1$ 、 $q_2$ 是两个点电荷的电荷量， $r$ 是两者之间的距离， $k$ 是静电力常量：

$k = 9.0 \times 10^9\,\mathrm{N \cdot m^2 / C^2}$

力的方向： $q_1 q_2 > 0$ （同号电荷）时，静电力为斥力； $q_1 q_2 < 0$ （异号电荷）时，静电力为引力。力的方向始终沿两点电荷的连线。

通过几个具体数值，感受库仑定律中各参数的影响：

可以看出：距离减半，力变为原来的4倍；电荷量加倍，力变为原来的2倍。这正是“与距离平方成反比、与电荷量乘积成正比”的体现。

例题1　两个点电荷 $q_1 = +2 \times 10^{-6}\,\text{C}$ ， $q_2 = -3 \times 10^{-6}\,\text{C}$ ，相距 $r = 0.3\,\text{m}$ 。求两者之间的静电力大小。

$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2\times10^{-6} \times 3\times10^{-6}}{(0.3)^2}$

$F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{6\times10^{-12}}{0.09} = 0.6\,\text{N}$

由于两电荷异号，这是一个大小为 $0.6\,\text{N}$ 的引力。

电场强度

$\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q_0}$

$\boldsymbol{E}$ 的方向与正试探电荷所受静电力的方向相同；大小 $E = F/q_0$ ，单位为 N/C（牛顿每库仑），等价于 V/m（伏特每米）。

电场强度 $E$ 是描述电场本身性质的物理量，与试探电荷 $q_0$ 的大小无关。无论 $q_0$ 取何值， $F/q_0$ 的比值始终相同。

叠加原理：当空间中存在多个点电荷时，某点的合场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和：

$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_1 + \boldsymbol{E}_2 + \boldsymbol{E}_3 + \cdots$

$P$ 距 $q_1$ 和 $q_2$ 均为 $r = 0.1\,\text{m}$ 。

$E_1 = k\frac{|q_1|}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = 9000\,\text{N/C}，\text{方向由 }A\text{ 指向 }B$

$E_2 = k\frac{|q_2|}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = 9000\,\text{N/C}，\text{方向由 }P\text{ 指向 }B$

$q_1$ 为正电荷， $P$ 点受到向 $B$ 方向的场强； $q_2$ 为负电荷， $P$ 点同样受到向 $B$ 方向的场强（电场线指向负电荷）。两者方向相同，合场强：

$E = E_1 + E_2 = 9000 + 9000 = 18000\,\text{N/C}，方向由 A 指向 B$

点电荷电场与匀强电场

点电荷产生的电场

一个电荷量为 $q$ 的点电荷，在距其 $r$ 处产生的电场强度大小为：

$E = k\frac{|q|}{r^2}$

方向：正点电荷的电场指向外（背离电荷），负点电荷的电场指向内（指向电荷）。

点电荷电场具有球对称性：以点电荷为球心，相同半径的球面上，各点场强大小相等，方向沿径向向外（或向内）。

距离越近，场强越大，且随距离平方增大而迅速减小。

例题3　一个 $q = +3 \times 10^{-9}\,\text{C}$ 的点电荷，求距其 $r = 0.3\,\text{m}$ 处的电场强度大小。

$E = k\frac{q}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{3\times10^{-9}}{(0.3)^2} = 9\times10^9 \times \frac{3\times10^{-9}}{0.09} = 300\,\text{N/C}$

方向沿径向向外（远离正电荷）。

匀强电场

点电荷电场与匀强电场的主要特征对比：

例题4　在匀强电场中，一个电荷量 $q = 2 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的正电荷受到静电力 $F = 6 \times 10^{-3}\,\text{N}$ 。求该匀强电场的场强大小。

$E = \frac{F}{q} = \frac{6\times10^{-3}}{2\times10^{-6}} = 3000\,\text{N/C}$

例题5　已知匀强电场场强 $E = 500\,\text{N/C}$ ，将一个电荷量 $q = 4 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的负电荷放入该电场。求其所受静电力的大小与方向。

$F = qE = 4\times10^{-6} \times 500 = 2\times10^{-3}\,\text{N}$

由于是负电荷，受力方向与电场方向相反。

练习题

选择题

1．关于元电荷，下列说法正确的是（　）

A. 元电荷是电子
B. 元电荷是质子
C. 元电荷是自然界中最小的带电单元， $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$
D. 质量越小的粒子，其电荷量越接近元电荷

2．两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 相距 $r$ ，之间的静电力为 $F$ 。保持 $q_1$ 不变，将 $q_2$ 增大为原来的3倍，距离缩短为原来的 $1/2$ ，则新的静电力为（　）

A. $6F$
B. $9F$
C. $12F$
D. $18F$

A. $0$
B. $E$
C. $2E$
D. 无法确定

4．下列关于匀强电场的描述，正确的是（　）

计算题

解题过程：

$P$ 点距 $q_1$ 的距离 $r_1 = 0.2\,\text{m}$ ，距 $q_2$ 的距离 $r_2 = 0.2\,\text{m}$ 。

$q_1$ 在 $P$ 点产生的场强：

$E_1 = k\frac{|q_1|}{r_1^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{(0.2)^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{0.04} = 9000\,\text{N/C}$

$q_1$ 为正电荷，方向沿 $x$ 轴正方向（由 $q_1$ 指向 $P$ ，即向右）。

$q_2$ 在 $P$ 点产生的场强：

$E_2 = k\frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-8}}{(0.2)^2} = 9000\,\text{N/C}$

$q_2$ 为负电荷， $P$ 点处场强方向指向 $q_2$ ，即沿 $x$ 轴正方向（向右）。

两场强方向相同，合场强：

$E = E_1 + E_2 = 9000 + 9000 = 18000\,\text{N/C}$

方向：沿 $x$ 轴正方向（由 $q_1$ 指向 $q_2$ ）。

（1）求小球受到的重力与静电力大小；
（2）分析小球的受力状态，判断其是否处于平衡状态。

解题过程：

(1) 重力：

$G = mg = 2\times10^{-2} \times 10 = 0.2\,\text{N}，方向竖直向下$

静电力：

$F = qE = 1\times10^{-5} \times 1.0\times10^4 = 0.1\,\text{N}，方向竖直向上（正电荷与场强方向相同）$

(2) 受力分析：

重力 $G = 0.2\,\text{N}$ ，方向向下；静电力 $F = 0.1\,\text{N}$ ，方向向上。两力方向相反，大小不等：

$\text{合力} = G - F = 0.2 - 0.1 = 0.1\,\text{N}，方向向下$

合力不为零，小球不处于平衡状态，会在合力作用下向下加速运动，加速度为：

$a = \frac{G - F}{m} = \frac{0.1}{2\times10^{-2}} = 5\,\text{m/s}^2，方向竖直向下$