高斯定理

电场无处不在，但描述电场的方式不止一种。上一章用库仑定律和叠加原理来计算场强，这种方法对简单的点电荷体系行之有效，但当电荷分布具有对称性时，有一种更优雅、更高效的工具——高斯定理。它把电场的整体行为和封闭曲面内的电荷总量联系起来，让原本繁琐的积分计算变得简洁明了。

电通量

要理解高斯定理，先要建立“电通量”这个概念。电通量描述的是穿过某个面的电场线数量，是衡量电场穿透能力的物理量。

对于一个面积为 $S$、法向量与匀强电场 $E$ 成 $\theta$ 角的平面，穿过该平面的电通量 $\Phi$ 定义为：

$\Phi = ES\cos\theta$

其中 $E$ 是电场强度（N/C），$S$ 是平面面积（m²），$\theta$ 是电场方向与平面法线方向的夹角。

通过改变角度 $\theta$，可以直观感受电通量的变化规律：

例题1　在场强 $E = 300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ 的匀强电场中，有一个面积 $S = 0.2\,\mathrm{m}^2$ 的矩形平面，平面法线与电场方向夹角 $\theta = 60^\circ$。求穿过该平面的电通量。

对于非均匀电场或曲面，电通量的计算需要对整个曲面进行积分。在闭合曲面上，总电通量写作：

$\Phi = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$

这里 $\oint$ 表示对整个闭合曲面的积分，$d\boldsymbol{S}$ 是曲面上的面积微元，方向规定为向外法线方向。

高斯定理

高斯定理是静电学中最重要的定理之一，它将闭合曲面上的总电通量与该曲面内部包围的总电荷量直接关联：

其中 $Q_{\text{内}}$ 是闭合曲面内所有电荷的代数和，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数：

注意到 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$，因此 $\varepsilon_0$ 与库仑常数 之间的换算关系为：

高斯定理的物理含义可以这样理解：穿出闭合曲面的净电场线数，完全由内部的电荷总量决定，与电荷在内部的分布方式、高斯面的形状、以及面外电荷的存在无关。

例题2　一个半径 $R = 0.1\,\mathrm{m}$ 的球形高斯面，其内部包围一个电荷 $Q = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$。求该闭合面上的总电通量。

解：
由高斯定理，闭合曲面上的总电通量为

将数据代入，

总电通量只取决于高斯面包围的电荷总量，与球的半径 $R$ 无关。只要内部电荷为 $2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$，哪怕高斯面形状或大小任意，通量都恒为 $226\,\mathrm{N\,m}^2/\mathrm{C}$。

用高斯定理求电场

高斯定理真正发挥威力的地方，在于对具有高度对称性的带电体求解电场分布。以下三种典型情形是最常用的应用。

均匀带电球面的电场

设一个半径为 $R$ 的球面均匀带有总电荷量 $Q$（$Q > 0$）。

球面外部（$r > R$）： 选取半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。由球对称性，球面上每点的 $E$ 大小相等，方向沿径向向外，与面积元方向一致（$\theta = 0°$）：

$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

解出：

$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = k\frac{Q}{r^2} \quad (r > R)$

这与点电荷产生的电场公式完全一致。从外部看，均匀带电球面与集中在球心的点电荷等效。

球面内部（$r < R$）： 选取半径为 $r < R$ 的同心球面作为高斯面。该高斯面内部没有任何电荷，$Q_{\text{内}} = 0$：

$E \cdot 4\pi r^2 = 0 \implies E = 0 \quad (r < R)$

带电球面内部电场处处为零。

例题3　一个半径 $R = 0.1\,\text{m}$ 的均匀带电球面，总电荷量 $Q = 4 \times 10^{-9}\,\text{C}$。分别求距球心 $r_1 = 0.05\,\text{m}$（球内）和 （球外）处的电场强度。

球内：$E_1 = 0$（内部无电荷，高斯面内 $Q_{\text{内}} = 0$）

球外：

$E_2 = k\frac{Q}{r_2^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-9}}{(0.2)^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-9}}{0.04} = 900\,\text{N/C}$

无限长均匀带电直线的电场

设一根无限长直线均匀带电，单位长度的电荷量（线电荷密度）为 $\lambda$（C/m）。

由柱对称性，电场方向沿径向向外（$\lambda > 0$），场强大小只与到直线的距离 $r$ 有关。选取以直线为轴、半径为 $r$、高度为 $h$ 的同轴圆柱面作为高斯面：

• 侧面上：$\boldsymbol{E}$ 与 $d\boldsymbol{S}$ 平行，$E$ 为常数，贡献通量 $E \cdot 2\pi r h$
• 上下底面：$\boldsymbol{E}$ 与 $d\mathit{S}$ 垂直（），通量为零

高斯面内包围的电荷量 $Q_{\text{内}} = \lambda h$，代入高斯定理：

$E \cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0}$

$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$

无限长直线的电场强度与距离 $r$ 成反比（$E \propto 1/r$），而点电荷的电场强度与 $r^2$ 成反比（$E \propto 1/r^2$），两者衰减速度不同。

无限大均匀带电平面的电场

设一块无限大平面均匀带电，单位面积的电荷量（面电荷密度）为 $\sigma$（C/m²）。

由平面对称性，电场方向垂直于平面向外，场强大小与到平面的距离无关。选取一个垂直于平面、两端面积均为 $S$ 的圆柱形高斯面：

• 两端面：$\boldsymbol{E}$ 与 $d\boldsymbol{S}$ 平行，各贡献通量 $ES$
• 侧面：$\boldsymbol{E}$ 与 $d\boldsymbol{S}$ 垂直，通量为零

高斯面内电荷量 $Q_{\text{内}} = \sigma S$，代入高斯定理：

$2ES = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

三种对称带电体的电场分布汇总对比：

导体内部电场为零

处于静电平衡状态的导体，内部电场处处为零。所谓静电平衡，是指导体内自由电子不再发生宏观定向移动的状态。

证明思路： 在导体内部取任意一个闭合高斯面。若导体内部存在电场 $E \neq 0$，则自由电子会在电场力作用下移动，这与“静电平衡”的假设矛盾。因此达到平衡后，内部 $E = 0$。

由高斯定理，由于导体内部 $E = 0$，对任意内部高斯面：

$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = 0 \implies Q_{\text{内}} = 0$

这说明：导体内部没有净余电荷，所有多余电荷只能分布在导体的外表面上。

导体静电平衡时，各部分性质汇总：

例题4　一个实心导体球，半径 $R = 0.05\,\text{m}$，带有总电荷量 $Q = 5 \times 10^{-9}\,\text{C}$，处于静电平衡状态。求：（1）球内任意一点的电场强度；（2）球面处的电场强度大小。

（1）导体内部处于静电平衡，$E_{\text{内}} = 0$。

（2）球面处的电场强度，等价于均匀带电球面外部紧邻表面的场强。利用高斯定理，选取半径刚好等于 $R$ 的高斯球面：

$E = k\frac{Q}{R^2} = 9\times10^9 \times \frac{5\times10^{-9}}{(0.05)^2} = 9\times10^9 \times \frac{5\times10^{-9}}{2.5\times10^{-3}} = 18000\,\text{N/C}$

方向垂直球面向外（正电荷）。

例题5　一个内外半径分别为 $r_1 = 0.05\,\text{m}$、$r_2 = 0.10\,\text{m}$ 的导体球壳，内部空腔中央放置一个点电荷 $q=+3\times {10}^{}$。求：内壁感应电荷量和外壁电荷量。

在导体壳体内部（$r_1 < r < r_2$）作高斯面，由于导体内 $E = 0$：

$\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = 0 \implies Q_{\text{内}} = 0$

高斯面内包含了腔内点电荷 $+q$ 和内壁感应电荷 $Q_{\text{内壁}}$，因此：

$q + Q_{\text{内壁}} = 0 \implies Q_{\text{内壁}} = -q = -3\times10^{-9}\,\text{C}$

由电荷守恒，球壳总电荷为零（原本不带电），外壁电荷：

$Q_{\text{外壁}} = -Q_{\text{内壁}} = +3\times10^{-9}\,\text{C}$

这 $+3\times10^{-9}\,\text{C}$ 均匀分布在外球面上，对外产生与点电荷 $+q$ 完全相同的电场。

练习题

选择题

1． 关于高斯定理 $\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = Q_{\text{内}}/\varepsilon_0$，下列说法正确的是（　）

A. 高斯面上各点的电场强度只由面内电荷决定，与面外电荷无关

B. 若高斯面上总电通量为零，则面内一定没有电荷

C. 若高斯面上总电通量为零，则面内电荷的代数和为零，但可以存在正负电荷

D. 高斯面必须是球面才能使用高斯定理

2． 一个均匀带正电的球面，总电荷量为 $Q$，半径为 $R$。在距球心 $r = R/2$ 处（即球面内部）的电场强度为（　）

A. $kQ/R^2$

B. $4kQ/R^2$

C. $kQ/(R/2)^2$

D. $0$

3． 两块平行无限大导体平板，面电荷密度分别为 $+\sigma$ 和 $-\sigma$。两板之间的电场强度大小为（　）

A. $\sigma/\varepsilon_0$

B. $\sigma/(2\varepsilon_0)$

C. $2\sigma/\varepsilon_0$

D. $\sigma/(4\varepsilon_0)$

4． 处于静电平衡的导体，下列关于电荷分布的说法正确的是（　）

A. 电荷均匀分布在整个导体体积内

B. 电荷只能分布在导体外表面，内部没有净余电荷

C. 导体尖端处的电荷面密度最小

D. 导体内部也可以有电荷，只要合力为零

计算题

5． 一根无限长直导线均匀带电，线电荷密度 $\lambda = 2 \times 10^{-8}\;\mathrm{C/m}$，真空介电常数 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\;\mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2)$。

（1）选取合适的高斯面，利用高斯定理推导距导线 $r$ 处的电场强度公式；

（2）求距导线 $r = 0.1\,\mathrm{m}$ 处的电场强度大小。

6． 一个原来不带电的导体球壳，内半径 $r_1 = 0.06\,\text{m}$，外半径 $r_2 = 0.10\,\text{m}$。在其内腔中央放置一个点电荷 $q=-4\times {10}^{}$。

（1）求导体内壁和外壁上的感应电荷量；

（2）求距球心 $r = 0.20\,\text{m}$ 处（球壳外部）的电场强度大小与方向；

（3）若将球壳接地后再断开接地，外壁电荷量变为多少？

选 A。

（上下底面：$\boldsymbol{E}$ 与法线垂直，通量为零）

高斯面内的电荷量：

$Q_{\text{内}} = \lambda h$

代入高斯定理：

$E \cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0}$

$\boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}$

(2) 代入数值计算：

$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \frac{2\times10^{-8}}{2\pi \times 8.85\times10^{-12} \times 0.1}$

$E = \frac{2\times10^{-8}}{5.565\times10^{-12}} \approx 3594\,\text{N/C} \approx 3.6\times10^3\,\text{N/C}$

方向沿径向向外（远离导线）。

$q + Q_{\text{内壁}} = 0 \implies Q_{\text{内壁}} = -q = +4\times10^{-9}\,\text{C}$

球壳原本不带电，总电荷量为零，由电荷守恒：

$Q_{\text{内壁}} + Q_{\text{外壁}} = 0 \implies Q_{\text{外壁}} = -Q_{\text{内壁}} = -4\times10^{-9}\,\text{C}$

(2) 球壳外部 $r = 0.20\,\text{m}$ 处的电场：

对球壳外部取半径 $r = 0.20\,\text{m}$ 的高斯球面，面内总电荷为：

$Q_{\text{内}} = q + Q_{\text{内壁}} + Q_{\text{外壁}} = -4\times10^{-9} + 4\times10^{-9} + (-4\times10^{-9}) = -4\times10^{-9}\,\text{C}$

由高斯定理：

$E = k\frac{|Q_{\text{内}}|}{r^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-9}}{(0.20)^2} = 9\times10^9 \times \frac{4\times10^{-9}}{0.04} = 900\,\text{N/C}$

由于面内净电荷为负，电场方向沿径向向内（指向球心）。

(3) 接地后断开：

接地时，大地提供或吸收电荷，使球壳总电势为零。接地的效果是：外壁电荷经大地流走，外壁电荷量变为 $0$。断开接地后，外壁电荷量维持为 $0$，内壁仍保留 $+4\times10^{-9}\,\text{C}$（由腔内点电荷感应决定，不受接地影响）。

$Q_{\text{外壁（接地后）}} = 0$