麦克斯韦方程组

19世纪中叶，英国物理学家麦克斯韦在系统整理前人成果的基础上，引入了“位移电流”的概念，将电场与磁场的规律统一成一组优美的方程。这四个方程不仅揭示了电场与磁场的内在联系，还预言了电磁波的存在，并从理论上推导出了光速。从此，电、磁、光三者被统一在同一理论框架之下，这是物理学史上最伟大的综合成就之一。

位移电流的引入

安培定律告诉我们，稳恒电流能在周围产生磁场。然而，当电路中含有电容器时，导线中的电流在极板处“中断”了——两块极板之间没有自由电荷移动，也就没有传导电流。这带来了一个矛盾：围绕同一根导线选取不同形状的安培环路截面，计算出的磁场结果竟然不同，这显然是不合理的。

麦克斯韦的解决方案

麦克斯韦注意到，电容器充电时，虽然极板之间没有电荷流动，但极板间的电场 $E$ 却随时间不断增强。他大胆假设：变化的电场本身也能产生磁场，其效果等同于一种电流，并将其命名为位移电流。

位移电流的大小定义为：

$i_D = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$

其中 $\Phi_E$ 是穿过截面的电通量，$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$ 是真空介电常数。

示例一：一个平行板电容器，极板面积 $S = 0.01\ \text{m}^2$，正在被充电，极板间电场以 $\dfrac{dE}{dt} = 1.0 \times 10^{12}\ \text{V}/(\text{m}\cdot\text{s})$ 的速率增大，求位移电流。

极板间电通量的变化率：

$\frac{d\Phi_E}{dt} = S \cdot \frac{dE}{dt} = 0.01 \times 1.0 \times 10^{12} = 1.0 \times 10^{10}\ \text{V}\cdot\text{m}/\text{s}$

位移电流：

$i_D = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} = 8.85 \times 10^{-12} \times 1.0 \times 10^{10} \approx 0.0885\ \text{A} \approx 88.5\ \text{mA}$

这个数值恰好等于导线中传导电流的大小，说明引入位移电流后安培定律在电容器处完全自洽，矛盾消失了。

麦克斯韦方程组

将修正后的安培定律与此前已知的三条电磁规律合并，得到了著名的麦克斯韦方程组。这四个方程以积分形式书写，简洁而完备，描述了宏观电磁场的全部规律。

四个方程及其物理含义

其中 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}$ 是真空磁导率。

这四个方程揭示了电场与磁场的深刻对称性：变化的磁场能激发电场（法拉第定律），变化的电场也能激发磁场（安培-麦克斯韦定律）。正是这种相互激发的性质，使得电磁扰动可以在真空中自持传播，形成电磁波。

示例二：一个长直螺线管，内部磁场以 $\dfrac{dB}{dt} = 100\ \text{T/s}$ 的速率均匀增大，管的截面半径 $r = 0.02\ \text{m}$。求截面边缘处的感应电场强度 $E$。

根据法拉第定律，沿半径 $r$ 的圆形路径取积分：

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E \cdot 2\pi r = \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = \frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2$

解得：

$E = \frac{r}{2} \cdot \frac{dB}{dt} = \frac{0.02}{2} \times 100 = 1\ \text{V/m}$

这个感应电场沿圆形路径分布，没有任何电荷，却能推动导体中的自由电子运动，正是变压器工作的物理基础。

电磁波的产生与传播

麦克斯韦方程组的最重要推论之一，是预言了电磁波的存在：交变的电场和磁场在空间中相互激发，形成向外传播的电磁扰动，这就是电磁波。

电场与磁场的相互激发

电磁波的传播可以理解为一种空间中的“接力”过程：

变化的电场 $\rightarrow$ 在其周围激发磁场（安培-麦克斯韦定律）

变化的磁场 $\rightarrow$ 在其周围激发电场（法拉第定律）

这个过程在空间中不断延伸，形成向外扩散的电磁波。在电磁波中，电场 $\vec{E}$ 与磁场 $\vec{B}$ 相互垂直，二者又都垂直于波的传播方向，因此电磁波是横波。电场与磁场的振荡相位相同，在传播方向上同步变化，其表达式为：

$E = E_0 \sin(kx - \omega t), \quad B = B_0 \sin(kx - \omega t)$

在任意时刻，电场与磁场峰值之比等于光速：

$\frac{E_0}{B_0} = c$

示例三：一列电磁波在真空中传播，测得某点的电场强度峰值 $E_0 = 300\ \text{V/m}$。求该点磁场强度峰值 $B_0$。

$B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{300}{3 \times 10^8} = 1.0 \times 10^{-6}\ \text{T} = 1.0\ \mu\text{T}$

可见电磁波中磁场的数值远小于电场，但二者携带的能量密度相等。

电磁波的能量

电磁波在传播过程中携带能量。单位时间内穿过单位面积的能量称为能流密度（或辐照度），其时间平均值为：

$\bar{S} = \frac{c\varepsilon_0 E_0^2}{2}$

示例四：晴天正午，太阳光在地球表面的辐照度约为 $I = 1000\ \text{W/m}^2$，估算太阳光电场的峰值 $E_0$（取 $c = 3.0 \times 10^8\ \text{m/s}$，）。

$E_0 = \sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_0}} = \sqrt{\frac{2 \times 1000}{3.0 \times 10^8 \times 8.85 \times 10^{-12}}} = \sqrt{\frac{2000}{2.655 \times 10^{-3}}} \approx \sqrt{7.53 \times 10^5} \approx 868\ \text{V/m}$

即使在自然阳光中，电场强度也高达数百伏每米。高功率激光束的辐照度可达 $10^{12}\ \text{W/m}^2$ 以上，电场峰值超过 $10^9\ \text{V/m}$，足以电离空气和损伤材料。

光速与电磁波谱

光速的理论推导

从麦克斯韦方程组出发，可以推导出电磁波在真空中的传播速度：

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$

代入数值：

$c = \frac{1}{\sqrt{4\pi \times 10^{-7} \times 8.85 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{\sqrt{1.113 \times 10^{-17}}} \approx 3.00 \times 10^8\ \text{m/s}$

这个结果与当时实验测定的光速完全吻合，使麦克斯韦得出了划时代的结论：光是一种电磁波。

电磁波谱

电磁波覆盖了从极低频到极高频的广阔范围。不同频段的电磁波本质相同，但与物质的相互作用方式差别很大，按波长（或频率）分类，形成电磁波谱：

所有电磁波在真空中的传播速度都等于光速 $c$，波长 $\lambda$、频率 $f$ 满足：

$c = \lambda f$

示例五：中国 5G 通信使用的频段之一为 $f = 3.5\ \text{GHz} = 3.5 \times 10^9\ \text{Hz}$，计算该电磁波的波长。

$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.0 \times 10^8}{3.5 \times 10^9} \approx 0.086\ \text{m} \approx 8.6\ \text{cm}$

波长约 $8.6\ \text{cm}$，属于微波范围。微波穿透障碍物的能力远弱于低频无线电波，这也是为什么 5G 基站需要密集布置的原因。

示例六：医用 X 射线设备的典型光子能量为 $E_{ph} = 50\ \text{keV}$，利用 $E_{ph} = hf$（$$）求其频率和波长（取 ）。

$E_{ph} = 50 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} = 8.0 \times 10^{-15}\ \text{J}$

$f = \frac{E_{ph}}{h} = \frac{8.0 \times 10^{-15}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 1.21 \times 10^{19}\ \text{Hz}$

$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.21 \times 10^{19}} \approx 2.5 \times 10^{-11}\ \text{m} = 0.025\ \text{nm}$

波长约 $0.025\ \text{nm}$，远小于原子直径（约 $0.1\ \text{nm}$），因此 X 射线能穿透人体软组织，却被骨骼（密度较大）吸收，从而形成影像对比。

练习题

选择题

1. 麦克斯韦在安培定律中引入位移电流的根本原因是（　　）

A. 磁场的变化能产生电场，因此电场的变化也应能产生磁场

B. 电容器充放电时，极板间无传导电流，原安培定律对不同截面给出矛盾结果

C. 为了解释光是一种横波

D. 为了将电场的高斯定律与磁场的高斯定律统一

2. 在真空中传播的电磁波，下列说法正确的是（　　）

A. 电磁波是纵波，振动方向与传播方向平行

B. 电场 $\vec{E}$ 与磁场 $\vec{B}$ 相互垂直，且二者都垂直于传播方向

C. 电磁波只能在介质中传播，无法在真空中传播

D. 电场振荡超前磁场振荡 $90°$

3. 关于光速公式 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$，下列说法正确的是（　　）

A. 光速随光源运动速度的增大而增大

B. 光在任何介质中的速度都等于 $3 \times 10^8\ \text{m/s}$

C. 光速由真空的固有属性决定，与光源的运动状态无关

D. 电场越强，电磁波传播越快

4. 下列各类电磁波中，频率最高、波长最短的是（　　）

A. 无线电波

B. 红外线

C. 可见光

D. $\gamma$ 射线

计算题

5. 一个平行板电容器，极板面积 $S = 4.0 \times 10^{-2}\ \text{m}^2$，正在充电，测得极板间电场强度的变化率为 $\dfrac{dE}{dt} = 2.0 \times 10^{12}\ \text{V}/(\text{m}\cdot\text{s})$，已知 。求：(1) 极板间的位移电流；(2) 若导线中传导电流等于位移电流，说明安培-麦克斯韦定律如何消除矛盾。

6. 一列沿 $x$ 方向传播的平面电磁波，其电场沿 $y$ 方向振动，峰值 $E_0 = 600\ \text{V/m}$，频率 $f = 100\ \text{MHz} = 1.0 \times 10^8\ \text{Hz}$，取 ，。求：(1) 磁场峰值 ；(2) 电磁波波长 ；(3) 该电磁波的平均能流密度 。

第二步，计算位移电流：

$i_D = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} = 8.85 \times 10^{-12} \times 8.0 \times 10^{10} \approx 0.708\ \text{A} \approx 0.71\ \text{A}$

第三步，分析矛盾的消除：

对于穿过导线部分的安培环路面，全电流为传导电流 $i_C = 0.71\ \text{A}$；对于穿过极板间隙的安培环路面，虽然传导电流为零，但位移电流 $i_D = 0.71\ \text{A}$ 取代了传导电流，全电流同样为 $0.71\ \text{A}$。

两种截面给出相同的全电流，因此计算出相同的磁场，安培-麦克斯韦定律完全自洽，原矛盾消失。

第二步，求波长：

$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.0 \times 10^8} = 3.0\ \text{m}$

波长为 $3\ \text{m}$，位于调频广播（FM）所使用的频段范围内。

第三步，求平均能流密度：

$\bar{S} = \frac{c\varepsilon_0 E_0^2}{2} = \frac{3.0 \times 10^8 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (600)^2}{2}$

$= \frac{3.0 \times 10^8 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3.6 \times 10^5}{2} = \frac{9.558 \times 10^2}{2} \approx 478\ \text{W/m}^2$

该电磁波的平均辐照度约为 $478\ \text{W/m}^2$，相当于晴天太阳辐射强度的近一半。