光的波动性

光不仅能够照亮世界，还展现出丰富多彩的波动特性。例如，光在通过狭缝或遇到障碍物时，会发生明显的绕射效应，使其能够“拐弯”传播，照亮本应处于阴影中的区域；当两束或多束光在空间中相遇时，还会彼此叠加，产生一系列有规律的明暗相间的条纹，

这就是著名的干涉现象。这些现象无法用“粒子直线传播”来解释，而是典型的波动行为。正是通过对干涉和绕射等波动现象的观察和深入分析，物理学家们得以确认光的本质具有波动性。基于这些发现，现代光学体系得以完善，推动了光学仪器设计、激光、精密测量、通讯等领域的飞速发展，从显微镜、光刻、全息，到现代量子光学与信息技术，无不源于对光的波动性的理解和应用。

光的干涉

两列频率相同、相位关系稳定的光波相遇时，某些位置会持续增强（出现亮纹），某些位置会持续减弱（出现暗纹），这一现象称为光的干涉。干涉是波动性独有的标志，粒子无法产生干涉。

相干光的条件

普通光源（灯泡、蜡烛）发出的光，是大量原子各自独立辐射的电磁波叠加，不同原子的辐射在相位上毫无关联。将两束这样的光叠加，亮暗变化极快，人眼无法感知，看到的只是均匀的亮光——这说明它们不是相干光，不能产生稳定的干涉条纹。

要产生干涉，两列光波需满足以下条件：

获得相干光最常用的方法是分波前法或分振幅法——将同一光源发出的光分成两路，再让它们重新汇合。来自同一光源，天然保证了频率相同和相位的关联性。

杨氏双缝实验

1801年，英国物理学家托马斯·杨（Thomas Young）用一套精巧的装置，首次在实验室里稳定地观察到了光的干涉条纹，有力地证明了光的波动性。

实验装置的布局如下：单色光先通过一条单缝 $S$，再通过紧靠着的两条平行细缝 $S_1$ 和 $S_2$（缝间距为 $d$），最后在距离双缝 $L$ 处的光屏上观察。屏上出现了明暗交替的等间距条纹。

设屏上某点 $P$ 到两缝的距离之差为 $\delta$（光程差）。当光程差为波长的整数倍时，两列光相互加强，出现亮纹：

$\delta = m\lambda \quad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots)$

当光程差为半波长的奇数倍时，两列光相互抵消，出现暗纹：

$\delta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots)$

在 $L \gg d$ 的近似条件下，屏上相邻亮纹（或相邻暗纹）的间距 $\Delta y$ 为：

$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$

这个公式是双缝干涉的核心结果，只需测量 $\Delta y$、$L$、$d$ 三个可直接量取的量，便能精确计算出光的波长 $\lambda$。

示例一：用波长 $\lambda = 589\ \text{nm}$ 的黄光进行双缝干涉实验，双缝间距 $d = 0.5\ \text{mm}$，双缝到光屏的距离 $L = 1.5\ \text{m}$，求相邻条纹间距。

$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{589 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{8.835 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-4}} \approx 1.77 \times 10^{-3}\ \text{m} = 1.77\ \text{mm}$

相邻条纹间距约为 $1.77\ \text{mm}$，在普通光学实验中用肉眼即可分辨。

示例二：将上述实验中的黄光换成紫光（$\lambda = 400\ \text{nm}$），其他条件不变。

$\Delta y' = \frac{400 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 1.2\ \text{mm}$

用白光做双缝实验时，各颜色条纹宽度不同，中央零级亮纹各色重合呈白色，两侧出现由紫到红的彩色条纹。

薄膜干涉

肥皂泡和水面油膜在白光照射下会呈现出五彩的颜色，这正是薄膜干涉的结果。光在薄膜上下两个界面分别反射，两束反射光相遇时发生干涉，不同厚度处增强的颜色不同，因而产生彩色。

半波损失

光从折射率较小的介质（光疏介质）射向折射率较大的介质（光密介质）时，反射光的相位会突变 $\pi$，相当于光程额外增加了 $\lambda/2$，这一现象称为半波损失。从光密介质射向光疏介质时，反射光不发生半波损失。

薄膜干涉的光程差

当光近似垂直照射厚度为 $e$、折射率为 $n$ 的薄膜时，在薄膜上表面反射的光（光线1）与折射进入薄膜、在下表面反射后再射出的光（光线2）之间，几何光程差为 $2ne$。若光线1有半波损失而光线2无（空气中的薄膜常见此情形），则总光程差为：

$\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2}$

出现亮纹的条件（两束光加强）：

$\delta = m\lambda \quad (m = 1, 2, 3, \ldots)$

出现暗纹的条件（两束光减弱）：

$\delta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$

示例三：空气劈尖干涉。将两块平玻璃片一端叠合、另一端垫一根细丝，中间形成一个楔形空气层（折射率 $n = 1$）。用波长 $\lambda$ 的单色光从上方照射，上玻璃下表面（空气→玻璃）的反射光有半波损失，下玻璃上表面（玻璃→空气）的反射光无半波损失，总光程差为 $\delta = 2e + \lambda/2$。

相邻暗纹之间，空气膜厚度差为 $\lambda/2$，相邻条纹间距 $l$ 与劈尖角 $\theta$ 的关系为：

$l = \frac{\lambda}{2\theta}$

劈尖角越小，条纹越宽，越容易分辨。在两块玻璃叠合的一端（$e = 0$），$\delta = \lambda/2$，满足暗纹条件，因此最边缘处是暗纹——这一实验结果也从侧面验证了半波损失的存在。

示例四：等厚干涉用于检验表面平整度。将一块标准平晶放在被测光学元件表面，用单色光照射。若两者之间存在微小空气间隙，则产生等厚干涉条纹。条纹形状直接反映被测面的起伏状况：

这种检验方法的精度极高，能够检测出 $\lambda/4 \approx 100\ \text{nm}$ 量级的表面误差，是精密光学加工中不可缺少的手段。

光的衍射

波在传播过程中遇到障碍物或缝隙时，能绕过障碍物继续传播，这种现象称为衍射。日常生活中，声音能绕过墙角传来，水波能绕过礁石扩散，这些都是衍射现象。光也能衍射，但由于光的波长极短（$400 \sim 700\ \text{nm}$），在日常宏观尺度下衍射效应不明显，当缝隙或障碍物尺寸接近光波长时，衍射才变得显著。

单缝衍射

当一束平行的单色光通过宽度为 $a$ 的单缝时，在后方的屏上并不是简单地投下缝的影像，而是形成一组以中央为主、向两侧逐渐减弱的衍射条纹。

中央亮纹最宽最亮，其半角宽度 $\theta_1$ 满足：

$\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a}$

在角度很小时，$\sin\theta_1 \approx \theta_1$（弧度）。两侧各级暗纹出现在衍射角 $\theta$ 满足：

$a\sin\theta = m\lambda \quad (m = \pm1, \pm2, \ldots)$

设缝到屏的距离为 $L$，则中央亮纹的宽度（两侧第一暗纹之间的距离）为：

$\Delta x_0 = 2L\tan\theta_1 \approx 2L \cdot \frac{\lambda}{a} = \frac{2\lambda L}{a}$

示例五：用波长 $\lambda = 600\ \text{nm}$ 的红光照射宽度 $a = 0.3\ \text{mm}$ 的单缝，缝到屏的距离 $L = 2\ \text{m}$。

第一暗纹的衍射角：

$\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3}\ \text{rad}$

第一暗纹到中心的距离：

$y_1 = L\sin\theta_1 \approx 2 \times 2 \times 10^{-3} = 4\ \text{mm}$

中央亮纹宽度 $= 2y_1 = 8\ \text{mm}$

将缝宽减小为 $a = 0.1\ \text{mm}$，其余不变：

$y_1' = 2 \times \frac{600 \times 10^{-9}}{1 \times 10^{-4}} = 12\ \text{mm}，\quad \text{中央亮纹宽度} = 24\ \text{mm}$

缝宽缩小为原来的 $\frac{1}{3}$，中央亮纹宽度扩大为原来的 $3$ 倍，验证了二者成反比的关系。

光学仪器的分辨率

任何光学仪器（望远镜、显微镜、照相机镜头）都有分辨率极限——当两个相邻的物点靠得太近时，它们经过圆孔衍射后的亮斑相互重叠，无法区分。这个极限由光的衍射本性决定，与仪器的加工精度无关，是波动光学为所有光学系统设定的物理上界。

瑞利判据

1879年，英国物理学家瑞利（Lord Rayleigh）提出了一个判断标准：当一个点光源衍射亮斑的中心，恰好落在另一个点光源衍射亮斑的第一暗环上时，两个点光源处于恰好可以分辨的临界状态，此时的张角即为最小分辨角。

对于直径为 $D$ 的圆形孔径，最小分辨角 $\theta_{min}$ 为：

$\theta_{min} = 1.22\frac{\lambda}{D}$

$\theta_{min}$ 越小，仪器能分辨的细节越精细，分辨能力越强。

天文望远镜要尽量做大口径，电子显微镜比光学显微镜分辨率高出千倍以上，背后都是同一个物理原理。

示例六：人眼瞳孔直径约 $D = 3\ \text{mm}$，取可见光波长 $\lambda = 550\ \text{nm}$。

最小分辨角：

$\theta_{min} = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2.24 \times 10^{-4}\ \text{rad}$

在正常明视距离（$25\ \text{cm}$）处，人眼能分辨的最小间距：

$\Delta y = L \cdot \theta_{min} = 0.25 \times 2.24 \times 10^{-4} \approx 5.6 \times 10^{-5}\ \text{m} \approx 0.056\ \text{mm}$

这与实测的人眼分辨能力（约 $0.05 \sim 0.1\ \text{mm}$）吻合，说明人眼分辨率实际上已接近衍射极限。

练习题

选择题

1. 在杨氏双缝干涉实验中，若将双缝间距 $d$ 减小为原来的一半，其他条件不变，则光屏上条纹间距的变化是（　　）

A. 变为原来的二分之一

B. 变为原来的两倍

C. 条纹消失

D. 条纹间距不变

2. 肥皂泡在白光照射下呈现彩色，这一现象的本质是（　　）

A. 光的折射

B. 光的散射

C. 薄膜干涉

D. 光的衍射

3. 单缝衍射实验中，保持缝宽和缝到屏的距离不变，将入射光波长增大为原来的两倍，中央亮纹宽度如何变化（　　）

A. 变为原来的二分之一

B. 不变

C. 变为原来的两倍

D. 变为原来的四倍

4. 关于光学仪器分辨率的瑞利判据，下列说法正确的是（　　）

A. 分辨率仅取决于镜头加工精度，与光的波长无关

B. 增大镜头孔径可以提高分辨率，理论上没有极限

C. 使用波长更短的光可以提高分辨率

D. 在相同孔径下，红光比紫光的分辨率更高

计算题

5. 在杨氏双缝干涉实验中，双缝间距 $d = 0.4\ \text{mm}$，双缝到光屏的距离 $L = 1.2\ \text{m}$，测得相邻亮纹间距 $\Delta y = 1.65\ \text{mm}$。求入射光的波长 $\lambda$，并判断该光属于何种颜色。

6. 一台天文望远镜的物镜直径 $D = 20\ \text{cm}$，取入射光波长 $\lambda = 550\ \text{nm}$。（1）求该望远镜的最小分辨角 $\theta_{min}$；（2）已知月球到地球的距离 $L = 3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$，求该望远镜在月球表面能分辨的最小特征间距 $\Delta x$。