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光的偏振与色散 | 自在学

光的偏振与色散

光是一种电磁波，它的振动方向与传播方向垂直——正是这一横波特性，决定了偏振现象的存在。偏振光与普通自然光在外观上看起来没什么差别，但通过一块偏振片，两者立刻显出截然不同的表现。色散现象则揭示了光与物质相互作用时，不同颜色的光折射能力有所不同的规律。这两个现象背后，都隐藏着光的波动本质。

自然光与偏振光

光波是电磁波，其电场强度矢量 $\vec{E}$ 始终垂直于传播方向振动。对于单列光波， $\vec{E}$ 只在某一固定方向上振动，这种光称为线偏振光（或平面偏振光）。

自然光的结构

普通光源（如太阳、灯泡）发出的光，是由大量原子各自独立辐射的叠加。每个原子发光时，其电场振动方向是随机的，且振动方向在极短时间内就会改变。从宏观来看，自然光在垂直于传播方向的平面内，各个振动方向的分量强度相等，没有任何优先方向，这就是自然光。

下表对比了自然光与偏振光的基本特征：

偏振片的作用

偏振片（又称起偏器）是一种只允许某一特定振动方向的光通过的光学元件，这个方向称为偏振片的透振方向。

当自然光通过偏振片后，只有平行于透振方向的电场分量得以通过。由于自然光各方向强度均等，通过后的偏振光强度恰好是入射自然光强度的一半：

$I_1 = \frac{I_0}{2}$

示例一：一束强度为 $I_0 = 200\ \text{W/m}^2$ 的自然光通过偏振片后，出射偏振光的强度为：

$I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{200}{2} = 100\ \text{W/m}^2$

若将两块偏振片叠放，第一块称为起偏器，第二块称为检偏器。当两块偏振片的透振方向夹角为 $90°$ 时，理论上没有光线能够通过，这种状态称为“正交偏振”或“消光”状态。这是验证偏振现象最直观的演示。

偏振现象是横波特有的性质。声波是纵波，振动方向与传播方向平行，因此声波不存在偏振现象。光的偏振是证明光是横波的直接证据。

马吕斯定律

当一束线偏振光入射到检偏器上时，透射光的强度如何随两者透振方向的夹角变化？1809年，法国物理学家马吕斯（Malus）通过实验给出了定量规律。

定律表述

设入射线偏振光的强度为 $I_0$ ，其振动方向与检偏器透振方向的夹角为 $\theta$ ，则透射光强度为：

$I = I_0 \cos^2\theta$

这就是马吕斯定律。当 $\theta = 0°$ 时， $\cos^2\theta = 1$ ，光强最大，完全透射；当 $\theta = 90°$ 时， $\cos^2\theta = 0$ ，光强为零，完全消光。

示例二：一束强度 $I_0 = 400\ \text{W/m}^2$ 的线偏振光，入射到检偏器上，两者透振方向夹角 $\theta = 60°$ 。

$I = I_0 \cos^2 60° = 400 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 400 \times \frac{1}{4} = 100\ \text{W/m}^2$

示例三：自然光先经过起偏器，再经过检偏器，两块偏振片透振方向夹角为 $\theta = 30°$ ，设入射自然光强度为 $I_0$ 。经过起偏器后强度变为 $I_0/2$ ，再经过检偏器后：

$I = \frac{I_0}{2} \cos^2 30° = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{8}$

最终透射强度为原始自然光强度的 $37.5\%$ 。

马吕斯定律只适用于入射光为线偏振光的情况。自然光通过检偏器时不能直接套用此公式——自然光先要经过起偏器变成偏振光，再由马吕斯定律计算第二块偏振片的透射结果。

偏振光的实际应用

偏振原理在生活中有广泛应用。摄影镜头前的偏振滤光镜（CPL镜）可以消除水面或玻璃的反射眩光，因为反射光是部分偏振光，偏振镜能将其滤除。液晶显示器（LCD）的工作原理也依赖偏振：两块正交偏振片之间夹着液晶层，通过电场控制液晶分子的旋光能力，实现像素的明暗切换。

折射率与色散

将白光射入三棱镜，出射光会被分散成彩虹般的色带，红色偏折最少，紫色偏折最多。这种现象称为色散，其根本原因在于不同颜色（不同波长）的光在同一介质中折射率不同。

折射率与波长的关系

光在真空中的速度 $c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ 对所有波长都相同。但光在玻璃等介质中传播时，不同波长的光速略有差异，导致折射率随波长变化：

$n = \frac{c}{v}$

通常情况下，波长越短（紫色端），折射率越大；波长越长（红色端），折射率越小。这种折射率随波长增大而减小的现象称为正常色散。

法国物理学家柯西（Cauchy）提出了一个近似描述正常色散的经验公式：

$n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2}$

其中 $A$ 、 $B$ 是与介质材料有关的正常数， $\lambda$ 是真空中的波长（单位： $\text{m}$ ）。

下表列出了普通冕牌玻璃（BK7）对几种典型光线的折射率：

颜色	波长 $\lambda\ (\text{nm})$	折射率 $n$
红光	$656$	$1.5145$
黄光	$589$	$1.5168$
蓝光	$486$

示例四：某玻璃对红光（ $\lambda_R = 656\ \text{nm}$ ）的折射率为 $n_R = 1.514$ ，对紫光（ $\lambda_V = 405\ \text{nm}$ ）的折射率为。将白光以入射角射入该玻璃平面，分别计算红光和紫光的折射角。

由折射定律 $\sin i = n \sin r$ ，即 $\sin r = \sin i / n$ ：

红光折射角： $\sin r_R = \frac{\sin 30°}{1.514} = \frac{0.500}{1.514} \approx 0.3303$ ，故

紫光折射角： $\sin r_V = \frac{\sin 30°}{1.531} = \frac{0.500}{1.531} \approx 0.3267$ ，故

两者折射角相差 $0.2°$ ，这个微小差异经过棱镜两次折射后被放大，最终产生可见的色散分离。

彩虹的形成

大气中悬浮的水滴相当于无数个微型棱镜加上球面反射镜。阳光从水滴正面射入，经折射、在内壁全反射，再折射出来。由于折射率随波长变化，不同颜色的光出射方向略有差异。红光从水滴出射的偏转角约为 $42°$ ，紫光约为 $40°$ 。当观察者背对太阳，在这两个仰角范围内看去，便看到了彩虹——红色在外、紫色在内。

色散不仅是光学仪器中需要校正的“色差”问题，也是光谱分析的物理基础。通过测量某种元素发出的光被棱镜分散后的位置，可以精确确定该元素发射的特征谱线波长，从而鉴别元素种类——这就是光谱分析技术的核心原理。

双折射与波片

某些晶体（如方解石、石英）具有各向异性结构，光线进入这类晶体后会分裂成沿不同方向传播的两束偏振光，这种现象称为双折射（birefringence）。

双折射现象

将一块方解石晶体放在一张有字的纸上，透过晶体会看到文字出现双像——这正是双折射的直观体现。

在双折射晶体中，有一个特殊方向称为光轴（不是指某一条线，而是一个方向）。沿光轴方向传播的光不发生双折射。对于沿其他方向入射的光，晶体将其分为两束：

方解石中， $n_o = 1.658$ ， $n_e = 1.486$ （沿垂直光轴方向的极值），两者之差 $\Delta n = n_o - n_e = 0.172$ ，属于双折射能力很强的晶体。

示例五：一束自然光垂直射入方解石晶片（光轴与晶片表面平行）。o光和e光都沿原方向传播，但由于折射率不同，通过厚度为 $d = 0.1\ \text{mm} = 1 \times 10^{-4}\ \text{m}$ 的晶片后，两束光产生的光程差为：

$\Delta L = (n_o - n_e) \cdot d = 0.172 \times 1 \times 10^{-4}\ \text{m} = 1.72 \times 10^{-5}\ \text{m} = 17200\ \text{nm}$

这个光程差远大于可见光波长，两束偏振光的相位差较大，这正是波片利用双折射控制偏振态的基础。

波片的原理与应用

波片（wave plate）是一块切割方向经过精确设计的双折射晶片，其光轴平行于晶片表面。当偏振光通过波片时，o光和e光在晶片内的速度不同，出射时产生相位差，从而改变出射光的偏振状态。

波片的核心参数是它引入的相位差 $\delta$ ：

$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}(n_o - n_e)d$

其中 $\lambda$ 是入射光在真空中的波长， $d$ 是波片厚度。

波片类型	相位差 $\delta$	对入射偏振光的作用
半波片（ $\lambda/2$ 片）	$\pi$ （即 $180°$ ）	将线偏振光的振动方向旋转 $2\alpha$ （ $\alpha$ 为入射光与光轴夹角）
四分之一波片（ $\lambda/4$ 片）

示例六：一束线偏振光通过四分之一波片，入射光振动方向与波片光轴夹角为 $45°$ 。此时 o 分量与 e 分量振幅相等，出射后相位相差 $90°$ ，合成结果是等幅、相位差 $90°$ 的两个垂直振动的叠加，即圆偏振光。圆偏振光的应用之一是3D电影技术——两路影像分别使用左旋和右旋圆偏振光，观众佩戴对应的偏振眼镜，左右眼各自只接收一路信号，从而产生立体视觉。

偏振技术在现代生活中无处不在：LCD屏幕、相机CPL镜、3D眼镜、汽车防眩光挡风玻璃、光通信中的偏振复用，乃至天文望远镜中对恒星偏振光的观测，都是偏振光学的具体应用。

练习题

选择题

1. 一束自然光依次经过两块偏振片，第一块偏振片的透振方向与第二块的透振方向夹角为 $60°$ 。设入射自然光强度为 $I_0$ ，则出射光强度为（　　）

A. $\dfrac{I_0}{2}$

B. $\dfrac{I_0}{4}$

C. $\dfrac{I_0}{8}$

D. $\dfrac{3I_0}{8}$

答案：C

自然光经第一块偏振片后，强度变为 $I_1 = I_0/2$ （自然光各方向均等，取一半）。再经第二块偏振片，由马吕斯定律：

$I = I_1 \cos^2 60° = \frac{I_0}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$

2. 关于光的偏振现象，下列说法正确的是（　　）

A. 声波也可以发生偏振，因为声波也是一种波

B. 两块偏振片正交放置时，透射光强等于入射自然光强的一半

C. 偏振现象是横波独有的特征，是证明光为横波的依据之一

D. 线偏振光通过偏振片后，出射光的强度一定大于零

答案：C

A 错误：声波是纵波，振动方向与传播方向平行，不存在偏振现象。

B 错误：两块偏振片正交（夹角 $90°$ ）时， $\cos^2 90° = 0$ ，透射光强为零，而非 $I_0/2$ 。

C 正确：只有横波才有偏振，偏振是横波的标志性特征。

D 错误：当线偏振光振动方向与偏振片透振方向垂直时（夹角 $90°$ ），出射光强为零。

3. 白光通过三棱镜发生色散后，偏折角最大的颜色是（　　）

A. 红光，因为红光波长最长，能量最大

B. 紫光，因为紫光频率最高，折射率最大

C. 黄光，因为黄光位于可见光中间

D. 红光，因为红光折射率最大

答案：B

正常色散规律：波长越短、频率越高的光，在介质中折射率越大，折射角越小（对同一入射角），在棱镜中偏折越大。紫光波长最短（约 $380\sim 430\ \text{nm}$ ），折射率最大，偏折角最大；红光波长最长（约 $620\sim 750\ \text{nm}$ ），折射率最小，偏折角最小。选项 A 和 D 混淆了红光与紫光的折射率大小关系。

4. 一束线偏振光通过四分之一波片，入射光振动方向与波片光轴夹角恰好为 $45°$ ，出射光是（　　）

A. 自然光

B. 线偏振光，振动方向旋转了 $45°$

C. 圆偏振光

D. 消光（光强为零）

答案：C

四分之一波片引入 $90°$ 的相位差。当入射线偏振光振动方向与光轴夹角为 $45°$ 时，o 分量和 e 分量振幅相等，出射后两分量相位差恰好为 $90°$ ，合成结果是等幅且相位相差 $90°$ 的两垂直振动叠加，即圆偏振光。若夹角不等于 $45°$ ，则 o、e 分量振幅不等，出射光为椭圆偏振光。

计算题

5. 一束强度 $I_0 = 600\ \text{W/m}^2$ 的自然光，依次通过三块偏振片 $P_1$ 、 $P_2$ 、。与的透振方向夹角为，与的透振方向夹角为。求最终出射光的强度。

解：

第一步，自然光通过 $P_1$ （起偏器），强度变为：

$I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{600}{2} = 300\ \text{W/m}^2$

6. 某玻璃棱镜对红光（ $\lambda_R = 700\ \text{nm}$ ）的折射率为 $n_R = 1.510$ ，对紫光（ $\lambda_V = 420\ \text{nm}$ ）的折射率为。白光以入射角射入棱镜的一个表面，求红光和紫光在棱镜内的折射角，并说明这一结果如何导致色散。

解：

由折射定律 $n_{\text{空气}} \sin i = n \sin r$ ，空气折射率近似为 $1$ ，故 $\sin r = \dfrac{\sin i}{n}$ 。