9 / 12

连续介质力学入门

把固体与液体都看成在空间上连续分布的物质，不再逐个分子追踪，而用密度、速度、应力、温度等场量描述，这就是连续介质模型。桥梁钢材里的拉力分布、地震波在岩层中的传播、管道里水的流动，背后都共享同一套语言：在小变形下线弹性用胡克定律联系应力与应变，在流体里用质量守恒与动量方程描述运动，黏性项带来耗散，雷诺数则把层流与湍流的分区标在一张无量纲数轴上。下面按应力应变、固体中的波、流体控制方程、雷诺数的顺序展开，表格与算例穿插，便于对照课堂笔记自检。

阅读时先把一维杆的拉伸与剪切弄清楚，再过渡到“张量只是把各方向信息收进一张表”的直观图像，不必一上来死记九个分量的下标规则。单位一律采用国际单位制，压强用 $\mathrm{Pa}$ （即 $\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}$ ），黏度用 $\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}$ 。

应力与应变：从一根杆说起

取横截面积为 $A$ 的均匀直杆，两端沿轴线受拉力 $F$ ，定义轴向正应力

$\sigma=\frac{F}{A}$

$\sigma\gt 0$ 表示拉应力， $\sigma\lt 0$ 常表示压应力（符号约定与教材统一即可）。杆原长 $L$ ，伸长 $\Delta L$ ，定义轴向应变（小变形）

$\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}$

各向同性线弹性材料在一维拉伸实验范围内，胡克定律写为 $\sigma=E\varepsilon$ ，其中 $E$ 为杨氏模量，量纲与应力相同，常用 $\mathrm{Pa}$ 或 $\mathrm{GPa}$ 。

纯剪切时，线弹性关系常写 $\tau=G\gamma$ 。各向同性材料在理论课里可证明 $E$ 、 $G$ 与泊松比 $\nu$ 满足 $G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$ （无量纲，约在之间）。

例1： 钢杆 $A=2.0\times 10^{-4}\ \mathrm{m}^2$ ， $F=1.0\times 10^4\ \mathrm{N}$ ，则。若测得，则，与手册中结构钢的典型数量级一致。

例2： 切应力 $\tau=3.0\times 10^6\ \mathrm{Pa}$ ， $G=8.0\times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$ ，则，属于很小的剪切角，小变形假设成立。

应力是“单位面积上的内力”，与外力不同：同一外力下截面积越大，应力越小。应变是无量纲的相对变形，实验曲线在弹性段直线斜率才对应 $E$ 或 $G$ 。

应力张量与应变张量：当作一张对称表

一点的应力状态，完整描述需要知道过该点、法向指向三个坐标轴的三个截面上的应力矢量；每个应力矢量又可分解为一个法向分量与两个切向分量。九个分量排成矩阵后，由角动量平衡（无偶应力等假设）可证对称性 $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$ ，独立分量实为六个。工程上常把六个分量排成列向量，与六个应变分量用矩阵形式的胡克定律联系，弹性力学课会系统推导；入门阶段只需记住：正应力 $\sigma_{xx}$ 、、描述拉伸或压缩，切应力等描述层与层之间的错动趋势。

应变张量同样对称，对角元与边长的相对变化相关，非对角元与剪切相关；小变形下叠加原理成立，许多公式与线弹性本构一起构成有限元软件的物理内核。

例3： 若已知主应力 $\sigma_1=100\ \mathrm{MPa}$ 、 $\sigma_2=20\ \mathrm{MPa}$ 、（压为负），则最大拉应力为，最大压应力大小为；是否破坏还要看屈服准则或强度理论，此处只练习读主应力的符号与大小。

张量不是额外神秘对象：在直角坐标里它就是带对称性的矩阵，换坐标时按线性代数规则变换；物理上同一点的应力状态不变，变的只是分量表示。

弹性纵波与横波在固体中的传播

扰动在弹性固体中以波的形式传播。纵波（胀缩波）质点位移方向与传播方向平行；横波（剪切波）质点位移垂直于传播方向。各向同性均匀线弹性体内，纵波与横波相速度常用体模量 $K$ 、剪切模量 $G$ 与密度 $\rho$ 写成

$v_{\mathrm{P}}=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho}},\qquad v_{\mathrm{S}}=\sqrt{\frac{G}{\rho}}$

细杆中沿轴向的一维纵波，教材常给出更简单的近似 $v\approx\sqrt{E/\rho}$ ，与上式在几何与边界条件不同时会有差异，数值作业以题目指定公式为准。

例4： $\rho=2.7\times 10^3\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}$ ， $E=7.0\times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$ ，用细杆近似，与铝材纵波数量级常见范围相符（精确值随合金与模式而变）。

例5： 若 $G=2.6\times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$ ， $\rho=2.7\times 10^3\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}$ ，则。同一材料一般有，地震记录里先到达的体波往往是纵波。

体模量与纵波波速的数值衔接

体模量 $K$ 把均匀静水压力与体积应变联系起来，各向同性材料常用 $K=\dfrac{E}{3(1-2\nu)}$ 与 $G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$ 配套。将二者代入，便得到仅用、、估算体纵波波速的一条完整链路。分母中出现，接近时很大，对应橡胶等近不可压缩材料，线弹性公式要配合近乎不可压的本构或数值格式使用。

例5（续）： 取 $E=7.0\times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$ ， $\nu=0.33$ ， $\rho=2.7\times 10^3\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}$ 。则，。代入体纵波公式得，与细杆近似同属铝材声波常见数量级，差别来自几何与波型定义，作业中应以题目给定公式为准。

地震学里 P 波、S 波与这里的纵波、横波对应；波速反演是了解地下弹性参数的重要手段，数学上与超声波测弹性常数同源。

流体运动方程与纳维—斯托克斯方程（简介）

密度 $\rho$ 、速度 $\vec{v}$ 、压强 $p$ 描述流体质点的运动。质量守恒在一般形式下写为

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0$

不可压缩流动近似下 $\rho$ 为常数，上式化为 $\nabla\cdot\vec{v}=0$ ，表示无源无汇时体积流量散度为零。

牛顿流体的动量方程（纳维—斯托克斯方程）常见写法为

$\rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\vec{v}+\vec{f}$

其中 $\mu$ 为动力黏度，单位 $\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}$ ； $\vec{f}$ 为体积力（如重力单位体积贡献）。左边是密度乘加速度（局部加速度加对流加速度），右边依次是压强梯度驱动的力、黏性扩散项、体积力。

实际计算中常引入运动黏度 $\nu=\mu/\rho$ ，单位 $\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}$ ，把方程写成等价形式以便与雷诺数 $\mathrm{Re}=UL/\nu$ 对照。完整问题还需边界条件（如无滑移：固体壁处流体速度与壁速相同）与初值；湍流时方程形式上不变，但解包含多尺度涡结构，直接数值模拟计算量极大。

例6（定性）： 水管转弯处压强分布与黏性边界层有关； $\mu$ 越大，近壁速度梯度铺得越厚，能量耗散越强。消防水枪、血管血流虽场景不同，控制方程框架仍属同一族，差别在几何、边界与雷诺数数量级。

纳维—斯托克斯方程在非线性对流项占主导、高雷诺数时数学性质极难；入门课掌握物理项含义与量纲即可，不必陷入存在性与光滑性证明。

雷诺数：层流与湍流的经验分界

雷诺数定义为

$\mathrm{Re}=\frac{\rho U L}{\mu}=\frac{UL}{\nu}$

其中 $U$ 为特征速度， $L$ 为特征长度（如管径、弦长）。其物理意义可理解为惯性力与黏性力之比的数量级： $\mathrm{Re}$ 小，黏性抑制扰动，流动平滑； $\mathrm{Re}$ 大，惯性使扰动放大并出现涡旋结构。

具体临界值随几何、粗糙度、来流扰动而变，教材给出的数字是经验参考，不是绝对阈值。风洞、化工管道设计里用 $\mathrm{Re}$ 选用公式（阻力系数关联式）与判断是否需要湍流模型。

常用公式与量纲自检

关系	公式	量纲核对
一维胡克定律	$\sigma=E\varepsilon$	$\mathrm{Pa}=(\mathrm{Pa})\times 1$
剪切胡克定律	$\tau=G\gamma$	同上
横波速度

练习题

选择题

1. 各向同性线弹性材料在一维拉伸下，应力 $\sigma$ 与应变 $\varepsilon$ 在弹性范围内满足 $\sigma=E\varepsilon$ ，则 $E$ 的量纲与下列哪一项相同（　　）

A. 应变 $\varepsilon$

B. 密度 $\rho$

C. 应力 $\sigma$

D. 速度 $v$

答案：C

$E=\sigma/\varepsilon$ ，应变无量纲，故 $E$ 与 $\sigma$ 同为压强量纲（ $\mathrm{Pa}$ ）。

2. 各向同性体中弹性横波（剪切波）相速度公式为 $v_{\mathrm{S}}=\sqrt{G/\rho}$ ，若剪切模量 $G$ 增大为原来的倍，密度不变，则变为原来的（　　）

A. $2$ 倍

B. $4$ 倍

C. $16$ 倍

D. $\dfrac{1}{2}$ 倍

答案：A

$v_{\mathrm{S}}\propto\sqrt{G}$ ，故 $G\to 4G$ 时。

3. 不可压缩流体密度处处相同（ $\rho$ 为常量）时，连续性方程化为（　　）

A. $\nabla\cdot\vec{v}=0$

B. $\nabla\times\vec{v}=0$

C. $\partial p/\partial t=0$

D. $\mu=0$

答案：A

$\rho$ 为常数时 $\partial\rho/\partial t=0$ ， $\nabla\cdot(\rho\vec{v})=\rho\nabla\cdot\vec{v}=0$ ，故。旋度为零是无旋流动额外条件，与不可压缩无必然关系。

4. 圆管定常流中，特征速度 $U$ 、管径 $D$ 、运动黏度 $\nu$ ，雷诺数应写为（　　）

A. $\mathrm{Re}=\dfrac{\nu}{UD}$

B. $\mathrm{Re}=\dfrac{UD}{\nu}$

C. $\mathrm{Re}=\dfrac{\rho U}{\mu D}$

D. $\mathrm{Re}=\dfrac{\mu D}{U}$

答案：B

$\mathrm{Re}=\dfrac{\rho U L}{\mu}=\dfrac{UL}{\nu}$ ，取 $L = D$ 即得。选项 C 缺长度，量纲也不对。

计算题

5. 矩形截面杆受轴向拉力，横截面积 $A=5.0\times 10^{-4}\ \mathrm{m}^2$ ，拉力 $F=2.5\times 10^4\ \mathrm{N}$ ，测得线应变。求正应力与杨氏模量（单位取）。

解：

$\sigma=\dfrac{F}{A}=\dfrac{2.5\times 10^4}{5.0\times 10^{-4}}=5.0\times 10^7\ \mathrm{Pa}$ 。

6. 某种流体 $\rho=1.0\times 10^3\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}$ ，动力黏度 $\mu=1.0\times 10^{-3}\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}$ ，在直径的圆管内平均流速。求雷诺数（取特征长度）。

解：

$\mathrm{Re}=\dfrac{\rho U D}{\mu}=\dfrac{(1.0\times 10^3)\times 0.50\times 0.020}{1.0\times 10^{-3}}=\dfrac{10}{1.0\times 10^{-3}}=1.0\times 10^4$ 。

σ_{3} = - 10 M P a

\sigma_3=-10\ \mathrm{MPa}

L=D

连续介质力学入门 | 自在学