量子统计简介

微观粒子在量子力学里具有波动性，同类粒子彼此不可贴上标签加以区分。温度较低或密度较高时，究竟是“一个量子态上最多能挤几个粒子”，还是“多个粒子更愿意挤在同一低能态上”，会引出两套不同的占据规律：费米—狄拉克分布描述电子、质子这类费米子；玻色—爱因斯坦分布描述光子、基态原子凝聚中的玻色子。黑体辐射谱把光子看成玻色气体，能量量子化后得到普朗克公式，解决了经典瑞利—金斯定律在短波处发散的困难。下面按“不可区分性—费米子—玻色子—光子与普朗克谱”的顺序展开，用表格与数值例题把公式与物理图像对齐。

全同粒子与不可区分性

在经典统计里，两个质量相同的小球仍可用轨道加以区分：交换它们会得到另一种微观状态。量子力学中，同类粒子（如两个电子）的全波函数在交换两粒子坐标时，要么整体变号（反对称，费米子），要么不变（对称，玻色子）。交换后概率分布不变，意味着“谁是谁”在观测上不可分辨；能计入的微观状态数与经典可区分情形不同，宏观热力学量的统计表达式随之改变。

例1： 两个全同费米子、三个可及单粒子态（能量互不相同）。按泡利原理，每个态至多一个粒子，两粒子占据不同态，从三个态中选两个给粒子填充，组合数为 $C_3^2=3$ 种方式。若换作两个全同玻色子，允许两粒子同处一态，则计数为“星与条”型问题：三个态、两个不可区分粒子，方式数为 $C_{2+3-1}^{3-1}=C_4^2=6$。数目不同直接体现“不可区分性加对称性约束”对微观状态数的影响。

例2： 高温稀薄气体中，德布罗意波长远小于粒子平均间距，量子关联弱，许多性质可用麦克斯韦—玻尔兹曼分布近似；金属中传导电子密度高、有效简并温度高，室温下往往仍需费米—狄拉克分布描述导带占据。用一张表记住“何时量子统计显眼”比死记名词更有用。

费米子与费米—狄拉克分布（入门）

自旋为半奇数倍的粒子（如电子、$\mu$ 子、质子、中子）称为费米子，满足泡利不相容原理：一个单粒子量子态上至多容纳一个粒子（自旋态已含在“态”的定义里）。在热平衡下，能量为 $\varepsilon$ 的单粒子态被占据的平均粒子数由费米—狄拉克分布给出：

$\bar{n}_{\mathrm{FD}}(\varepsilon)=\frac{1}{\exp\!\bigl((\varepsilon-\mu)/(k_{\mathrm{B}}T)\bigr)+1}$

其中 $\mu$ 为化学势，$k_{\mathrm{B}}$ 为玻尔兹曼常量，$T$ 为热力学温度。分母中的 $+1$ 保证对任意 $\varepsilon$ 都有 $0\lt \bar{n}\lt 1$，与“每态至多一个粒子”一致。 时， 的态几乎全满， 的态几乎全空， 附近出现陡峭转折， 在零温时常称为费米能 （具体数值依赖系统）。

例3： 取 $\varepsilon=\mu$，则指数项为 $\mathrm{e}^0=1$，故 $\bar{n}_{\mathrm{FD}}=1/(1+1)=1/2$，即费米能级处的单粒子态在有限温度下平均半占据。作业中常以此检验公式是否代错。

例4： 当 $(\varepsilon-\mu)\gg k_{\mathrm{B}}T$ 时，$\exp\!\bigl((\varepsilon-\mu)/(k_{\mathrm{B}}T)\bigr)\gg 1$，分母中 可略，，过渡到类似玻尔兹曼因子的形式，对应高能尾“几乎空着”的经典极限区域。

玻色子与玻色—爱因斯坦分布（入门）

自旋为整数的粒子（如光子、$^4\mathrm{He}$ 原子基态等）为玻色子，多粒子可以占据同一单粒子态。平衡态下平均占据数为

$\bar{n}_{\mathrm{BE}}(\varepsilon)=\frac{1}{\exp\!\bigl((\varepsilon-\mu)/(k_{\mathrm{B}}T)\bigr)-1}$

分母为 $-1$，在 $\varepsilon$ 接近 $\mu$ 时指数接近 $1$，分母变小，$\bar{n}$ 可以远大于 $1$，对应大量粒子凝聚到同一低能态的趋势（理想玻色气体在临界温度以下出现玻色—爱因斯坦凝聚，此处只记分布形式与图像）。物理上要求 $\varepsilon\gt\mu$，否则分母非正失去意义；光子气体中化学势取 ，能量从 起积分，与腔模计数结合得到热辐射理论。

例5： 光子气体设 $\mu=0$，则 $\bar{n}_{\mathrm{BE}}(\varepsilon)=1/(\mathrm{e}^{\varepsilon/(k_{\mathrm{B}}T)}-1)$，与普朗克推导中每个模式平均能量因子一致（差一个模式密度与能量—频率关系）。见到 在分母，应联想到玻色子占据或黑体模式。

光子气体与普朗克黑体辐射公式（统计图像）

空腔平衡热辐射可看成各种频率电磁波模式的叠加；每个模式等价于一个谐振子，能量本征值为 $E_n=nh\nu$（$n=0,1,2,\ldots$）。谐振子与热库平衡时，平均能量不是经典能量均分给出的 $k_{\mathrm{B}}T$，而是

$\langle E\rangle=\frac{h\nu}{\mathrm{e}^{h\nu/(k_{\mathrm{B}}T)}-1}$

这一步来自玻色分布（光子化学势为零）对每个模式占据数的求和，或等价的正则系综对量子谐振子能级的加权平均。再乘以单位体积、频率间隔 $\mathrm{d}\nu$ 内的模式数密度（来自驻波条件与偏振），得到谱能量密度的普朗克形式：

$u_\nu(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{\mathrm{e}^{h\nu/(k_{\mathrm{B}}T)}-1}$

其中 $u_\nu$ 表示单位体积、单位频率间隔内的电磁辐射能量，$h$ 为普朗克常量，$c$ 为真空中光速。低频 $h\nu\ll k_{\mathrm{B}}T$ 时，，上式退化为与瑞利—金斯定律一致的形式；高频 时，指数因子使 指数衰减，避免经典谱在紫外发散，即所谓“紫外灾难”在量子统计下的解决。

普朗克谱积分与总辐射（入门）

谱密度 $u_\nu(\nu,T)$ 对频率从 $0$ 到 $\infty$ 积分，得到平衡辐射场单位体积内的总电磁能量 $u$。结果与热力学中斯特藩—玻尔兹曼定律一致：$u$ 正比于 ${}^{}$，比例系数由 、、 组合而成。推导要点是把积分变量换成无量纲量 ，出现标准积分

$\int_0^\infty \frac{x^3}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi^4}{15}$

作业与考试中多数只需记住 $u\propto T^4$ 的幂次，以及该积分来自玻色型分母 $\mathrm{e}^x-1$，不必每次重算系数。

例6： 黑体模型下，表面温度从 $3000\ \mathrm{K}$ 提高到 $6000\ \mathrm{K}$，总辐射能量密度按 $(6000/3000)^4=16$ 倍变化。天体物理与光源亮度数量级估算常用这一幂律。

实验现象与统计图像的对应（简明）

课堂与科普里常见的现象，可与上文分布一一挂钩：金属低温比热随温度近似线性增长，源于费米面附近只有少数电子能被热激发，参与热容量的有效电子数正比于 $T$，总热容量因而呈现 $\sim T$ 的因子（与经典均分预言的常数比热不同）。黑体辐射曲线随温度改变形状、总辐射功率随 $T^4$ 变化，来自光子玻色分布与模式积分。原子气体在极低温度下出现玻色—爱因斯坦凝聚时，宏观数目原子占据同一量子态，是玻色分布允许 $\bar{n}\gg 1$ 的极端表现，与费米子“每态至多一个”形成鲜明对照。

固体里还有声子（晶格振动量子），也是玻色子，热性质同样用玻色型占据描述；与光子差别在于色散关系与化学势处理方式不同，深入课程再分模块记忆即可。入门阶段先把“电子看费米、光子看玻色、高温稀薄气体常走经典极限”三条线理清，公式代入不易张冠李戴。

公式与量纲对照

练习题

选择题

1. 泡利不相容原理直接适用于（　　）

A. 光子

B. 电子

C. 黑体腔内的电磁辐射模式

D. 经典理想气体分子（作质点处理且忽略量子效应）

2. 热平衡下，某单粒子能级上的平均占据数公式分母为 $\mathrm{e}^{(\varepsilon-\mu)/(k_{\mathrm{B}}T)}+1$ 时，该粒子属于（　　）

A. 玻色子

B. 费米子

C. 任意自旋

D. 仅适用于光子

3. 平衡态光子气体的化学势 $\mu$ 通常取为（　　）

A. $k_{\mathrm{B}}T$

B. $0$

C. $h\nu$

D. $E_{\mathrm{F}}$

4. 与瑞利—金斯定律相比，普朗克公式在高频端的主要改进是（　　）

A. 引入 $h\nu$ 量子化，使谱随频率指数衰减而不发散

B. 去掉了光速 $c$

C. 假定光子为费米子

D. 把温度 $T$ 改为 $0$

计算题

5. 某费米子系统，$T$ 有限，恰有 $\varepsilon=\mu$。求该单粒子态的费米—狄拉克平均占据数 $\bar{n}_{\mathrm{FD}}$。

6. 取 $T=5800\ \mathrm{K}$，近似计算 $x=h\nu/(k_{\mathrm{B}}T)$ 在 $\nu=1.0\times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$ 时的数值（常数取 ，），并说明 能否用 近似代替。

代入 $\varepsilon=\mu$，得 $\exp(0)=1$，故

$\bar{n}_{\mathrm{FD}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

即费米能级处单态平均半满。

$k_{\mathrm{B}}T=1.381\times 10^{-23}\times 5800\approx 8.01\times 10^{-20}\ \mathrm{J}$

$x=\frac{h\nu}{k_{\mathrm{B}}T}\approx\frac{6.626\times 10^{-20}}{8.01\times 10^{-20}}\approx 0.827$

$x\sim 0.83$ 并非远小于 $1$，故一般不用 $\mathrm{e}^{x}-1\approx x$（该近似在 $x\ll 1$ 的瑞利—金斯区才稳妥）。此处应保留指数形式。