对称性与守恒律

许多物理规律在坐标原点平移、整体转动、计时起点平移之后仍然写成相同的形式，这类“换了看法而方程不变”的性质叫作对称性。对称性并不只是几何美观：在分析力学框架里，连续对称性与守恒量之间存在系统对应，这一联系由诺特定理概括。下面从日常可感的例子出发，先建立对称与不变性的直觉，再说明时间平移如何联系能量守恒、空间平移如何联系动量守恒、空间各向同性如何联系角动量守恒，并用表格把常见情形对照起来，便于复习时自查。

阅读时不必死记变分法的全部细节，先把拉格朗日量 $L$ 看成由广义坐标 $q$ 与广义速度 $\dot q$ 构成、可能显含时间 $t$ 的标量函数；哈密顿量 $H$ 在常规情形下与总能量对应。单位仍采用国际单位制，能量用 $\mathrm{J}$，动量用 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$，角动量用 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}$。

对称变换与规律的不变性

对称操作指对系统施加某种变换后，支配运动的方程形式保持不变。静止在水平桌面上的光滑物块，整体把实验装置向东平移 $1\ \mathrm{m}$，重力与支撑力不变，牛顿第二定律仍成立，这体现空间平移对称的直观含义。把同一实验在明天重复，只要外界场不随日历变化，方程同样不变，这对应时间平移对称。

例1： 质量为 $m$ 的质点受恒力 $F$ 沿 $x$ 轴，牛顿方程 $m\ddot x=F$ 中不出现绝对坐标 $x$ 本身，只出现加速度。把 $x$ 换成 ，方程不变，说明该一维问题对平移 具有对称性。

例2： 弹簧振子势能 $V=\tfrac12 kx^2$ 只依赖相对平衡点的位移，若把平衡点同时移动，势能形状不变，运动方程在形式上不变，这同样是平移对称在力学中的体现。

诺特定理在入门层面的表述

诺特定理的一条常用表述是：作用量在某一连续单参对称变换下不变，则存在与之对应的守恒量。入门阶段可把结论记成一张对应表，把证明交给后续分析力学课；这里强调的是“对称 $\leftrightarrow$ 守恒”的方向感，而不是冗长推导。

例3： 自由质点 $V=0$，拉格朗日量 $L=\tfrac12 m\dot x^2$ 不显含 也不显含 ，既平移对称也时间平移对称，动量 与能量 都守恒，与上表一致。

例4： 中心力场 $V=V(r)$ 只依赖到力心的距离 $r=\lvert\vec r\rvert$，势能在绕力心任意转动下不变，因而角动量 $\vec{L}=\stackrel{}{}$ 守恒，开普勒问题中行星掠面速度恒定即与此相关。

时间平移与能量守恒

哈密顿量 $H$ 对时间的全导数，在不显含 $t$ 且约束为理想约束的常见情形下满足

$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial t}$

若 $H$ 不显含时间，$\partial H/\partial t=0$，则 $H$ 沿真实运动为常量；在保守系中 $H$ 常等于总能量 $E=T+V$。物理图像十分直接：势场与约束都不随钟表拨动而改变，就没有机制在系统内部凭空增减总能量。

例5： 竖直方向弹簧振子 $V=\tfrac12 kz^2+mgz$（取合适零点可写成标准谐振子势加常数），$L$ 不显含 $$，总机械能 守恒；若有手抓住振子按某一时间表施力且势函数显含 ，则机械能不再单独守恒。

空间平移与动量守恒

一维情形若 $L$ 不显含 $x$，由欧拉—拉格朗日方程可推得 $p_x=\partial L/\partial\dot x$ 守恒；对自由质点即 $m\dot x$ 不变。三维孤立体系的内势只依赖相对位矢，整体平移所有质点时势能不变，因而总动量守恒。碰撞问题里常直接用动量守恒，其深层理由之一正是空间均匀性。

例6： 光滑水平面上两滑块弹性碰撞，水平方向无外力，总动量在碰撞前后相等；这与“水平方向空间平移对称、拉格朗日量对整体平移不变”是一致的。

空间旋转与角动量守恒

势能在绕某轴转动下不变时，绕该轴的角动量分量守恒。各向同性中心力场 $V=V(r)$ 对任意轴的转动都不变，故 $\vec L$ 矢量整体守恒。刚体绕固定轴转动时，轴对称与支撑条件一起决定哪些分量有守恒形式，入门题里常取绕 $z$ 轴的 $L_z$ 讨论。

对照梳理与使用建议

把对称性当作“检查守恒量的清单”最有效：写出近似下的 $L$ 或 $H$，看它对 $t$、对哪个坐标、对哪个角是否显式出现；不显含者往往对应守恒量。下表把前文线索收成一页，便于考前翻阅。

练习题

选择题

1. 在分析力学常用约定下，体系的哈密顿量 $H$ 不显含时间 $t$，且约束为理想约束，则沿真实运动有（　　）

A. 动量 $\vec p$ 必守恒

B. 角动量 $\vec L$ 必守恒

C. $H$ 为常量

D. 动能 $T$ 必为常量

2. 一维拉格朗日量 $L=\tfrac12 m\dot x^2-V(x)$，且势能 $$ 不显含 （可设为常数或零），则与 平移对称相对应的守恒量是（　　）

A. 能量

B. 广义动量 $p_x=\partial L/\partial\dot x=m\dot x$

C. 角动量

D. 拉格朗日量 $L$ 本身

3. 质点在有心力场中运动，势能只依赖 $r=\lvert\vec r\rvert$，即 $V=V(r)$。下列哪一项通常守恒（　　）

A. 速度的大小处处不变

B. 角动量 $\vec L=\vec r\times\vec p$

C. 径向动量 $p_r$

D. 动能单独守恒而势能不守恒

4. 关于诺特定理在入门课程中的理解，下列说法最恰当的是（　　）

A. 只有转动对称才对应守恒量

B. 每一种守恒量都必须来自对称性，与模型细节无关

C. 连续对称性与作用量（或拉格朗日量）的不变性相联系时，可对应导出守恒量

D. 时间平移对称对应动量守恒

计算题

5. 光滑水平面上质量 $m_1=2.0\ \mathrm{kg}$ 的滑块以速率 $v_1=3.0\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ 向右运动，与静止的质量 滑块发生一维完全非弹性碰撞后粘在一起。求碰后共同速度大小 。

6. 质量为 $m=0.020\ \mathrm{kg}$ 的质点在水平面内沿半径 $r=0.50\ \mathrm{m}$ 的圆周作匀速运动，速率为 $v=4.0\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$，圆心为轨迹中心。求质点相对该圆心的角动量大小 （用 ）。

$v=\frac{m_1 v_1}{m_1+m_2}=\frac{2.0\times 3.0}{2.0+1.0}=2.0\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$

方向与碰前 $m_1$ 运动方向相同。

匀速圆周运动中向心力过圆心，对圆心力矩为零，故角动量大小保持不变；数值上由 $L=mvr$ 直接算出。