连续介质的波动与声学

绷紧的弦、空气柱、固体中的弹性波等现象，都可以归结为“位移随位置与时间变化”的统一描述：在扰动较小时，它们都满足波动方程，波的传播速度由介质的刚度和惯性共同决定。比如音乐弦上的泛音、房间的共鸣、超声探头的成像回波，都能体现边界条件对允许振动频率的影响。很多常见实验和现象，例如音乐弦振动中 $v$（波速）、$f$（频率）、$\lambda$（波长）之间的关系，及波长的确定方法，都可以用波动方程加以分析。常见的单位和物理量记法也见于下表。

文中涉及的所有物理量均采用国际单位制，例如弦的波速单位为 $\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$，声强单位为 $\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}$，声压级用 $\mathrm{dB}$（无量纲对数标度）。

理想弦与一维波动方程的建立

取一根均匀细弦，静止时沿 $x$ 轴拉直，张力大小记为 $T$（处处相同），单位长度质量记为 $\mu$（单位 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}$）。弦在横向发生小位移 $u(x,t)$，斜率 处处很小，张力方向仍近似沿切线，但大小仍取 的一级近似。

在 $x$ 到 $x+\Delta x$ 的一小段上，左右两端张力沿横向的分量近似为 $T\,\partial u/\partial x$ 在端点的取值之差，因而横向合力约为 $T\,\partial^2 u/\partial x^2\cdot\Delta x$（泰勒展开到一阶）。该段质量为 ，按牛顿第二定律

$\mu\Delta x\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\approx T\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Delta x$

令 $\Delta x\to 0$，得到一维波动方程

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\qquad v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$v$ 是波在线上的传播速率，张力越大、弦越轻，$v$ 越大，与日常调弦经验一致：同一根弦，拉紧后音变“高”，对应基频上升。

例1： $\mu=4.0\times 10^{-3}\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}$，$T=160\ \mathrm{N}$，则 。

例2： 行波解 $u(x,t)=A\sin(kx-\omega t)$ 代入方程，得 $\omega^2=v^2k^2$，即 （取正根对应传播方向），与 、 搭配，有 。

量纲核对与传播图像

把 $u$ 当作长度量纲 $\mathrm{L}$，$x$ 亦为 $\mathrm{L}$，时间 $t$ 为 $\mathrm{T}$。则 $\partial^2 u/\partial t^2$ 的量纲为 ， 的量纲为 ，要使 两侧一致， 必须带 ，即 为速度量纲，与 的右侧 、 相除得 一致。做题时先写单位，再代入数字，可有效减少数量级错误。

传播图像上，$t=0$ 时刻画在弦上的一个三角小鼓包，会分裂成左右两个半幅、以速率 $v$ 分向两侧移动；在固定端反射后翻转返回，与另一侧回来的波相遇，在特定频率下形成稳定驻波。演示实验里用频闪灯观察节点位置，可直接与 $L=n\lambda/2$ 对照。

行波在边界处的反射（定性）

弦上扰动传到端点时会发生反射。固定端不允许横向位移，入射脉冲反射后往往出现上下翻转的波形，相当于在反射处附加 $\pi$ 的相位突变，与“固定端必须是波节”的驻波图像一致。自由端（理想化端点不受横向约束）反射时波形不翻转，端点更容易形成波腹。把反射系数、阻抗匹配等细节放到后续课程，此处只保留一张对照表，用来解释实验里观察到的脉冲往返形状。

乐器共鸣腔与弦的耦合会使能量在弦与空气之间交换，严格计算需要更完整的边界模型；课堂上演示用的弦—滑轮—砝码装置，先把张力 $T$ 与线密度 $\mu$ 测准，再验证 $v=\sqrt{T/\mu}$，是衔接理论与实验的常用路径。

驻波、本征频率与边界条件

两端固定的弦长为 $L$，边界条件写为 $u(0,t)=0$、$u(L,t)=0$。分离变量可得驻波形状为正弦型，允许波长满足 $L=n\lambda_n/2$（），对应本征频率

$f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{nv}{2L}$

$n=1$ 为基频，$n\ge 2$ 为泛音列。管乐器一端开口一端闭口时，有效长度与端部修正有关，但“边界决定哪些波长能站稳”的思想相同：反射与叠加形成稳定的节、腹分布。

例3： $L=0.50\ \mathrm{m}$，$v=200\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$，则 $f_1=v/(2L)=200\ \mathrm{Hz}$，，。

例4： 同一根弦长度缩短为原来的 $\dfrac{1}{2}$，波速不变时，基频 $f_1\propto 1/L$，故新基频为原来的 $2$ 倍，这与吉他按住弦的中点弹拨时音高升高一致。

气柱与弦：边界条件怎样改公式

弦的横振动与细管里空气的纵向振动，在数学上都归结为一维波动方程，差别主要在端点处压强与位移（或速度）的约束。把开口近似成压强等于外界大气压的节点、闭口近似成轴向速度为零的节点，是一种课堂常用的理想化；真实管口还有端部修正长度，吹奏时口型与指孔也会改变有效管长，定量以实验标定为准。

补充算例： 两端开口管 $L=0.34\ \mathrm{m}$，取空气中 $c=340\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$，基频近似 $f_1=c/\lambda_1\approx c/(2L)=340/0.68=500\ \mathrm{Hz}$，与短笛、开管乐器某些指法下的基音数量级可对照（精确音高还受温度与端修正影响）。

弦上公式 $f_n=nv/(2L)$ 与上表并列记忆时，先把“哪一类端点”识别清楚，再决定用 $\lambda\propto L$ 的哪一种比例，作业里就不容易套错分母。

声波的能量、强度与声压级

声波在流体中传播时，压强相对静压的扰动记为 $p$，质点振动速度的大小记为 $v_{\mathrm{m}}$，声波的相速度记为 $c$，二者不要混写。在平面行波的理想近似下，声强（单位面积、单位时间平均能流）可写为

$I=\frac{1}{2}\rho c\,\omega^2 s_0^2$

其中 $\rho$ 为介质密度，$c$ 为声速（$\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$），$s_0$ 为位移振幅；也可用有效声压 ${}_{}$ 表示为 （与教材推导一致即可，数值题会指明采用哪一式）。平均能量密度与声强满足 的关系，便于把“场里存了多少能量”和“每秒流过单位面积多少能量”对照记忆。人耳可听范围极宽，工程上常用对数标度

$\beta=10\log_{10}\frac{I}{I_0}\ \mathrm{dB}$

$I_0$ 常取 $10^{-12}\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}$ 作为听阈参考。声强每增大 $10$ 倍， 增加 ；增大 倍，增加 。

空气中声速随温度缓慢变化，中学到大学物理常用近似 $c\approx 331+0.6T_{\mathrm{C}}\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$（$T_{\mathrm{C}}$ 为摄氏温度）。水中声速约 ，钢中纵波可达 量级，同一频率下波长 随介质明显变化，超声探头在不同材料里看到的分辨率与穿透深度也随之改变。

例5： $I=1.0\times 10^{-6}\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}$，$I_0=10^{-12}\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}$，则 ，与室内交谈常见量级同阶。

例6： 设参考声强 $I_0$ 固定，某点声强从 $I$ 增为 $10I$，则 $\Delta\beta=10\log_{10}(10I/I_0)-10\log_{10}(I/I_0)=10\log_{10}10=10\ \mathrm{dB}$，表格化记忆： 倍强度差对应 。

第三行来自 $10\log_{10}2\approx 3.01$，现场估算时常记“翻倍约 $3\ \mathrm{dB}$”。

自由场里声强怎样随距离变化

点声源在均匀、无强反射的开阔环境中，总声功率 $P$ 近似恒定，能量穿过半径为 $r$ 的球面，球面面积为 $4\pi r^2$，平均声强常写成

$I(r)\approx\frac{P}{4\pi r^2}$

距离从 $r_1$ 移到 $r_2$ 时，声强比 $I_2/I_1\approx (r_1/r_2)^2$。换算成分贝差，用同一参考 写两次声压级再相减，得到

$\Delta\beta\approx 10\log_{10}\frac{I_2}{I_1}=20\log_{10}\frac{r_1}{r_2}$

取 $r_2=2r_1$，则 $\Delta\beta\approx 20\log_{10}(1/2)\approx -6.0\ \mathrm{dB}$，工程现场常记“距离加一倍，级值约降 ”，前提仍是理想球面扩散。

室内墙面、地面、天花多次反射会形成混响场，表内数值不再严格成立；录音棚、消声室通过吸声与尖劈结构逼近自由场，才能用平方反比做精密标定。

超声波的产生与应用概要

频率高于人耳上限（约 $20\ \mathrm{kHz}$，具体因人而异）的机械纵波常称为超声波。压电晶体在交变电场作用下周期性形变，可把高频电振荡转换成固体中的机械振动，经耦合进入被测物体或人体组织；回波携带界面位置与材料声阻抗差异信息，经信号处理成图像或用于测厚。工业上用于探伤、流量测量；医学上用于超声成像与多普勒血流检测。安全与剂量由规范与操作指南约束，入门阶段只需建立“高频短波长有利于分辨细小结构，但衰减随频率升高通常更快”的定性认识。

探头与被测表面之间常涂耦合剂，目的是减少探头—空气—固体界面的巨大声阻抗失配带来的反射损失，让更多声能进入工件或人体组织。频率选得越高，波长越短，对细小缺陷更敏感，但材料吸收与散射往往更强，穿透距离变短，工程上要在分辨率与穿透之间折中。工业探伤记录里会同时标注探头频率、入射角与扫查速度，这些参数进入报告，便于复检与溯源。

实验记录里常写的几项

示波器上读周期 $T$，频率用 $f=1/T$ 与弦上 $f_n=nv/(2L)$ 对照时，弦长 $L$ 要量到支撑点内侧还是刀口中心，不同实验台约定不同，报告里写清楚测量基准即可。砝码重力提供张力时，滑轮摩擦与弦的非理想柔性会引入系统误差；超声测厚里声速 若抄手册值而不做标定块校验，厚度 会整体偏差。下列表格汇总常见注意点，写预习与讨论段落时可直接对照。

医学超声设备有专门的剂量与使用规范，课堂只讨论物理机制，不替代临床培训；工业探伤同样要遵守安全规程，高压脉冲与耦合剂化学性质都应在操作前阅读说明书。

练习题

选择题

1. 均匀弦波速 $v=\sqrt{T/\mu}$，张力 $T$ 增为原来的 $4$ 倍，$\mu$ 不变，则 变为原来的（　　）

A. $2$ 倍

B. $4$ 倍

C. $16$ 倍

D. $\dfrac{1}{2}$ 倍

2. 两端固定、长为 $L$ 的弦，基频对应的波长 $\lambda_1$ 满足（　　）

A. $\lambda_1=L$

B. $\lambda_1=2L$

C. $\lambda_1=L/2$

D. $\lambda_1=4L$

3. 声强从 $I$ 增大到 $100I$（参考声强 $I_0$ 不变），声压级增加（　　）

A. $10\ \mathrm{dB}$

B. $20\ \mathrm{dB}$

C. $100\ \mathrm{dB}$

D. $2\ \mathrm{dB}$

4. 关于超声波，下列说法中正确的是（　　）

A. 超声波在真空中传播最快

B. 超声波是频率高于约 $20\ \mathrm{kHz}$ 的机械波

C. 超声波一定不是纵波

D. 超声波的传播不需要介质

计算题

5. 弦长 $L=0.40\ \mathrm{m}$，线密度 $\mu=2.5\times 10^{-3}\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}$，张力 ，两端固定。求波速 与基频 。

6. 取参考声强 $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}$，某点声强 $I=1.0\times {10}^{-9}\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{}$。求该点声压级 （单位 ）。

$f_1=v/(2L)=190/(2\times 0.40)=237.5\ \mathrm{Hz}\approx 2.4\times 10^2\ \mathrm{Hz}$。