电磁场的能量

手机充电时，电能通过充电器转化为电池中的化学能；微波炉工作时，电磁能从磁控管辐射出来被食物吸收；太阳的辐射穿越近乎真空的宇宙空间抵达地球，途中没有任何介质传导，携带的却是真实的能量。这些现象都指向同一个问题：电磁场究竟携带多少能量，这些能量又是如何在空间中流动的？麦克斯韦方程组不仅描述了场的演化规律，还内含一套完整的能量守恒方程。

电荷守恒与连续性方程

电荷守恒的局域表达

电荷守恒是自然界最基本的守恒律之一：电荷既不能无中生有，也不能凭空消失，只能从一处流向另一处。这个表述需要进一步精确——它应当是局域的：某区域内的电荷减少，减少的量必然等于从该区域流出去的总电荷量。

取空间中任意一个封闭曲面 $\mathcal{S}$，它围住的体积为 $\mathcal{V}$。体积内的总电荷量为

单位时间内从曲面向外流出的净电荷（即净流出电流）为 $\oint_\mathcal{S} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}$。电荷守恒要求流出的量等于内部电荷的减少：

对左边应用高斯散度定理，将面积分转化为体积分，得到对任意体积均成立的等式，因此被积函数必须处处相等，从而得到连续性方程：

连续性方程的几个典型情形

稳恒电流条件下，电荷分布不随时间变化，即 $\partial\rho/\partial t = 0$，连续性方程退化为 $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$——这正是静磁学中已知的稳恒电流条件，电流线无头无尾，与实际完全吻合。

给电容器充电时，极板附近电荷密度随时间增加（$\partial\rho/\partial t > 0$），必有电流线汇聚到极板处（$\nabla\cdot\mathbf{J} < 0$），解释了导线中有电流流向极板而极板上电荷持续累积的现象。

连续性方程还可以直接从麦克斯韦方程组推导，无须任何额外假设，说明麦克斯韦方程组在建立之初就内置了电荷守恒律。

坡印廷定理

场对电荷的做功

电场对电荷做功，磁场对运动电荷施力但不做功（力与速度方向垂直）。单位时间内电磁场对体积 $\mathcal{V}$ 内所有电荷做的总功率为

量 $\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}$ 的单位为 $\mathrm{W/m^3}$，是电磁场向单位体积内电荷输送功率的密度。当 $\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} > 0$ 时，场对电荷做正功，场的能量转化为电荷的动能或热能；当 $\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} < 0$ 时，电荷的机械能转化为场的能量，发电机就是这一过程的典型代表。

电磁场的能量密度

从静电学和静磁学的结论推广，电磁场总能量密度为

两项分别来自电场和磁场各自储存的能量，单位为 $\mathrm{J/m^3}$。

坡印廷定理的推导

将麦克斯韦方程组中的安培-麦克斯韦定律 $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t$ 代入功率密度表达式，再利用法拉第定律 及矢量恒等式

经整理，可以将功率密度写成

其中定义坡印廷矢量（Poynting vector）：

对任意体积 $\mathcal{V}$ 积分，右边第二项用散度定理转化为面积分，得到坡印廷定理：

改写为能量变化的形式更为直观：

坡印廷矢量的应用

同轴电缆中的能量流动

同轴电缆由内导体（半径 $a$）和外导体（内半径 $b$）组成，两者之间有绝缘介质。内导体通有电流 $I$，内外导体之间的电压为 $V$。

在两导体之间的区域：电场由电位差产生，方向沿径向；磁场由内导体电流产生，方向沿周向。两者叉积 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 的方向沿轴向，即沿电流流动方向。对截面积分，穿过同轴电缆截面的总功率为

这正好与电路理论的结果 $P = VI$ 完全一致。电能并非沿导线内部传输，而是通过导线周围的空间（电磁场）从电源流向负载——这是一个颠覆日常直觉的重要结论。

平面电磁波的能量

在真空中沿 $z$ 方向传播的单色平面电磁波：

坡印廷矢量为

对时间取平均（$\langle\cos^2\rangle = 1/2$），平均能量流密度（即光强）为

太阳在地球大气层外的辐照度约为 $1360\;\mathrm{W/m^2}$（太阳常数），由此可以估算太阳光电场振幅约为 $1010\;\mathrm{V/m}$，磁场振幅约为 $3.4\;\mathrm{\mu T}$。

平面电磁波中瞬时电场能量密度与磁场能量密度恰好相等：

（利用了 $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$，故 $B = E/c$ 时两者相等。）电磁波中电场与磁场各贡献一半的能量，平分秋色。

导线表面能量的流入——焦耳热的来源

一段通有电流 $I$、电阻为 $R$ 的圆柱形导线，长度为 $l$，半径为 $a$。导线两端电压 $V = IR$，内部纵向电场大小 $E = V/l = IR/l$；导线表面磁场大小 。

在导线侧面处，$\mathbf{E}$（轴向）与 $\mathbf{B}$（周向）互相垂直，坡印廷矢量 $\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 方向（指向导线轴线），大小为

穿过侧面积 $2\pi a l$ 流入的总功率为

这正好等于导线的焦耳热功率。电磁能量从导线外部径向流入，在导线内以热能形式耗散——这与电流在导线内部传输能量的朴素印象截然相反，却是坡印廷定理给出的精确描述。

练习

选择题

• 题一（连续性方程的含义）

在某空间区域内，$t$ 时刻的电荷密度 $\rho > 0$，且 $\partial\rho/\partial t < 0$。根据连续性方程，该区域的电流散度 $\nabla\cdot\mathbf{J}$ 应满足

A. $\nabla\cdot\mathbf{J} < 0$   B. $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$   C. $\nabla\cdot\mathbf{J} > 0$   D. 无法判断

• 题二（坡印廷矢量的方向）

在真空中某点，电场 $\mathbf{E} = E_0\hat{x}$，磁场 $\mathbf{B} = B_0\hat{y}$（）。该点坡印廷矢量 的方向为

A. $+\hat{x}$   B. $+\hat{y}$   C. $+\hat{z}$   D. $-\hat{z}$

• 题三（电场与磁场的能量密度比较）

真空中某点，电场强度 $E = 3\times10^3\;\mathrm{V/m}$，磁感应强度 $B = 1\times10^{-5}\;\mathrm{T}$（，）。该点电场能量密度 与磁场能量密度 相比

A. $u_E \gg u_B$   B. $u_E = u_B$   C.   D. 无法判断

• 题四（坡印廷定理的整体含义）

某封闭曲面内的电磁场总能量在某时刻正在减少。根据坡印廷定理，以下说法正确的是

A. 该区域内场一定在对电荷做正功   B. 必有能量通过边界面净流出该区域   C. A 和 B 都可能同时成立   D. 无法作任何判断

计算题

• 题五（平面电磁波的能量计算）

在真空中，沿 $+z$ 方向传播的平面电磁波，电场为 $\mathbf{E} = E_0\cos(kz-\omega t)\hat{x}$，$$（，，）。求：① 磁场 的表达式；② 瞬时坡印廷矢量 ；③ 平均能量流密度 ；④ 比较瞬时电场能量密度与磁场能量密度的大小。

• 题六（导线焦耳热与坡印廷矢量的验证）

一段铜导线，半径 $a = 1\;\mathrm{mm}$，长度 $l = 1\;\mathrm{m}$，电阻 $R = 0.017\;\Omega$，通有电流 $I = 10\;\mathrm{A}$（）。求：① 导线两端电压 ；② 导线内部纵向电场 ；③ 导线表面磁场 ；④ 导线侧面处坡印廷矢量的大小与方向；⑤ 通过对侧面积分，验证流入导线的总功率等于焦耳热功率。

电荷密度减少，说明净电流从该区域向外流出，散度为正，与直觉一致。

方向为 $+\hat{z}$。坡印廷矢量由 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 决定，垂直于电场和磁场所在平面，指向能量传播的方向。

$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(10^{-5})^2}{2\times4\pi\times10^{-7}} \approx 3.98\times10^{-8}\;\mathrm{J/m^3}$

两者相差约 $1000$ 倍，电场能量密度远大于磁场能量密度。对于平面电磁波，$E = cB$ 时两者恰好相等；本题给出的数值不满足这一关系，故两者不等。

场能减少（左边 $< 0$）意味着右边两项之和为负，即能量净流出（第一项贡献）加上场对电荷做正功（第二项贡献）的总效果大于零。两种机制都可以消耗场能，且可以同时存在，因此 A 和 B 均可能同时成立，选 C。

$\mathbf{B} = \frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\hat{y} \approx 3.33\times10^{-7}\cos(kz-\omega t)\;\mathrm{T}\cdot\hat{y}$

• ② 瞬时坡印廷矢量

$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B} = \frac{E_0^2}{\mu_0 c}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat{z} = \frac{(100)^2}{4\pi\times10^{-7}\times3\times10^8}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat{z} \approx 26.5\cos^2(kz-\omega t)\;\mathrm{W/m^2}\cdot\hat{z}$

• ③ 平均能量流密度

$\langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} = \frac{c\varepsilon_0 E_0^2}{2} = \frac{3\times10^8\times8.85\times10^{-12}\times(100)^2}{2} \approx 13.3\;\mathrm{W/m^2}$

• ④ 电场与磁场能量密度的比较

$u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2\cos^2(kz-\omega t)$

$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c^2}\cos^2(kz-\omega t) = \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}\cos^2(kz-\omega t)$

（利用了 $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$，即 $1/\mu_0 c^2 = \varepsilon_0$）

$u_E = u_B$，两者完全相等，平面电磁波中电场与磁场各贡献一半能量。

方向沿导线轴向（与电流方向相同）。

• ③ 导线表面磁场

由安培定律，在导线表面 $s = a = 10^{-3}\;\mathrm{m}$ 处：

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = \frac{4\pi\times10^{-7}\times10}{2\pi\times10^{-3}} = 2\times10^{-3}\;\mathrm{T} = 2\;\mathrm{mT}$

方向沿周向。

• ④ 坡印廷矢量

$\mathbf{E}$（轴向）与 $\mathbf{B}$（周向）互相垂直，$\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 方向径向向内（指向轴线），大小为

$S = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{0.17\times2\times10^{-3}}{4\pi\times10^{-7}} \approx 270\;\mathrm{W/m^2}$

• ⑤ 总功率验证

导线侧面积 $A = 2\pi a l = 2\pi\times10^{-3}\times1 \approx 6.28\times10^{-3}\;\mathrm{m^2}$，流入导线的总功率为

$P = S\cdot A \approx 270\times6.28\times10^{-3} \approx 1.70\;\mathrm{W}$

焦耳热功率 $P_J = I^2 R = 100\times0.017 = 1.70\;\mathrm{W}$，两者完全一致。电磁能量从导线外部径向流入，在导线内以焦耳热形式耗散，坡印廷定理的预测与实际完全吻合。