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电磁波

无线电广播穿越山脉，光纤将信息以光速送达千里之外，微波炉让冷冻食品几分钟内加热均匀——这些现象的背后是同一种物理实体：电磁波。麦克斯韦在完成方程组推导后发现，电场与磁场可以相互激发、自我维持，以波的形式在空间传播，计算得到传播速度恰好等于光速 $c \approx 3\times10^8\;\mathrm{m/s}$ ，与实验测量完全一致。1888年，赫兹用振荡电路产生并检测到无线电波，验证了这一预言。从无线电波到可见光再到 $\gamma$ 射线，全都是同一本质的电磁波，区别仅在于频率。

波的基础

水面上的涟漪、琴弦上的振动、声音在空气中的传播，都是能量在介质中传递的方式。电磁波虽然不需要任何介质，但其数学描述与这些机械波高度相似。掌握波的基本语言，是理解电磁波的前提。

波动方程

沿 $z$ 方向传播的一维波，满足波动方程：

\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}

其中 $v$ 是波速， $f(z,t)$ 是描述波动状态的物理量（弦的横向位移、声压、电场分量等）。这个方程的通解为

f(z,t) = g(z - vt) + h(z + vt)

第一项 $g(z-vt)$ 描述以速度 $v$ 向 $+z$ 方向传播的波形，第二项 $h(z+vt)$ 描述向 $-z$ 方向传播的波形，两者可以独立叠加。无论波形是什么形状，只要满足这种“平移不变”的形式，就是这个方程的解。

正弦波的描述

最重要的特解是正弦（单色）波，它在时间和空间上都呈正弦振荡：

f(z,t) = A\cos(kz - \omega t + \delta)

在处理多个正弦波叠加时，复数表示大为简便：

\tilde{f}(z,t) = \tilde{A}\,e^{i(kz - \omega t)}, \qquad \tilde{A} = A\,e^{i\delta}

最终取实部得到物理量。 $\tilde{A}$ 称为复振幅，将振幅与初相合并为一个复数，避免了繁琐的三角恒等式计算。

波在界面处的反射与透射

当波从一种介质（波速 $v_1$ ）传播到另一种介质（波速 $v_2$ ）时，在界面处发生部分反射和部分透射。以均匀绳子为例，边界条件要求界面处位移和斜率连续，由此得到反射振幅 $\tilde{B}$ 和透射振幅 $\tilde{C}$ 与入射振幅的关系：

\tilde{B} = \frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\tilde{A}, \qquad \tilde{C} = \frac{2v_2}{v_2 + v_1}\tilde{A}

当 $v_2 > v_1$ （进入波速更大的介质）时，反射系数 $\tilde{B}/\tilde{A} > 0$ ，无相位反转；当时，，反射波有的相位反转。光从空气射向玻璃时反射波会发生相位反转，这正是薄膜干涉中需要考虑的半波损失。

能量守恒体现为反射率 $R$ 与透射率 $T$ 之和等于 1：

R = \left(\frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\right)^2, \qquad T = \frac{4v_1 v_2}{(v_1 + v_2)^2}, \qquad R + T = 1

极化

横波（振动方向垂直于传播方向的波）有一个额外的自由度：振动可以在垂直于传播方向的平面内指向任意方向，这就是极化（偏振）。

沿 $z$ 方向传播的横波，振动方向在 $xy$ 平面内，可以分解为两个正交分量：

\mathbf{f}(z,t) = A_x\cos(kz-\omega t + \delta_x)\hat{x} + A_y\cos(kz-\omega t + \delta_y)\hat{y}

电磁波是横波，光的偏振现象（液晶显示屏、偏光眼镜、摄影滤镜）都基于这一性质。

真空中的电磁波

麦克斯韦方程组的一个重大成果，是从纯粹的场方程推导出电磁波的存在。这不依赖任何实验参数，只需要 $\varepsilon_0$ 和 $\mu_0$ 两个常数，便可预言电磁波的速度等于光速。

从麦克斯韦方程组推导波动方程

在没有自由电荷和自由电流的真空中（ $\rho = 0$ ， $\mathbf{J} = \mathbf{0}$ ），麦克斯韦方程组简化为：

\nabla\cdot\mathbf{E} = 0, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0

\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

对法拉第定律两边取旋度，利用矢量恒等式 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}$ ，再代入 $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ 及修正安培定律，得到

\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

对 $\mathbf{B}$ 做同样处理得到形式完全相同的方程。对比标准波动方程，传播速度为

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi\times10^{-7}\times8.85\times10^{-12}}} \approx 3.00\times10^8\;\mathrm{m/s}

麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，传播速度恰好等于光速。这一结果表明：光是一种电磁波，不需要任何传播介质。麦克斯韦在1865年完成这一推导，比赫兹的实验验证早了整整23年。

单色平面波的结构

沿单位矢量 $\hat{n}$ 方向传播的单色平面波，写为

\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}, \qquad \mathbf{k} = \frac{\omega}{c}\hat{n}

（取实部理解为真实物理量）。将此解代入无源麦克斯韦方程组，可以推导出三个关键关系：

\hat{n}\cdot\mathbf{E}_0 = 0, \qquad \hat{n}\cdot\mathbf{B}_0 = 0, \qquad \mathbf{B} = \frac{1}{c}(\hat{n}\times\mathbf{E})

以沿 $+z$ 方向传播的 $x$ 偏振波为例：

\mathbf{E}(z,t) = E_0\cos(kz - \omega t)\,\hat{x}, \qquad \mathbf{B}(z,t) = \frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}

两个场在时间和空间上完全同相位，同步达到峰值和零值。

电磁波的能量与动量

真空中电磁波的瞬时能量密度为

u = \varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}

对平面波，电场与磁场各贡献相等的能量密度。平均强度（平均坡印廷矢量）为

I = \langle S\rangle = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2

电磁波携带动量，单位体积内的动量密度为

\mathbf{g} = \frac{\mathbf{S}}{c^2} = \varepsilon_0(\mathbf{E}\times\mathbf{B})

当电磁波完全被物体吸收时，对单位面积施加的辐射压强为 $P = I/c$ ；完全反射时压强加倍： $P = 2I/c$ 。

辐射压强在宏观条件下极小，但在太阳帆推进、激光冷却原子等前沿技术中发挥着重要作用。

介质中的电磁波

电磁波从真空进入玻璃、水或其他介质后，传播速度减慢，在界面处发生折射和反射。这正是透镜能聚焦光线、棱镜能分解白光的物理根源。

线性介质中的传播

在线性均匀介质中（介电常数 $\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0$ ，磁导率 $\mu = \mu_r\mu_0$ ），用和替换和，波动方程形式不变，但传播速度变为

v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} = \frac{c}{n}

其中折射率 $n = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$ 。大多数光学材料（玻璃、水等）磁响应很弱（），故。

折射率的静电值（由低频介电常数 $\sqrt{\varepsilon_r}$ 得到）与光学折射率往往差异显著。例如水的静电 $\varepsilon_r \approx 80$ ，但光学折射率，对应。这是因为折射率是频率依赖量：高频时，极性分子来不及取向响应，介电常数大幅降低。

正入射时的反射与透射

一列平面电磁波以垂直于界面的方向（正入射）从介质 1（折射率 $n_1$ ）射入介质 2（折射率 $n_2$ ）。边界条件要求界面处 $E_t$ （切向电场）和 $H_t$ （切向磁场）连续，由此得到：

r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, \qquad t = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}

对应的反射率（能量之比）和透射率为

R = r^2 = \left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2, \qquad T = \frac{n_2}{n_1}t^2 = \frac{4n_1 n_2}{(n_1+n_2)^2}

可以验证 $R + T = 1$ ，能量守恒严格成立。

普通玻璃每个界面反射约 4% 的光，这就是窗玻璃在强光侧可以看到反射像的原因。相机镜头有多片镜片，累积反射损失不可忽略，因此需要镀增透膜来减少损失。

注意 $r$ 可以为负值（当 $n_1 < n_2$ 时），表示反射电场相位反转了 $\pi$ ——这就是光学中的“半波损失”。 $t$ 始终为正，透射电场无相位跳变。

斜入射与斯涅尔定律

当光以入射角 $\theta_I$ （相对于法线量起）斜射到界面时，透射角 $\theta_T$ 由斯涅尔定律决定：

n_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_T

当光从光密介质（较大折射率 $n_1$ ）射向光疏介质（较小折射率 $n_2$ ），存在全内反射：当入射角超过临界角 $\theta_c$ 后，光完全无法透射出去，全部在界面处反射回介质 1 内部。临界角满足

\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}

光纤通信正是利用全内反射：光信号在玻璃纤芯内以超过临界角的方式传播，能量被全部“锁”在纤芯中，几乎无损耗地沿弯曲的光纤传输几十千米。金刚石临界角仅 $24.4°$ ，极易触发全内反射，被切割成多刻面后进入的光经历多次全内反射，产生强烈闪耀。

吸收与色散

电磁波在实际介质中传播时，能量会被部分吸收，不同频率的波速也不相同。这两种效应——吸收与色散——决定了金属为何不透明、彩虹为何有颜色。

导体中的电磁波与趋肤效应

金属导体内有大量自由电子，电导率 $\sigma$ 很大。在导体内欧姆定律 $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$ 成立，修正安培定律变为

\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\sigma\mathbf{E} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

将形如 $e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}$ 的试探解代入导体内的波动方程，得到复波矢满足

\tilde{k}^2 = \mu_0\varepsilon_0\omega^2 + i\mu_0\sigma\omega

将 $\tilde{k} = \kappa + i\alpha$ 分开实部和虚部，对良导体（ $\sigma \gg \varepsilon_0\omega$ ）近似得到

\kappa \approx \alpha \approx \sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}}

电场振幅沿传播方向的衰减因子为 $e^{-\alpha z}$ ，定义趋肤深度（穿透深度）：

d = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\sigma\omega}}

振幅降到界面处 $1/e \approx 37\%$ 时对应的深度即为趋肤深度。

工频（50 Hz）电流在铜导线中的趋肤深度约为 9 mm，这正是为什么大截面高压输电线要使用绞线而非实心棒——电流主要集中在表面层，芯部几乎无贡献。射频电路中趋肤效应尤为显著，导体实际利用截面极薄，高频阻抗远大于直流电阻。

导体表面的反射

良导体对电磁波的吸收极强，但正因为入射波在极薄的表层内就被强烈衰减（同时驱动表层电流），向外辐射的反射波也非常强。金属之所以看起来有光泽，正是因为其对光的高反射率。

将菲涅耳公式推广，用复折射率 $\tilde{n} = n + i\kappa$ （虚部 $\kappa$ 描述衰减）替代实折射率，可以计算导体表面的反射率。对良导体， $\tilde{n}$ 的虚部远大于实部，反射率接近 1。铜对可见光的反射率约为 90%～98%，对红外线更高。

趋肤效应和高反射率是同一物理机制的两个侧面：自由电子对入射电磁场的强响应，一方面使电磁波在导体内迅速衰减（趋肤效应），另一方面驱动表面电流向外辐射出强反射波（高反射率）。金属不透明，是因为吸收强；金属有光泽，是因为反射强。

色散与折射率的频率依赖

实际介质的折射率随频率变化，称为色散。棱镜将白光分解成七色光谱、雨后彩虹、光纤中不同频率信号的传播速度差异，都是色散的体现。

将介质中的束缚电子视为弹簧振子，在外场驱动下作受迫振动，可以推导出折射率的频率依赖关系：

n^2(\omega) \approx 1 + \frac{Ne^2}{m_e\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}

其中 $N$ 是电子密度， $\omega_0$ 是振子的固有频率（谐振频率）。

可见光在玻璃中处于正常色散区（蓝光折射率大于红光），这解释了棱镜分光：频率较高的蓝紫光偏折更多，频率较低的红光偏折较少。雨后彩虹中，水滴扮演棱镜的角色，将太阳光按频率分开，红色在外弧、紫色在内弧。

练习

选择题

题一（平面电磁波的基本性质）

真空中，一列沿 $+z$ 方向传播的单色平面电磁波，其电场 $\mathbf{E}$ 沿 $\hat{x}$ 方向振动。下列说法正确的是

A. 磁场 $\mathbf{B}$ 沿 $+z$ 方向振动 B. $\mathbf{B}$ 沿 $\hat{y}$ 方向振动，且 $B_0 = E_0/c$ C. D. 与相差相位

答案：B

由平面波的性质 $\mathbf{B} = (\hat{n}\times\mathbf{E})/c$ ，传播方向 $\hat{n} = \hat{z}$ ，电场，则

题二（菲涅耳公式与反射率）

一列单色光从空气（ $n_1 = 1.0$ ）正入射到折射率 $n_2 = 1.5$ 的玻璃表面，该界面的反射率最接近

A. 1% B. 4% C. 16% D. 50%

答案：B

由菲涅耳公式，正入射反射率为

$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 = \left(\frac{1.0 - 1.5}{1.0 + 1.5}\right)^2 = \left(\frac{-0.5}{2.5}\right)^2 = (0.2)^2 = 4\%$

题三（全内反射与光纤）

光纤纤芯折射率 $n_1 = 1.52$ ，包层折射率 $n_2 = 1.48$ ，光在纤芯与包层界面的全内反射临界角 $\theta_c$ 最接近

A. $46°$ B. $60°$ C. $77°$ D. $90°$

答案：C

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.48}{1.52} \approx 0.974$

题四（趋肤效应与频率的关系）

某导体在频率 $f_1 = 50\;\mathrm{Hz}$ 时趋肤深度为 $d_1$ ，当频率变为 $f_2 = 5000\;\mathrm{Hz}$ （增大 100 倍）时，趋肤深度变为

A. $100\,d_1$ B. $10\,d_1$ C. $d_1/10$ D.

答案：C

趋肤深度 $d = \sqrt{2/(\mu_0\sigma\omega)}$ ，其中 $\omega = 2\pi f$ ，故：

计算题

题五（正弦平面波的参数计算）

真空中一列沿 $+z$ 方向传播的线偏振电磁波，电场为 $\mathbf{E} = 300\cos(kz - 6\pi\times10^8\, t)\,\hat{x}\;\mathrm{V/m}$ （，，）。求：① 角频率和频率；② 波数和波长；③ 磁场的表达式；④ 平均能量流密度（光强）。

① 角频率与频率

由表达式直接读出 $\omega = 6\pi\times10^8\;\mathrm{rad/s}$ ，

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi\times10^8}{2\pi} = 3\times10^8\;\mathrm{Hz} = 300\;\mathrm{MHz}$

题六（菲涅耳公式与全内反射的综合应用）

一束激光从折射率 $n_1 = 1.60$ 的玻璃射向折射率 $n_2 = 1.00$ 的空气界面。求：① 该界面的全内反射临界角 $\theta_c$ ；② 正入射（）时的反射率和透射率；③ 验证能量守恒；④ 若在玻璃与空气之间加一层折射率的增透膜，厚度为四分之一光学波长，定性说明其减反射的原理。

① 全内反射临界角

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{1.60} = 0.625$

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