相对论与电磁学的联系

19世纪初，奥斯特发现导线通电后旁边的指南针发生偏转，安培随后整理出电流之间的相互作用规律，法拉第又发现变化的磁场能够产生电流。这些实验事实一件件地被积累下来，麦克斯韦在1865年将它们统一写成了四个方程。然而有一个问题始终悬而未决：为什么运动的电荷会产生磁场？“运动”相对于谁？不同的观察者看到的力相同吗？1905年，爱因斯坦给出了根本性的回答——电场和磁场并非两种独立的力，而是同一事物在不同参考系中的不同面貌，磁力本质上是相对论性的电力。

磁场的相对论起源

奥斯特实验背后的谜题

1820年，奥斯特在一次演示中发现：当导线通电时，放在旁边的指南针会发生偏转，断开电流后指南针复原。这个现象说明电流周围存在磁场，能对小磁针施加力矩。

但这里有一个微妙的问题。若把导线旁的小磁针换成一个静止的正电荷，通电导线虽然有磁场，对这个静止电荷却没有磁力（$\mathbf{F} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$，速度为零时力为零）。如果让正电荷以速度 $v$ 沿导线方向运动，磁力才会出现，将电荷推向导线或推离导线。

这里就产生了一个疑问：同样是正电荷与导线的物理关系，为什么静止时没有力，运动时却有？这种力的有无，难道仅仅取决于观察者的运动状态？

载流导线旁的受力——实验室参考系

取一段无限长直导线，通有电流 $I$（习惯上规定电流向右为正，实际是电子向左漂移）。导线中正离子不动，电子以漂移速度 $u$ 向左缓慢移动。宏观上，导线呈电中性：单位长度上正电荷线密度 $+\lambda_0$ 与负电荷线密度 $-\lambda_0$ 精确抵消。

在距导线 $r$ 处有一正电荷 $q$，以速度 $v$（方向与电流同向，即向右）运动。在实验室参考系中：

由于导线电中性，净电场为零，电力为零。但电流产生磁场，由安培定律：

磁场方向由右手定则确定（对于向右的电流，在电荷处方向垂直纸面向外或向内，视具体位置而定）。运动电荷受到洛伦兹力：

方向指向导线（假设 $v$ 与 $I$ 同向，则力吸引）。

在电荷静止的参考系中重新分析

现在换一个角度——跟着那个正电荷一起运动，进入它的静止参考系（记为 $S'$，相对实验室以速度 $v$ 向右运动）。

在这个参考系中，正电荷是静止的，磁力公式中 $\mathbf{v} = 0$，磁力自然为零。但物理结果不能因参考系的选择而改变——在实验室参考系中确实存在的力，在 $S'$ 中应当同样存在，只是换了一种形式表现出来。答案来自长度收缩。

在实验室参考系中：正离子静止，电子以速度 $u$ 向左运动。两者线密度相等，导线中性。

切换到 $S'$ 参考系（以速度 $v$ 向右运动）：

正离子在 $S'$ 中以速度 $v$ 向左运动，发生长度收缩，间距变小，单位长度上的正离子数增多，线密度增大为

电子原来在实验室中以速度 $u$ 向左运动，在 $S'$ 中速度发生相对论合成，变为另一个值 $u'$，对应不同的收缩因子 $\gamma_{u'}$，线密度变为

由于正离子和电子的速度变换方式不同，$\gamma_v \neq \gamma_{u'}$，两者线密度不再相等，导线出现净电荷。经过仔细的相对论计算（精确到一阶 $v/c$ 近似），净线密度为

净电荷产生电场，对静止正电荷 $q$ 施加电力。计算结果与实验室中的磁力大小相等——这并不是巧合，而是深刻的必然。

两个参考系的对比

这张表格说明：不存在“纯粹的电场”或“纯粹的磁场”，它们总是相对于某个参考系而言的。换一个参考系，电场和磁场的分量会重新混合。

电磁场的变换规律

场分量如何随参考系变化

设 $S'$ 参考系相对于 $S$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴方向匀速运动。若在 $S$ 中已知电场 $\mathbf{E}$ 和磁场 $\mathbf{B}$，则在 中测量到的场分量为

其中 $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ 是洛伦兹因子。

这组变换公式揭示了一个根本性的事实：电场与磁场之间存在“混合”——在一个参考系中纯粹是电场（$\mathbf{B} = 0$），换一个参考系后就同时存在电场和磁场。反之亦然。

从静止点电荷的电场“看出”磁场

取一个在 $S$ 系中静止的正点电荷 $q$。在 $S$ 系中，只有电场（库仑场），没有磁场：

现在切换到以速度 $v$（沿 $x$ 轴）运动的 $S'$ 参考系。在 $S'$ 看来，点电荷以速度 $-v$ 运动，等效为一段电流。根据上面的场变换公式，$$ 中会出现磁场分量（以 方向为例）：

这就是运动电荷在其周围产生磁场的根本原因：观察者“运动”起来之后，原本为零的磁场分量变为非零。

两个不变量

虽然 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 各分量在不同参考系下会变化，但以下两个量在所有惯性参考系中的数值保持不变：

这两个不变量具有重要的物理意义：若在某参考系中 $\mathbf{E}\perp\mathbf{B}$（两者垂直），那么在任何其他参考系中也垂直；若在某参考系中 $E = cB$（平面电磁波的特征），则在任何参考系中均满足此关系。

麦克斯韦方程组的相对论地位

方程组预言了光速

麦克斯韦在1865年写下了他的方程组，其中包含位移电流项。他随后推导出，在真空中，电场和磁场满足波动方程，波速为

代入真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\;\mathrm{H/m}$ 和真空电容率 $\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}$，得到

这与当时已知的光速测量值高度吻合。麦克斯韦由此断定光就是电磁波。

这里有一个隐含的麻烦：$c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ 中没有出现“相对于什么参考系”的说明。按照经典力学的伽利略相对性原理，波速应该相对于传播介质（以太）而言。但无论物理学家怎样寻找以太，实验结果都是否定的（1887年迈克尔逊-莫雷实验）。

方程组天然满足洛伦兹变换

1905年，爱因斯坦以光速不变原理为出发点重新建立时空理论，得到洛伦兹变换取代伽利略变换。随后人们验证了一件意义深远的事实：麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下形式不变——即在任何惯性参考系中，麦克斯韦方程组写出来都是完全相同的四个方程。

这种性质称为洛伦兹协变性。麦克斯韦在1865年写下这四个方程时，并不知道相对论，但他的方程组已经内置了相对论的对称性。相比之下，牛顿力学在高速情形下需要修正（$F = ma$ 在接近光速时不再成立），而麦克斯韦方程组从一开始就是精确的。

电磁场张量——统一的数学表达

在四维时空（三个空间维度 + 一个时间维度）中，电场和磁场的六个分量（$E_x, E_y, E_z, B_x, B_y, B_z$）可以组合成一个统一的 ，它是一个 的反对称矩阵：

麦克斯韦方程组的四个方程可以极其简洁地用张量缩写表达。更重要的是，在不同参考系之间的变换，就是对这个张量做坐标旋转——与三维空间中矢量旋转的方式完全类似。电场和磁场的“混合”，不过是四维时空中的一次“旋转”。

一个数字例子：高速运动的质子

一个质子以速度 $v = 0.6c$ 在真空中沿 $x$ 轴正方向运动。在实验室参考系中，质子的电荷量 $q = 1.6\times10^{-19}\;\mathrm{C}$，在距运动方向垂直距离 $r = 1\;\mathrm{m}$ 处，实验室测得的电场和磁场分别为

高速运动的带电粒子周围，不仅电场因为洛伦兹收缩而变强，还同时出现了磁场——这正是粒子加速器中高能粒子束对周围物质产生强烈影响的原因之一。

统一图景的意义

电与磁，时与空

相对论对电磁学的最大贡献，是揭示了两对表面上独立的概念其实是同一事物的两个侧面：

就像三维空间中，“向东”和“向北”并不是两种不同的物理概念，只是坐标系方向不同时对同一方向的不同称呼；电场和磁场也不是两种物理实体，只是四维时空中同一个电磁场的不同“投影”。

光速 $c$ 的物理地位

真空中的光速 $c \approx 3.00\times10^8\;\mathrm{m/s}$ 在电磁学中多次出现：

这三处出现并非偶然——它们都指向同一个事实：$c$ 是连接电场量纲与磁场量纲、连接空间与时间的基本常数。在采用自然单位制（令 $c = 1$）的理论物理中，电场 $E$ 与磁场 $B$ 具有完全相同的量纲，对称性一目了然。

练习

选择题

• 题一（磁力与参考系的关系）

一个正电荷 $q$ 在实验室参考系中以速度 $v$ 平行于一根通电导线运动，受到洛伦兹磁力 $F$。若观察者换到与该电荷一起运动的参考系中，观察到的情况是

A. 电荷不受任何力，因为在其参考系中 $v = 0$

B. 电荷受到一个大小约为 $F$ 的电力，导线显示有净电荷

C. 电荷受到的磁力不变，仍为 $F$

D. 无法判断，因为相对论禁止在运动参考系中讨论电磁力

• 题二（场的变换方向）

在 $S$ 参考系中，某区域只有匀强电场 $\mathbf{E} = E_0\hat{y}$，磁场为零。现在 $S'$ 参考系相对于 以速度 （沿 方向）运动。在 中，以下哪项描述正确？

A. 仍只有电场，磁场依然为零

B. 电场消失，只有磁场

C. 既有电场，又出现了磁场分量 $B'_z$

D. 既有电场，又出现了磁场分量 $B'_x$

• 题三（麦克斯韦方程组与相对论）

关于麦克斯韦方程组与狭义相对论的关系，以下说法正确的是

A. 麦克斯韦方程组在牛顿力学的伽利略变换下形式不变，与相对论无关

B. 麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下形式不变，是天然的洛伦兹协变方程组

C. 麦克斯韦方程组在高速情况下需要修正，才能满足相对论

D. 相对论是在麦克斯韦方程组的基础上，通过添加修正项得到的

• 题四（电磁不变量）

在某参考系中，已知某点的电场与磁场满足 $\mathbf{E}\perp\mathbf{B}$（互相垂直）且 $E = cB$。在另一个做匀速直线运动的参考系中，该点的电场和磁场将

A. $\mathbf{E}' \parallel \mathbf{B}'$（变为平行）

B. 仍然 $\mathbf{E}'\perp\mathbf{B}'$ 且 $E' = cB'$

C. $\mathbf{E}' \parallel \mathbf{B}'$ 且 $E' = cB'$

D. 无法判断，因为两个量都会改变

计算题

• 题五（场变换的数值计算）

在实验室参考系 $S$ 中，某区域存在匀强电场 $E_y = 1000\;\mathrm{V/m}$（沿 $y$ 轴正方向），其余分量为零，磁场为零。参考系 $S'$ 相对于 以速度 沿 轴正方向运动（）。

求 $S'$ 中的电场和磁场各分量，并说明物理含义。

• 题六（载流导线旁的磁力与电力等效）

在实验室参考系 $S$ 中，一根无限长直导线沿 $x$ 轴放置，通有电流 $I = 10\;\mathrm{A}$（正方向为 $+x$）。导线在宏观上呈电中性，正离子线密度 $\lambda_0 = 1\times10^{-6}\;\mathrm{C/m}$，电子以漂移速度 （向 方向）运动，电流 。

一个正电荷 $q = 2\times10^{-9}\;\mathrm{C}$ 在距导线 $r = 0.1\;\mathrm{m}$ 处，以速度 $v = 1000\;\mathrm{m/s}$ 沿 方向运动（，可使用非相对论近似）（，，）。

① 在实验室参考系 $S$ 中，计算导线在 $r = 0.1\;\mathrm{m}$ 处产生的磁场 $B$，以及对该运动电荷的磁力 $F$。

② 在非相对论近似（$v \ll c$）下，用 $\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2) \approx 1$ 的近似，估算在与电荷一起运动的参考系 中，导线出现的净线密度 （用课文中的近似公式），以及对应的电场 和电力 ，验证 。

$B'_z = \gamma\!\left(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\right) = \gamma\!\left(0 - \frac{v E_0}{c^2}\right) = -\frac{\gamma v E_0}{c^2}$

沿 $x$ 方向的分量 $B'_x = 0$ 不变。因此 $S'$ 中出现了 $B'_z$ 分量，选 C。这说明纯电场在运动参考系中“混入”了磁场分量。

若 $E = cB$，则 $E^2 - c^2 B^2 = 0$，这同样是洛伦兹不变量，在任何参考系中都为零，故 $E' = cB'$。

平面电磁波恰好满足这两个条件，因此在任何惯性参考系中，平面电磁波仍然表现为平面电磁波。选 B。

• 各分量变换

平行于运动方向（$x$ 方向）的电场分量不变：

$E'_x = E_x = 0$

垂直方向电场分量增强：

$E'_y = \gamma(E_y - vB_z) = 1.25\times(1000 - 0) = 1250\;\mathrm{V/m}$

$E'_z = \gamma(E_z + vB_y) = 1.25\times(0 + 0) = 0$

磁场各分量：

$B'_x = B_x = 0$

$B'_y = \gamma\!\left(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\right) = 1.25\times\left(0 + \frac{0.6c}{c^2}\times0\right) = 0$

$B'_z = \gamma\!\left(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\right) = 1.25\times\left(0 - \frac{0.6\times3\times10^8}{(3\times10^8)^2}\times1000\right)$

$= 1.25\times\left(-\frac{0.6\times1000}{3\times10^8}\right) = 1.25\times(-2\times10^{-6}) = -2.5\times10^{-6}\;\mathrm{T}$

• 汇总结果

• 物理含义

在实验室 $S$ 中只有纯电场，但在运动参考系 $S'$ 中，同样的电荷分布既产生了增强的电场（$E'_y = 1250\;\mathrm{V/m}$，比原来增大25%），还出现了磁场分量（$B'_z \approx -2.5\;\mathrm{\mu T}$）。这正是电场和磁场相互混合的体现。

验证不变量：$E^2 - c^2 B^2$ 在 $S$ 中为 $(1000)^2 = 10^6\;\mathrm{(V/m)^2}$，在 $S'$ 中为 $(1250)^2 - (3\times10^8)^2\times(2.5\times10^{-6})^2 = 1562500 - 562500 = 10^6\;\mathrm{(V/m)^2}$，两者一致。

磁力（电荷速度与电流同向，力指向导线，即吸引）：

$F = qvB = 2\times10^{-9}\times1000\times2\times10^{-5} = 4\times10^{-11}\;\mathrm{N}$

方向：指向导线（吸引力）。

• ② 运动参考系中的电力

电子漂移速度（$I = \lambda_0 u$）：

$u = \frac{I}{\lambda_0} = \frac{10}{1\times10^{-6}} = 10^7\;\mathrm{m/s}$

（注：此值偏大，实际铜导线中 $u \sim 10^{-4}\;\mathrm{m/s}$，这里选取较大的 $\lambda_0$ 是为了便于计算说明原理）

按课文近似公式，$S'$ 中净线密度（一阶近似）：

$\lambda_{\rm net} \approx -\frac{\gamma_v \lambda_0 u v}{c^2} \approx -\frac{\lambda_0 u v}{c^2} \quad (\gamma_v \approx 1)$

$= -\frac{1\times10^{-6}\times10^7\times1000}{(3\times10^8)^2} = -\frac{10^4}{9\times10^{16}} \approx -1.11\times10^{-13}\;\mathrm{C/m}$

（负号表示净负电荷，对正电荷 $q$ 是吸引力）

$S'$ 中对应的电场（无限长带电线）：

$E' = \frac{|\lambda_{\rm net}|}{2\pi\varepsilon_0 r} = \frac{1.11\times10^{-13}}{2\pi\times8.85\times10^{-12}\times0.1} = \frac{1.11\times10^{-13}}{5.56\times10^{-12}} \approx 0.020\;\mathrm{V/m}$

电力：

$F' = qE' = 2\times10^{-9}\times0.020 = 4\times10^{-11}\;\mathrm{N}$

• 结果比较

$F = 4\times10^{-11}\;\mathrm{N} \approx F' = 4\times10^{-11}\;\mathrm{N}$

两个参考系中的力大小相等，方向均为指向导线（吸引）。在实验室中是磁力，在电荷的参考系中是电力，但力的物理效果完全相同。这验证了磁力的相对论本质。