光学与近代物理导论

光是人类认识世界最直接的媒介。从阳光照射产生的彩虹，到眼镜和显微镜的设计，再到激光、X射线、核能的发现——光学与近代物理的发展深刻改变了科学和技术的面貌。几何光学用简洁的反射、折射定律描述光线的传播路径；波动光学揭示了光的干涉和衍射，证明光具有波的本性；而20世纪初兴起的近代物理，则颠覆了经典时空观，揭示了光与物质在微观尺度上的全新规律。

反射与折射

光在均匀介质中沿直线传播。当光线遇到两种介质的交界面时，一部分光返回原介质，称为反射；另一部分光进入第二种介质，传播方向发生改变，称为折射。

反射定律：入射角等于反射角，入射光线、反射光线与法线三者共面。

$\theta_i = \theta_r$

折射定律（斯涅尔定律）：光从介质1进入介质2时，入射角 $\theta_1$ 与折射角 $\theta_2$ 满足：

$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$

其中 $n$ 为介质的折射率，定义为光在真空中速度 $c$ 与在该介质中速度 $v$ 的比值：

$n = \frac{c}{v}$

折射率越大，光在该介质中速度越慢，偏折越明显。

当光从光密介质（折射率较大）射向光疏介质（折射率较小）时，折射角大于入射角。当入射角增大到某一临界角 $\theta_c$ 时，折射角达到 $90°$，折射光线消失，光线全部反回原介质——这称为全反射。临界角满足：

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$

光导纤维（光纤）正是利用全反射原理，让光在纤维内部不断全反射，从而无损耗地传输信号。

例1　光从玻璃射向空气的全反射临界角

玻璃折射率 $n_1 = 1.50$，空气折射率 $n_2 = 1.00$。

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{1.50} = 0.667$

$\theta_c = \arcsin(0.667) \approx 41.8°$

当光在玻璃中的入射角超过 $41.8°$ 时，就会发生全反射，光不再折射进入空气。

透镜成像

透镜是利用折射使光线汇聚或发散的光学元件。凸透镜（会聚透镜）使平行光汇聚于焦点；凹透镜（发散透镜）使平行光发散，其延长线交于虚焦点。

透镜成像遵循薄透镜公式：

$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$

其中 $u$ 为物距（物体到透镜的距离，取负值），$v$ 为像距（像到透镜的距离），$f$ 为焦距（凸透镜为正，凹透镜为负）。注意：采用符号约定时，实物 $u < 0$，实像 $v > 0$，虚像 $v < 0$。

横向放大率 $m$ 表示像的高度与物的高度之比：

$m = -\frac{v}{u} = \frac{\text{像高}}{\text{物高}}$

$|m| > 1$ 表示放大，$|m| < 1$ 表示缩小；$m > 0$ 表示正立，$m < 0$ 表示倒立。

例2　凸透镜成像计算

凸透镜焦距 $f = 20\,\text{cm}$，物体置于透镜前 $30\,\text{cm}$ 处（取 $u = -30\,\text{cm}$）。

$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3}{60} - \frac{2}{60} = \frac{1}{60}$

$v = 60\,\text{cm}$

像距为正，说明成实像，在透镜另一侧 $60\,\text{cm}$ 处。放大率：

$m = -\frac{v}{u} = -\frac{60}{-30} = 2$

像是倒立、放大2倍的实像，这正是幻灯机（投影仪）的工作原理。

光的干涉与衍射

光具有波动性。当两列频率相同、相位差恒定的光波叠加时，会产生干涉现象，在空间某些区域出现光强增强（亮纹），某些区域出现光强减弱甚至消失（暗纹）。同样，波遇到障碍物或缝隙会发生衍射，改变其传播方向。

常见的三种光学干涉与衍射现象如下：

1. 杨氏双缝干涉
   用单色光照射相距 $d$ 的两条细缝 $S_1$、$S_2$，在距离双缝 $L$ 处的屏上形成明暗相间的条纹。两缝到屏上某点的路程差 $\Delta r$ 决定该点是亮纹还是暗纹：

下面分别举例说明：

例1　双缝干涉条纹间距

用波长 $\lambda = 589\,\text{nm}$ 的钠黄光照射双缝，缝间距 $d = 0.5\,\text{mm}$，缝到屏的距离 $L = 2.0\,\text{m}$。

$\Delta y = \frac{L\lambda}{d} = \frac{2.0\times589\times10^{-9}}{0.5\times10^{-3}} = \frac{1.178\times10^{-6}}{5\times10^{-4}} = 2.36\times10^{-3}\,\text{m} \approx 2.4\,\text{mm}$

相邻条纹间距约 $2.4\,\text{mm}$，肉眼可见。条纹越密，说明波长越短或缝间距越大，这也是用双缝实验精密测量光波长的依据。

例2　薄膜干涉的彩色现象（简述）

肥皂泡在阳光下呈现彩色，就是因为不同厚度的薄膜在不同区域满足不同波长光的干涉加强条件。比如某区域的膜厚恰好让红光增强、蓝光消弱，则看到淡红色。这种色彩变化正是薄膜厚度、波长与干涉条件共同作用的结果。

例3　单缝衍射的分辨极限

若光通过一狭缝照射到屏幕上，缝宽 $a = 0.25\,\text{mm}$，波长 $\lambda = 650\,\text{nm}$，第一个暗纹满足： $\sin\theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{650\times 10^{-9}}{0.25\times 10^{-3}} = 2.6 \times 10^{-3}$ 即 。这决定了中央亮纹的宽度；仪器镜头的直径越大（ 增大），分辨极限 就越小，可辨别的细节就越丰富。

狭义相对论基础

1905年，爱因斯坦提出狭义相对论，基于两个基本假设：其一，物理规律在所有惯性参考系中具有相同的形式；其二，真空中光速 $c$ 在任何惯性参考系中都相同，与光源或观察者的运动状态无关。

这两个看似简单的假设，导致了对时间和空间的全新理解。

时间膨胀：在相对运动的参考系中，运动的时钟比静止的时钟走得慢。设某事件在其静止参考系中持续时间为 $\Delta t_0$（固有时间），在相对该参考系以速度 $v$ 运动的参考系中，观测到的时间为：

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0$

其中 $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \geq 1$ 称为， 时 ，即运动时钟变慢。

长度收缩：沿运动方向，物体的长度比其静止时的固有长度短：

$L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$

固有长度 $L_0$ 是在物体静止参考系中测量的长度，运动时测得的长度总是缩短的。

质能方程是狭义相对论最著名的结论：质量与能量本质上是同一事物的两种表现，可以互相转化：

$E = mc^2$

静止质量为 $m_0$ 的物体具有静止能量 $E_0 = m_0 c^2$；运动时总能量为 。核反应（裂变和聚变）中，少量质量转化为巨大能量，核电站和核武器都基于这一原理。

例4　宇宙射线缪子的寿命

地面实验室测得缪子（$\mu$ 子）的静止寿命约 $\tau_0 = 2.2\,\mu\text{s}$。宇宙射线产生的缪子以 $v = 0.998c$ 的速度向地面运动，从产生到衰变经历的时间为多少？能飞行多远？

洛伦兹因子：$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-0.998^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1-0.996}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.004}} \approx 15.8$

地面参考系中测得缪子寿命：

$\Delta t = \gamma\tau_0 = 15.8\times2.2\,\mu\text{s} = 34.7\,\mu\text{s}$

飞行距离：

$d = v\cdot\Delta t = 0.998\times3\times10^8\times34.7\times10^{-6} \approx 10.4\,\text{km}$

若无时间膨胀效应，缪子只能飞行约 $0.66\,\text{km}$ 便衰变，根本无法到达地面。实验测到地面存在大量缪子，正是时间膨胀效应存在的有力证据。

光电效应与光子

1905年，爱因斯坦用光子的概念解释了光电效应。当光照射金属表面时，如果光的频率足够高，金属表面会有电子逸出，这种现象称为光电效应。

经典波动理论无法解释两个关键实验事实：
第一，只有光的频率超过某一极限频率 $\nu_0$（与金属材料有关）时才能产生光电子，与光的强度无关；
第二，光电子的最大动能只与光的频率有关，与光的强度无关。

爱因斯坦提出，光是由一个个离散的能量包——光子——构成的。每个光子的能量为：

$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$

其中 $h = 6.626\times10^{-34}~\mathrm{J\,s}$ 是普朗克常量，$\nu$ 是光的频率，$\lambda$ 是波长。

光电效应方程：一个光子被一个电子吸收，电子克服金属的束缚能（逸出功 $W$）后，剩余能量成为电子的最大动能：

$E_k = h\nu - W = h\nu - h\nu_0$

例5　光电效应的最大初动能

钠金属的逸出功 $W = 2.28~\mathrm{eV}$，用波长 $\lambda = 330~\mathrm{nm}$ 的紫外光照射。求光电子的最大初动能（$1~\mathrm{eV} = 1.6\times10^{-19}~\mathrm{J}$，）。

光子能量：

$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63\times10^{-34}\times3\times10^8}{330\times10^{-9}} = 6.03\times10^{-19}~\mathrm{J} = \frac{6.03\times10^{-19}}{1.6\times10^{-19}}~\mathrm{eV} \approx 3.77~\mathrm{eV}$

最大初动能：

$E_k = E - W = 3.77 - 2.28 = 1.49~\mathrm{eV}$

波粒二象性与量子理论基础

德布罗意假设（1924年）将波粒二象性推广到所有粒子：不仅光子具有粒子性，电子、质子等实物粒子也具有波动性，其波长（德布罗意波长）为：

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$

其中 $p = mv$ 是粒子的动量。粒子质量越大、速度越快，波长越短，波动效应越不明显——这正是宏观物体不显示波动性的原因。

玻尔氢原子模型（1913年）解释了氢原子发出的特定谱线。玻尔假设电子只能在特定轨道上稳定运行，每条轨道对应一个特定能量（能级）：

$E_n = -\frac{13.6}{n^2}~\mathrm{eV} \quad (n = 1,\,2,\,3,\,\cdots)$

其中 $n$ 称为主量子数，$n=1$ 是基态（能量最低），$n \geq 2$ 是激发态。

当电子从高能级 $n_i$ 跃迁到低能级 $n_f$ 时，发射一个光子，光子能量等于两能级之差：

$h\nu = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)~\mathrm{eV}$

例6　氢原子能级跃迁

氢原子从 $n=3$ 跃迁到 $n=2$，发出的光子波长是多少？

$E_{n=3} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51~\mathrm{eV}, \quad E_{n=2} = -\frac{13.6}{4} = -3.40~\mathrm{eV}$

$h\nu = -1.51 - (-3.40) = 1.89~\mathrm{eV} = 1.89\times1.6\times10^{-19}~\mathrm{J} = 3.02\times10^{-19}~\mathrm{J}$

$\lambda = \frac{hc}{h\nu} = \frac{6.63\times10^{-34}\times3\times10^8}{3.02\times10^{-19}} \approx 659~\mathrm{nm}$

这正是氢原子巴尔末系的 $\mathrm{H}$-$\alpha$ 谱线，位于红色可见光区域，与实验测量值 $656~\mathrm{nm}$ 高度吻合。

海森堡不确定性原理（1927年）指出，在微观世界中，粒子的位置和动量不能同时被精确确定：

$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$

位置测量得越精确（$\Delta x$ 越小），动量的不确定性就越大（$\Delta p$ 越大），反之亦然。这不是测量仪器的精度问题，而是微观粒子的内禀性质。正是由于不确定性原理，电子不能精确地“停”在原子核上，从而维持了原子结构的稳定性。

练习题

选择题

第1题　光从折射率 $n_1 = 1.5$ 的玻璃射向折射率 $n_2 = 1.0$ 的空气，发生全反射的临界角约为（　　）

A. $30.0°$

B. $41.8°$

C. $48.6°$

D. $60.0°$

第2题　用波长 $\lambda = 600\,\text{nm}$ 的单色光做杨氏双缝干涉实验，双缝间距 $d = 0.3\,\text{mm}$，缝到屏距离 $L = 1.5\,\text{m}$，相邻明纹间距为（　　）

A. $1.0\,\text{mm}$

B. $2.0\,\text{mm}$

C. $3.0\,\text{mm}$

D. $4.0\,\text{mm}$

第3题　关于光电效应，以下说法正确的是（　　）

A. 只要光的强度足够大，任何频率的光都能产生光电效应

B. 光电子的最大初动能随入射光频率的增大而增大

C. 增大入射光的强度，光电子的最大初动能增大

D. 光电效应说明光只有粒子性，没有波动性

第4题　一飞船以 $v = 0.6c$ 的速度相对地面飞行，地面观测者测得飞船上一个事件持续时间为 $4\,\text{s}$，则飞船上宇航员测到该事件的持续时间为（　　）

A. $2.4\,\text{s}$

B. $3.2\,\text{s}$

C. $4.0\,\text{s}$

D. $5.0\,\text{s}$

计算题

第5题　一台照相机镜头的焦距为 $f = 50\,\text{mm}$，拍摄距镜头 $u = 2\,\text{m}$ 处的人像。

（1）求底片（传感器）到镜头的距离（像距）。

（2）若人身高 $H = 1.70\,\text{m}$，求底片上人像的高度。

（3）若将对焦距离改为 $u = 0.5\,\text{m}$（近距离拍摄），像距变为多少？

第6题　用波长 $\lambda = 400\,\text{nm}$ 的紫外光照射某金属，测得光电子的最大初动能为 $E_k = 1.10\,\mathrm{eV}$。（已知 $h = 6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$，，）

（1）求该金属的逸出功 $W$（单位：$\mathrm{eV}$）。

（2）求该金属发生光电效应的极限频率 $\nu_0$ 和极限波长 $\lambda_0$。

（3）若改用波长 $\lambda' = 300\,\text{nm}$ 的紫外光照射，光电子的最大初动能变为多少？

• 亮纹条件（加强）： $$\Delta r = m\lambda \quad (m = 0,\,\pm1,\,\pm2,\,\cdots)$$
• 暗纹条件（相消）： $$\Delta r = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0,\,\pm1,\,\pm2,\,\cdots)$$
• 相邻亮纹（或暗纹）之间的间距为： $$\Delta y = \frac{L\lambda}{d}$$

$\theta_c = \arcsin(0.667) \approx 41.8°$

选 B。当入射角超过 $41.8°$ 时，光在玻璃内发生全反射，不能进入空气。光纤就是利用这一原理实现光信号的无损传输。

选 C。条纹间距与波长和屏距成正比，与缝间距成反比。减小缝间距或增大屏距，条纹变稀；使用波长更短的蓝紫光，条纹更密。

$\Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{4}{1.25} = 3.2\,\text{s}$

选 B。运动时钟变慢——地面观测者测得事件持续时间更长，飞船上宇航员测得的固有时间更短。

$v = \frac{2000}{39} \approx 51.3\,\text{mm}$

底片到镜头的距离约为 $51.3\,\text{mm}$，略大于焦距。

（2）求像的高度：

放大率：

$m = -\frac{v}{u} = -\frac{51.3}{-2000} \approx 0.0256$

像高：

$h = |m|\times H = 0.0256\times1700\,\text{mm} \approx 43.5\,\text{mm}$

底片上人像高度约 $43.5\,\text{mm}$，是倒立缩小的实像（$|m| \ll 1$）。

（3）近距离拍摄时的像距：

$u = -500\,\text{mm}$：

$\frac{1}{v} = \frac{1}{50} + \frac{1}{-500} = \frac{10}{500} - \frac{1}{500} = \frac{9}{500}$

$v = \frac{500}{9} \approx 55.6\,\text{mm}$

近距离拍摄时像距增大，相机镜头需要向前伸出（增大像距），这正是微距摄影时镜头前伸的物理原因。

换算为电子伏特：

$E = \frac{4.97\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}} \approx 3.11\,\text{eV}$

由光电效应方程 $E_k = E - W$：

$W = E - E_k = 3.11 - 1.10 = 2.01\,\text{eV}$

（2）极限频率和极限波长：

极限频率时光子能量恰好等于逸出功（光电子初动能为零）：

$h\nu_0 = W = 2.01\times1.60\times10^{-19} = 3.22\times10^{-19}\,\text{J}$

$\nu_0 = \frac{3.22\times10^{-19}}{6.63\times10^{-34}} \approx 4.85\times10^{14}\,\text{Hz}$

极限波长：

$\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3.00\times10^8}{4.85\times10^{14}} \approx 6.19\times10^{-7}\,\text{m} = 619\,\text{nm}$

极限波长约 $619\,\text{nm}$，位于可见光红色波段，波长更长（频率更低）的光（如橙、红光和红外光）无法使该金属产生光电效应。

（3）改用 $\lambda' = 300\,\text{nm}$ 时的最大初动能：

新光子能量：

$E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{6.63\times10^{-34}\times3.00\times10^8}{300\times10^{-9}} = 6.63\times10^{-19}\,\text{J} = \frac{6.63\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}} \approx 4.14\,\text{eV}$

最大初动能：

$E_k' = E' - W = 4.14 - 2.01 = 2.13\,\text{eV}$

波长从 $400\,\text{nm}$ 缩短到 $300\,\text{nm}$，光子能量增大，光电子的最大初动能从 $1.10\,\text{eV}$ 增大到 $2.13\,\text{eV}$，约增大了 $0.93$ 倍。逸出功不变，说明这是金属材料本身的性质。