磁场与电磁感应

地球本身就是一块巨大的磁铁，指南针因此能辨别方向；发电机将机械能转化为电能，驱动着现代文明的运转；变压器让电力得以跨越千里输送到家家户户。运动的电荷产生磁场，变化的磁场产生电场，电与磁通过场的形式紧密相连，构成了电磁学最核心的图景。

磁场与磁感应强度

磁场是传递磁力的物质。磁场的强弱与方向用磁感应强度 $\vec{B}$ 描述，其大小称为磁感应强度，单位是特斯拉（$\text{T}$）。磁感线从北极出发，进入南极，磁感线越密集的地方磁场越强。

实验表明，在磁场中垂直于磁场方向放置一小段通有电流 $I$、长度为 $L$ 的导线，它所受到的力正比于 $I$、$L$ 和 $B$。由此定义磁感应强度：

$B = \frac{F}{IL}$

单位换算：$1\,\text{T} = 1\,\dfrac{\text{N}}{\text{A} \cdot \text{m}}$

洛伦兹力与带电粒子的圆周运动

带电量为 $q$、速度为 $v$ 的粒子在磁场中运动时，磁场对它施加一个力，称为洛伦兹力。当速度与磁场方向的夹角为 $\theta$ 时：

$F = qvB\sin\theta$

当速度与磁场垂直（$\theta = 90°$）时，洛伦兹力最大：

$F = qvB$

洛伦兹力的方向用左手定则判断：伸开左手，四指指向正电荷运动方向，磁感线从掌心穿入，大拇指所指方向即为洛伦兹力的方向。

当带电粒子以速度 $v$ 垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力充当向心力，粒子做匀速圆周运动。由向心力公式：

$qvB = \frac{mv^2}{r}$

解出圆周运动的半径：

$r = \frac{mv}{qB}$

粒子的运动周期为：

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$

周期只与粒子的质量和荷质比 $q/m$ 有关，与粒子速度无关。速度越大，半径越大，但转一圈的时间不变。这一特性是回旋加速器的工作基础。

例1　带电粒子在磁场中的圆周运动

一个质子（质量 $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$，电荷量 $q = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$）以速度 垂直射入磁感应强度 的匀强磁场。求圆周运动半径和周期。

$r = \frac{mv}{qB} = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.50} = \frac{3.34 \times 10^{-21}}{8.0 \times 10^{-20}} \approx 0.042\,\text{m}$

$T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.50} \approx 1.31 \times 10^{-7}\,\text{s}$

质子以约 $4.2\,\text{cm}$ 为半径做圆周运动。若将速度增大一倍，半径加倍，但周期仍约为 $1.31 \times 10^{-7}\,\text{s}$，保持不变。

安培力与载流导线

电流是大量电荷的定向运动，因此载流导线在磁场中也会受到力——安培力。对于长度为 $L$、通有电流 $I$、与磁场夹角为 $\theta$ 的直导线，安培力大小为：

$F = BIL\sin\theta$

当导线与磁场垂直（$\theta = 90°$）时安培力最大；当导线与磁场平行（$\theta = 0°$）时安培力为零。安培力的方向同样用左手定则判断。

例2　通电导线受到的安培力

一根长 $L = 0.5\,\text{m}$ 的导线，通有电流 $I = 4\,\text{A}$，放入磁感应强度 $B = 0.3\,\text{T}$ 的匀强磁场中，导线与磁场垂直（$\theta = 90°$）。求安培力大小。

$F = BIL\sin 90° = 0.3 \times 4 \times 0.5 \times 1 = 0.6\,\text{N}$

电动机正是利用通电线圈在磁场中受安培力转动，将电能转换为机械能。两根平行载流导线之间同样存在安培力相互作用：

毕奥—萨伐尔定律

任何电流都会在周围空间产生磁场。毕奥—萨伐尔定律描述了电流如何产生磁场：每一小段电流元对周围磁场的贡献可以叠加，总磁场是所有贡献的矢量和。

对两种常见电流分布，磁场有简洁的解析表达式。

无限长直导线：距导线 $r$ 处的磁感应强度：

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

圆形电流圆心处：半径为 $R$、通有电流 $I$ 的圆形导线，圆心处磁感应强度：

$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$

其中真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{T} \cdot \text{m/A}$。

两种情形的磁场方向均由右手定则确定：右手握住导线，大拇指指向电流方向，四指弯曲方向即为磁感线方向。

例3　长直导线周围的磁感应强度

一根通有电流 $I = 10\,\text{A}$ 的无限长直导线，求距导线 $r = 2\,\text{cm} = 0.02\,\text{m}$ 处的磁感应强度。

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.02} = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{4\pi \times 10^{-2}} = 1 \times 10^{-4}\,\text{T}$

距导线 $2\,\text{cm}$ 处磁场约为 $0.1\,\text{mT}$，是地球磁场的约两倍。

法拉第电磁感应定律与楞次定律

1831年，法拉第通过实验发现：穿过回路的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势——这就是电磁感应现象。

磁通量 $\Phi$ 定义为：

$\Phi = BS\cos\theta$

其中 $\theta$ 是磁场方向与线圈平面法线方向的夹角。磁通量的单位是韦伯（$\text{Wb}$），$1\,\text{Wb} = 1\,\text{T} \cdot \text{m}^2$。

法拉第电磁感应定律：感应电动势的大小等于磁通量对时间变化率的绝对值。对 $N$ 匝线圈：

$\varepsilon = N\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$

感应电动势的方向由楞次定律决定：感应电流产生的磁场，总是阻碍引起感应的磁通量变化。

例4　法拉第电磁感应定律的应用

一个面积 $S = 0.02\,\text{m}^2$ 的 $100$ 匝矩形线圈，磁场垂直穿过线圈平面。磁感应强度在 $\Delta t = 0.1\,\text{s}$ 内从 $B_1 = 0.5\,\text{T}$ 均匀增大到 ，求感应电动势大小。

每匝线圈的磁通量变化量：

$\Delta\Phi = (B_2 - B_1) \cdot S = (1.5 - 0.5) \times 0.02 = 0.02\,\text{Wb}$

感应电动势：

$\varepsilon = N\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = 100 \times \frac{0.02}{0.1} = 20\,\text{V}$

100匝线圈的感应电动势是单匝的100倍。多匝线圈正是电动机、发电机提高电压输出的关键结构。

自感与互感

• 自感是电磁感应的一种特殊情况：当一个线圈中的电流发生变化时，电流自身产生的变化磁场会在该线圈内感应出电动势，这个电动势称为自感电动势。

$\varepsilon_L = L\left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right|$

比例系数 $L$ 称为自感系数（电感量），单位是亨利（$\text{H}$）。$L$ 越大，线圈对电流变化的“阻碍”越强。

自感的方向遵循楞次定律：电流增大时，自感电动势阻碍增大；电流减小时，自感电动势阻碍减小。电感因此具有“电磁惯性”，能使电路中的电流变化变得平缓。

• 互感是两个线圈之间的电磁耦合：初级线圈中的电流变化，产生变化磁场穿过次级线圈，在次级中感应出电动势。变压器正是互感的核心应用。

例5　自感电动势的计算

一个自感系数 $L = 0.5\,\text{H}$ 的线圈，电流在 $\Delta t = 0.01\,\text{s}$ 内从 $I_1 = 2\,\text{A}$ 减小到 ，求自感电动势大小。

$\varepsilon_L = L\left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right| = 0.5 \times \frac{|0 - 2|}{0.01} = 0.5 \times 200 = 100\,\text{V}$

自感电动势高达 $100\,\text{V}$，远大于一般电源电压。日光灯启动时产生高压点燃灯管，正是利用了镇流器（电感）在电流突然变化时产生的高自感电动势。

交变电流与变压器

• 交变电流是大小和方向随时间周期性变化的电流，简称交流电。最常见的形式是正弦交流电，其电压和电流按正弦规律随时间变化：

$u = U_m\sin(\omega t), \qquad i = I_m\sin(\omega t)$

其中 $U_m$、$I_m$ 是峰值（最大值）；$\omega = 2\pi f$ 是角频率；中国电网频率为 $f = 50\,\text{Hz}$，即 。

交流电的实际做功能力用有效值衡量，有效值与峰值的关系为：

$U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}, \qquad I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

家用电压“$220\,\text{V}$”是有效值，对应的峰值约为 $311\,\text{V}$。

• 变压器利用互感原理改变交流电压。铁芯上绕有初级线圈（$N_1$ 匝）和次级线圈（$N_2$ 匝）。对于理想变压器（忽略铁芯损耗和线圈电阻）：

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}, \qquad \frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}$

输入功率等于输出功率：$U_1 I_1 = U_2 I_2$。

例6　变压器的计算

一台理想变压器，初级线圈 $N_1 = 1000$ 匝，接在 $U_1 = 220\,\text{V}$ 交流电源上；次级线圈 $N_2 = 50$ 匝，接负载电阻 。求次级电压、次级电流和初级电流。

次级输出电压：

$U_2 = U_1 \times \frac{N_2}{N_1} = 220 \times \frac{50}{1000} = 11\,\text{V}$

次级电流：

$I_2 = \frac{U_2}{R} = \frac{11}{11} = 1\,\text{A}$

初级电流：

$I_1 = I_2 \times \frac{N_2}{N_1} = 1 \times \frac{50}{1000} = 0.05\,\text{A}$

功率验证：$P_1 = U_1 I_1 = 220 \times 0.05 = 11\,\text{W}$，，输入等于输出，符合能量守恒。

练习题

选择题

第1题　一个带正电的粒子以速度 $v$ 垂直射入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。粒子在磁场中做圆周运动，以下关于洛伦兹力的说法正确的是（　　）

A. 洛伦兹力对粒子做正功，粒子速度大小增大

B. 洛伦兹力始终指向圆心，充当向心力，但不做功

C. 洛伦兹力方向始终向左，不随粒子运动而改变

D. 粒子的圆周运动半径与速度大小无关

第2题　一根长 $L = 1\,\text{m}$ 的直导线，通有电流 $I = 5\,\text{A}$，放入磁感应强度 $B = 0.4\,\text{T}$ 的匀强磁场中，导线与磁场方向夹角为 $30°$。该导线所受安培力大小为（　　）

A. $2\,\text{N}$

B. $1\,\text{N}$

C. $\sqrt{3}\,\text{N}$

D. $0.5\,\text{N}$

第3题　一个面积 $S = 0.1\,\text{m}^2$ 的 $100$ 匝线圈，磁场垂直穿过线圈平面。磁感应强度在 $0.5\,\text{s}$ 内均匀从 $0.2\,\text{T}$ 增大到 $0.4\,\text{T}$，线圈中感应电动势大小为（　　）

A. $0.04\,\text{V}$

B. $0.4\,\text{V}$

C. $4\,\text{V}$

D. $40\,\text{V}$

第4题　一台理想变压器，初级线圈 $N_1 = 500$ 匝，接 $220\,\text{V}$ 交流电；次级线圈 $N_2 = 100$ 匝，接负载后次级电流为 。以下说法正确的是（　　）

A. 次级输出电压为 $1100\,\text{V}$，为升压变压器

B. 次级输出电压为 $44\,\text{V}$，初级电流大于次级电流

C. 次级输出电压为 $44\,\text{V}$，初级电流为 $0.4\,\text{A}$

D. 变压器输出功率大于输入功率，是因为线圈匝数更少

计算题

第5题　一个质子（$m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$，$q_p = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$）和一个 粒子（质量 ，电荷量 ）以相同速度 垂直射入磁感应强度 的匀强磁场。

（1）分别求质子和 $\alpha$ 粒子的圆周运动半径。

（2）分别求二者的运动周期，并比较大小。

（3）若磁场区域宽度为 $d = 0.05\,\text{m}$，判断质子能否穿出磁场。

第6题　某输电系统将发电站的电能送至用户。发电机输出电压 $U_0 = 10000\,\text{V}$，经升压变压器升至 $U_1 = 200000\,\text{V}$ 后输电，输电线路总电阻 $R_{\text{线}}=100\mathrm{\Omega }$，输送总功率 。

（1）求高压输电时线路中的电流 $I_1$。

（2）求高压输电时线路上的电压损失 $\Delta U$ 和功率损耗 $\Delta P$。

（3）若不升压，直接以 $U_0 = 10000\,\text{V}$ 输送相同功率，线路功率损耗是多少？与高压输电相比增大了多少倍？

$\sin 30° = 0.5$，安培力为最大值（导线垂直磁场时 $F = BIL = 2\,\text{N}$）的一半。

选 B。

100匝线圈的感应电动势是单匝（$0.04\,\text{V}$）的100倍。

选 C。

初级电流：

$I_1 = I_2 \times \frac{N_2}{N_1} = 2 \times \frac{100}{500} = 0.4\,\text{A}$

A 错：$N_2 < N_1$，次级电压低于初级，为降压变压器，输出电压 $44\,\text{V}$ 而非 $1100\,\text{V}$。

B 错：降压变压器次级电流（$2\,\text{A}$）大于初级电流（$0.4\,\text{A}$），与题意相反。

C 正确。

D 错：理想变压器输出功率等于输入功率，不产生额外能量。

选 C。

$\alpha$ 粒子质量为质子4倍，电荷为质子2倍：

$r_\alpha = \frac{m_\alpha v}{q_\alpha B} = \frac{4m_p \cdot v}{2q_p \cdot B} = 2 \times r_p \approx 0.104\,\text{m}$

（2）运动周期：

质子周期：

$T_p = \frac{2\pi m_p}{q_p B} = \frac{2\pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.20} \approx 3.28 \times 10^{-7}\,\text{s}$

$\alpha$ 粒子周期：

$T_\alpha = \frac{2\pi m_\alpha}{q_\alpha B} = \frac{4m_p}{2q_p} \cdot \frac{2\pi}{B} = 2T_p \approx 6.56 \times 10^{-7}\,\text{s}$

$\alpha$ 粒子的周期是质子的2倍，周期更长。

（3）质子能否穿出磁场：

质子圆周半径 $r_p \approx 0.052\,\text{m} = 5.2\,\text{cm}$，磁场宽度 $d = 0.05\,\text{m} = 5.0\,\text{cm}$。

由于 $r_p > d$，质子能够穿出磁场，从另一侧射出后发生偏转。若 $r_p \leq d$，粒子将在磁场内完成半圆后原路返回，无法穿出。

（2）电压损失与功率损耗：

线路电压降：

$\Delta U = I_1 R_{\text{线}} = 10 \times 100 = 1000\,\text{V}$

线路功率损耗：

$\Delta P = I_1^2 R_{\text{线}} = 10^2 \times 100 = 10000\,\text{W} = 10\,\text{kW}$

损耗占输送功率的比例：$10\,\text{kW} / 2000\,\text{kW} = 0.5\%$，损耗极小。

（3）不升压直接输电的功率损耗：

输电电流：

$I_0 = \frac{P}{U_0} = \frac{2 \times 10^6}{10000} = 200\,\text{A}$

线路功率损耗：

$\Delta P_0 = I_0^2 R_{\text{线}} = 200^2 \times 100 = 4 \times 10^6\,\text{W} = 4000\,\text{kW}$

与高压输电相比，损耗增大：

$\frac{\Delta P_0}{\Delta P} = \frac{4000}{10} = 400\,\text{倍}$

高压输电将电流减小了 $200/10 = 20$ 倍，功率损耗（正比于电流的平方）因此减小了 $20^2 = 400$ 倍。远距离高压输电的必要性正在于此。