振动与机械波

自然界中有大量往复运动的现象：钟摆的摆动、吉他弦的振动、心脏的跳动、地震波的传播……这些运动看似复杂多样，却有共同的数学规律。振动是单个物体在某个平衡位置附近的周期性运动；当振动在弹性介质中传播时，就形成了机械波。从声音的传播到地震波的探测，从乐器的发声到桥梁的共振灾难，振动与波动的规律贯穿于工程与自然的每一个角落。

简谐振动

把一根弹簧的一端固定，另一端连接一个小滑块，放在光滑水平面上。将滑块从平衡位置拉开距离 $A$ 后释放，滑块就会来回振动。每当滑块偏离平衡位置时，弹簧就会产生一个指向平衡位置的回复力：

$F = -kx$

其中 $x$ 是位移（以平衡位置为原点），$k$ 是弹簧的劲度系数，负号说明力的方向总与位移相反。由牛顿第二定律，运动方程为：

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

令 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$，则方程写作：

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$

这个方程的通解是余弦（或正弦）函数，描述的运动称为简谐振动：

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$

其中：$A$ 是振幅，代表最大位移；$\omega$ 是角频率，单位为 $\text{rad/s}$；$\varphi$ 是初相位，由初始条件决定。

对 $x(t)$ 求导，得到速度和加速度：

$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$

$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$

加速度永远与位移方向相反，且大小正比于位移——这是判断简谐振动最直接的特征。

弹簧振子与单摆的周期

简谐振动的周期 $T$ 是完成一次完整振动所需的时间，频率 $f$ 是每秒振动的次数：

$T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$

弹簧振子的角频率 $\omega = \sqrt{k/m}$，代入后得到周期：

$T_{\text{弹簧}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

周期只与质量 $m$ 和弹簧劲度系数 $k$ 有关，与振幅无关。振幅越大，速度也越快，两者恰好抵消，周期保持不变——这是简谐振动的重要特性，称为等时性。

单摆是一根细线悬挂一个小球的装置。当摆角很小（不超过约 $5°$）时，重力沿切线方向的分量近似正比于位移，同样满足简谐振动条件：

$T_{\text{单摆}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

其中 $L$ 是摆长，$g$ 是当地重力加速度。单摆周期与摆球质量无关，与振幅无关（小振幅条件下），只取决于摆长和重力加速度。

例1　计算弹簧振子的周期

一根劲度系数 $k = 100\,\text{N/m}$ 的弹簧连接质量 $m = 0.25\,\text{kg}$ 的滑块，在光滑水平面上振动，振幅为 $0.05\,\text{m}$。求振动周期和最大速度。

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.25}{100}} = 2\pi\sqrt{0.0025} = 2\pi\times0.05 \approx 0.314\,\text{s}$

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.314} \approx 20\,\text{rad/s}$

$v_{\max} = A\omega = 0.05\times20 = 1\,\text{m/s}$

最大速度出现在平衡位置，大小为 $1\,\text{m/s}$。振幅改变不影响周期，但会影响最大速度。

例2　用单摆测量重力加速度

某地测得摆长 $L = 1.00\,\text{m}$ 的单摆周期为 $T = 2.01\,\text{s}$，求该地重力加速度。

由 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ 解出 $g$：

$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} = \frac{4\times9.87\times1.00}{(2.01)^2} = \frac{39.5}{4.04} \approx 9.78\,\text{m/s}^2$

单摆曾是精密测量重力加速度的重要工具，不同地点 $g$ 值的差异反映了地球形状和密度分布的不均匀。

简谐振动的能量

弹簧振子在振动过程中，弹性势能和动能不断相互转化。

弹性势能（弹簧形变量等于位移 $x$）：

$E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi)$

动能：

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(A\omega)^2\sin^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi)$

两者之和是总机械能：

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2$

总能量是一个常数，只与振幅和劲度系数有关，不随时间变化。振幅越大，振动系统储存的能量越多，且与振幅的平方成正比。

例3　由能量求速度

上述弹簧振子（$k = 100\,\text{N/m}$，$A = 0.05\,\text{m}$），求位移 $x = 0.03\,\text{m}$ 处的速度大小。

总能量：$E = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}\times100\times0.05^2 = 0.125\,\text{J}$

该位置的弹性势能：$E_p = \dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}\times100\times0.03^2 = 0.045\,\text{J}$

动能：$E_k = E - E_p = 0.125 - 0.045 = 0.080\,\text{J}$

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2\times0.080}{0.25}} = \sqrt{0.64} = 0.8\,\text{m/s}$

阻尼振动与共振

真实的振动系统都存在摩擦和阻力，能量会逐渐耗散，振幅随时间减小——这种振动称为阻尼振动。

如果对一个振动系统施加周期性的外力（称为驱动力），系统会做受迫振动。当驱动力的频率等于系统的固有频率（即无阻尼时的自然振动频率 $f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$）时，振幅达到最大值，这种现象称为。

共振的有益应用同样广泛：微波炉利用水分子在 $2.45\,\text{GHz}$ 的共振来加热食物；医用核磁共振（MRI）利用氢原子核的磁共振获取人体内部图像；乐器的共鸣箱正是利用空气柱与弦的共振来放大特定频率的声音。

机械波的产生与传播

当一个振动源在弹性介质（如绳子、空气、水、地壳）中振动时，相邻介质质点之间通过弹力相互传递振动，能量就以波的形式向外扩展——这就是机械波。注意：波传播的是能量和振动状态，介质中各质点只在平衡位置附近振动，并不随波迁移。

机械波按振动方向与传播方向的关系分为两类：

描述机械波的三个核心物理量：

$v = f\lambda = \frac{\lambda}{T}$

其中 $v$ 是波速（由介质性质决定），$f$ 是频率（由振动源决定），$\lambda$ 是波长（相邻两个同相位质点之间的距离）。

例4　声波的波长计算

人耳能听到的声音频率范围约为 $20\sim20000\,\text{Hz}$，声速取 $v = 340\,\text{m/s}$，求这两个频率对应的波长。

频率 $f_1 = 20\,\text{Hz}$（低音）：

$\lambda_1 = \frac{v}{f_1} = \frac{340}{20} = 17\,\text{m}$

频率 $f_2 = 20000\,\text{Hz}$（高音）：

$\lambda_2 = \frac{v}{f_2} = \frac{340}{20000} = 0.017\,\text{m} = 1.7\,\text{cm}$

可听声的波长范围从 $1.7\,\text{cm}$ 到 $17\,\text{m}$，跨越三个数量级，这正是人们能感受到声音方向性差异的物理原因。

波的叠加与干涉

当两列或多列波同时经过同一介质区域时，各列波独立传播，不互相干扰，某点的合振动位移等于各列波单独引起的位移之和——这是波的叠加原理。

若两列频率相同、振动方向相同的波，从两个相干波源出发，到达同一点时会发生干涉。设两个波源到该点的路程差为 $\Delta r$：

$\Delta r = r_2 - r_1$

• 加强干涉（振动加强）：两列波到达时同相位，路程差为波长的整数倍：

$\Delta r = n\lambda \quad (n = 0,\,\pm1,\,\pm2,\,\cdots)$

• 减弱干涉（振动减弱，完全抵消）：两列波到达时反相，路程差为半波长的奇数倍：

$\Delta r = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (n = 0,\,\pm1,\,\pm2,\,\cdots)$

例5　双缝干涉中的加强与减弱位置

两个相干水波源 $S_1$ 和 $S_2$ 相距 $d = 0.04\,\text{m}$，波长 $\lambda = 0.02\,\text{m}$。求在两源连线的中垂线上，离中心点依次向旁移动时，第一个振动减弱点距离中心点约多远。

中垂线上各点到两源距离相等，路程差 $\Delta r = 0$，振动加强。离中心点越远，路程差越大。第一个减弱点处，路程差 $\Delta r = \lambda/2 = 0.01\,\text{m}$。利用几何关系可估算其位置，实际干涉图样呈现明暗相间的条纹，这一原理也是双缝光干涉实验的基础。

驻波

当两列振幅相同、频率相同、传播方向相反的波叠加时，形成一种特殊的波形——驻波。驻波看起来“不移动”，空间中各点只在原地振动，振幅各不相同：

振幅为零的点称为波节（node），振幅最大的点称为波腹（antinode）。相邻两波节之间的距离等于半个波长 $\lambda/2$。

弦乐器的工作原理正是驻波：弦的两端固定，反射波与入射波叠加形成驻波，只有特定波长（对应弦长的整数分之一）才能稳定存在，产生谐波，形成乐音。

弦上形成驻波的条件是：弦长等于半波长的整数倍：

$L = n\frac{\lambda}{2}, \quad n = 1,\,2,\,3,\,\cdots$

对应的频率（谐频）为：

$f_n = \frac{nv}{2L}$

其中 $v$ 是弦上横波的波速，$f_1 = v/(2L)$ 是基频（最低频率），$f_2, f_3, \cdots$ 称为二次谐频、三次谐频……乐器通过改变弦长（手指按弦）或张力（调音旋钮改变 ）来改变音调，都可以用这一公式解释。

例6　吉他弦的驻波频率

一根吉他弦有效振动长度 $L = 0.65\,\text{m}$，弦上横波速度 $v = 520\,\text{m/s}$，求该弦的基频和二次谐频。

基频（$n=1$）：

$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{520}{2\times0.65} = \frac{520}{1.3} = 400\,\text{Hz}$

二次谐频（$n=2$）：

$f_2 = 2f_1 = 800\,\text{Hz}$

基频 $400\,\text{Hz}$ 对应音乐中的 G4 音，二次谐频是高八度的同音。弦乐器发出的乐音实际上包含基频和多个谐频的混合，不同的谐频强度比例形成了不同乐器独特的“音色”。

练习题

选择题

第1题　一个弹簧振子在光滑水平面上振动，弹簧劲度系数为 $k = 200\,\text{N/m}$，滑块质量为 $m = 0.5\,\text{kg}$。将振幅由 $A_1 = 0.05\,\text{m}$ 增大到 ，以下说法正确的是（　　）

A. 振动周期增大为原来的 $2$ 倍

B. 振动周期保持不变

C. 最大速度增大为原来的 $2$ 倍，周期增大为原来的 $2$ 倍

D. 最大速度和周期都保持不变

第2题　一列机械波在空气中传播，频率为 $f = 680\,\text{Hz}$，波速为 $v = 340\,\text{m/s}$。若该波进入水中后频率不变，波速变为 $1360\,\text{m/s}$，则波在水中的波长为（　　）

A. $0.25\,\text{m}$

B. $0.5\,\text{m}$

C. $1\,\text{m}$

D. $2\,\text{m}$

第3题　关于驻波，以下说法正确的是（　　）

A. 驻波是一列波在传播方向上的叠加，能量沿传播方向流动

B. 驻波的波节处质点位移始终为零，从不振动

C. 驻波的相邻两波腹之间的距离等于一个波长

D. 驻波是由两列振幅不同、频率相同、方向相反的波叠加形成的

第4题　两列频率相同的水波从 $S_1$、$S_2$ 两点出发，波长 $\lambda = 0.4\,\text{m}$。水面上某点 $P$ 距 为 ，距 为 ，两波源初相位相同。则 点处两波（　　）

A. 相互加强，振幅最大

B. 相互减弱，振幅为零

C. 路程差为整数波长，加强干涉

D. 路程差为半波长的奇数倍，减弱干涉

计算题

第5题　一根绷紧的弦，两端固定，有效长度 $L = 0.80\,\text{m}$，弦上横波的传播速度 $v = 480\,\text{m/s}$。

（1）求弦振动的基频（最低频率）和对应的波长。

（2）求能在该弦上稳定存在的第三谐频（$n=3$）及其对应波长。

（3）若将弦的张力增大使波速提高到 $600\,\text{m/s}$，基频变为多少？

第6题　一个弹簧振子，弹簧劲度系数 $k = 50\,\text{N/m}$，滑块质量 $m = 0.2\,\text{kg}$，在光滑水平面上振动，振幅 $A = 0.10\,\text{m}$。

（1）求振动的周期和最大速度。

（2）求振子经过平衡位置时的动能，以及到达端点时的弹性势能。

（3）求位移为 $x = 0.06\,\text{m}$ 时滑块的速度大小和加速度大小。

振幅加倍后，最大速度 $v_{\max} = A\omega$ 增大为原来的 $2$ 倍，总能量 $E = \dfrac{1}{2}kA^2$ 增大为原来的 $4$ 倍。

选 B。

$\lambda_{\text{水}} = \frac{v_{\text{水}}}{f} = \frac{1360}{680} = 2\,\text{m}$

波长变为原来的 $4$ 倍，因为波速增大为原来的 $4$ 倍而频率不变。选 D。

路程差为半波长的 $3$ 倍（奇数倍），两波到达时相位相反，发生减弱干涉，振幅为零（完全抵消）。

选 D，D的表述与B描述的现象相同。实际上B和D都描述了相互减弱，但D准确说明了原因。

$f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{480}{1.60} = 300\,\text{Hz}$

基频为 $300\,\text{Hz}$，对应波长 $1.60\,\text{m}$。

（2）第三谐频（$n=3$）：

$f_3 = 3f_1 = 3\times300 = 900\,\text{Hz}$

对应波长：$\lambda_3 = \dfrac{v}{f_3} = \dfrac{480}{900} \approx 0.533\,\text{m}$

验证：$L = 3\times(\lambda_3/2) = 3\times0.267 = 0.80\,\text{m}$，符合驻波条件。

（3）张力增大后的基频：

波速变为 $v' = 600\,\text{m/s}$，弦长不变，基频波长仍为 $\lambda_1 = 2L = 1.60\,\text{m}$：

$f_1' = \frac{v'}{\lambda_1} = \frac{600}{1.60} = 375\,\text{Hz}$

基频升高，音调升高。弦乐器调音正是通过调节张力来改变音调的物理依据。

角频率：$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{50/0.2} = \sqrt{250} \approx 15.8\,\text{rad/s}$

最大速度：$v_{\max} = A\omega = 0.10\times15.8 = 1.58\,\text{m/s}$

（2）平衡位置的动能与端点的弹性势能：

总机械能：$E = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}\times50\times(0.10)^2 = 0.25\,\text{J}$

经过平衡位置时，弹性势能为零，所有能量为动能：

$E_k(\text{平衡位置}) = E = 0.25\,\text{J}$

到达端点时，动能为零，所有能量为弹性势能：

$E_p(\text{端点}) = E = 0.25\,\text{J}$

（3）位移 $x = 0.06\,\text{m}$ 处的速度和加速度：

弹性势能：$E_p = \dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}\times50\times(0.06)^2 = 0.090\,\text{J}$

动能：$E_k = E - E_p = 0.25 - 0.090 = 0.160\,\text{J}$

速度：$v = \sqrt{\dfrac{2E_k}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\times0.160}{0.2}} = \sqrt{1.60} \approx 1.26\,\text{m/s}$

加速度：$a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{kx}{m} = \dfrac{50\times0.06}{0.2} = 15\,\text{m/s}^2$（方向指向平衡位置）