静电场与电势

电荷是自然界中最基本的物理属性之一。两千多年前，古希腊人发现琥珀摩擦后能吸引羽毛和碎纸，这是人类最早认识静电现象的记录。今天，静电学的规律不仅解释了闪电的成因和验电器的工作方式，也是现代电子器件、静电除尘、喷墨打印、触摸屏等技术的理论基础。理解电荷之间的相互作用、电场的分布以及电场储存能量的方式，是学习整个电磁学的起点。

电荷守恒与库仑定律

自然界只存在两种电荷：正电荷与负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。电荷的最小单元是一个电子所带电量的绝对值，称为元电荷：

$e = 1.60 \times 10^{-19}\,\text{C}$

任何物体所带的电荷量都是元电荷的整数倍，这称为电荷的量子化。

• 电荷守恒定律指出：在一个与外界没有电荷交换的孤立系统中，正负电荷的代数和始终不变。摩擦起电、感应起电等现象，都是电荷从一个物体转移到另一个物体，而不是电荷被创造或消灭。

• 库仑定律定量描述两个静止点电荷之间的作用力。点电荷是一种理想模型：当带电体的尺寸远小于两带电体之间的距离时，可以将其视为一个带电的点。两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 相距 $r$，它们之间的作用力大小为：

$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

其中 $k = 9.0 \times 10^9\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{C}^2$ 是静电力常量，也可以写成 $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_{}}}$， 是真空中的介电常数。力的方向沿两电荷的连线：同号相斥，异号相吸。

例1　比较库仑力与万有引力的大小

两个质子（$q = +1.60 \times 10^{-19}\,\text{C}$，$m = 1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$）相距 （约为氢分子的键长），求它们之间的库仑斥力与万有引力，并比较大小。

库仑力： $F_{\text{电}} = k\frac{q^2}{r^2} = 9.0\times10^9\times\frac{(1.60\times10^{-19})^2}{(1.00\times10^{-10})^2} \approx 2.30\times10^{-8}\,\text{N}$

万有引力： $F_{\text{引}} = G\frac{m^2}{r^2} = 6.67\times10^{-11}\times\frac{(1.67\times10^{-27})^2}{(1.00\times10^{-10})^2} \approx 1.86\times10^{-44}\,\text{N}$

两者之比：$F_{\text{电}} / F_{\text{引}} \approx 1.2\times10^{36}$。在原子尺度上，库仑力比万有引力大约 $10^{36}$ 倍，万有引力在这一尺度下完全可以忽略不计。

电场强度

两个电荷之间的作用力通过什么方式传递？法拉第提出了电场的概念：每个带电体在其周围空间产生电场，另一个带电体通过与电场的相互作用而受力，而不是两个电荷之间的直接“超距作用”。

• 电场强度（简称场强）定义为：在电场中某点放入一个试探正电荷 $q_0$，该点的场强等于该点对试探电荷的电场力与试探电荷量之比：

$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$

场强的方向规定为正电荷在该点所受电场力的方向。场强的单位是 $\text{N/C}$（等价于 $\text{V/m}$）。对于单个点电荷 $Q$，距其 $r$ 处的场强大小为：

$E = k\frac{|Q|}{r^2} = \frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

当空间中存在多个点电荷时，某点的总场强等于各点电荷单独产生的场强的矢量和，这就是电场的叠加原理：

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \cdots$

• 电场线是描绘电场分布的直观工具，其切线方向表示该点场强方向，疏密程度表示场强大小。

例2　两等量同号电荷连线中点的场强

两个等量正电荷 $q = +2.0\times10^{-6}\,\text{C}$，相距 $d = 0.40\,\text{m}$，求连线中点 $M$ 处的合场强。

中点到每个电荷的距离均为 $r = 0.20\,\text{m}$，每个正电荷在 $M$ 点产生的场强大小：

$E_1 = E_2 = k\frac{q}{r^2} = 9.0\times10^9\times\frac{2.0\times10^{-6}}{(0.20)^2} = 4.5\times10^5\,\text{N/C}$

两个场强方向相反（一个向右、一个向左），大小相等，矢量叠加后合场强为零：

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$

这是一个典型结论：等量同号电荷连线中点的场强为零，但该处的电势不为零。

例3　两等量异号电荷连线中点的场强

两个等量异号电荷 $+q$ 和 $-q$（$q = 2.0\times10^{-6}\,\text{C}$），相距 $d = 0.40\,\text{m}$，求连线中点处的合场强。

正电荷在中点产生的场强方向向右（远离正电荷），负电荷在中点产生的场强也向右（指向负电荷）。两者方向相同，大小均为 $4.5\times10^5\,\text{N/C}$，叠加得：

$E = E_+ + E_- = 2\times4.5\times10^5 = 9.0\times10^5\,\text{N/C}$

方向从正电荷指向负电荷，沿连线向右。

高斯定理

为了方便计算具有对称性的电场分布，引入电通量的概念。电通量 $\Phi_E$ 描述通过某一曲面的电场线总数。对于均匀电场、面积为 $S$、法线方向与场强夹角为 $\theta$ 的平面，电通量为：

$\Phi_E = ES\cos\theta$

对任意闭合曲面积分，得到高斯定理：通过任一闭合曲面的总电通量，等于该闭合曲面内包围的总电荷量除以 $\varepsilon_0$：

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$

计算时，选取恰当的闭合曲面（称为高斯面），使得面上各处的场强大小相等、方向与面元垂直，积分就可以大大简化。

例4　平行板电容器内部的场强

两块面积很大的平行金属板，分别带有面电荷密度 $+\sigma$ 和 $-\sigma$（$\sigma = 5.0\times10^{-6}\,\text{C/m}^2$），求两板之间的电场强度大小。

由高斯定理，每块带电平板产生的场强大小均为：

$E_0 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{5.0\times10^{-6}}{2\times8.85\times10^{-12}} \approx 2.82\times10^{5}\,\text{N/C}$

在两板之间，两块板产生的场强方向相同（均从正极板指向负极板），叠加得：

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{5.0\times10^{-6}}{8.85\times10^{-12}} \approx 5.65\times10^{5}\,\text{N/C}$

在两板外侧，两块板的场强方向相反，相互抵消，合场强为零。这正是平行板电容器能将电场“封闭”在极板之间的物理原因。

电势与电势差

电场对运动的电荷做功。将电荷 $q$ 从 $A$ 点移到 $B$ 点，电场力所做的功 $W_{AB}$ 与路径无关（因为静电力是保守力），只取决于起点和终点的位置。

• 电势是描述电场中各点储能能力的物理量。规定无穷远处电势为零，则空间某点 $P$ 的电势 $U_P$ 等于将单位正电荷从该点移到无穷远处时电场力做的功：

$U_P = \frac{W_{P\rightarrow\infty}}{q_0}$

电势的单位是伏特（V），$1\,\text{V} = 1\,\text{J/C}$。点电荷 $Q$ 在距离 $r$ 处产生的电势为：

$U = k\frac{Q}{r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$

注意：电势是标量，正电荷周围电势为正，负电荷周围电势为负；而场强是矢量，有方向。当多个点电荷同时存在时，某点的总电势等于各个电荷单独产生的电势的代数和。

• 电势差（也称电压）$U_{AB}$ 定义为 $A$、$B$ 两点电势之差：

$U_{AB} = U_A - U_B = \frac{W_{AB}}{q}$

其中 $W_{AB}$ 是将电荷 $q$ 从 $A$ 点移到 $B$ 点时电场力所做的功。在匀强电场中，沿场强方向两点相距 $d$，则两点的电势差为：

$U_{AB} = Ed$

场强指向电势降低的方向，场强大小等于沿该方向上单位长度的电势降落量（电势梯度）。

• 等势面是电场中电势相等的各点构成的曲面。沿等势面移动电荷，电场力不做功；电场线与等势面处处垂直，并从高电势指向低电势。

例5　点电荷产生的电势及电场力做功

一个正电荷 $Q = +4.0\times10^{-6}\,\text{C}$，求距离 $r_1 = 0.20\,\text{m}$ 和 处的电势，以及将 的正试探电荷从 处移到 处，电场力做了多少功？

$r_1$ 处的电势：

$U_1 = k\frac{Q}{r_1} = 9.0\times10^9\times\frac{4.0\times10^{-6}}{0.20} = 1.8\times10^5\,\text{V}$

$r_2$ 处的电势：

$U_2 = k\frac{Q}{r_2} = 9.0\times10^9\times\frac{4.0\times10^{-6}}{0.40} = 0.9\times10^5\,\text{V}$

电场力做的功：

$W = q(U_1 - U_2) = 1.0\times10^{-6}\times(1.8\times10^5 - 0.9\times10^5) = 0.090\,\text{J}$

电场力做正功，正电荷从高电势处（靠近 $Q$）向低电势处运动，与“同号相斥”的物理图像完全一致。

电容器与电场能量

电容器是储存电荷和电场能量的装置，最简单的形式是两块彼此靠近但不接触的导体极板。充电后，两板分别带有等量异号电荷 $+Q$ 和 $-Q$，两板之间建立电势差 $U$。

电容器的电容 $C$ 定义为储存的电荷量与两端电压之比：

$C = \frac{Q}{U}$

电容的单位是法拉（F），$1\,\text{F} = 1\,\text{C/V}$。实际应用中常用微法（$\mu\text{F} = 10^{-6}\,\text{F}$）和皮法（$\text{pF} = 10^{-12}\,\text{F}$）。

对于平行板电容器，极板面积为 $S$，板间距为 $d$，板间填充相对介电常数为 $\varepsilon_r$ 的介质（真空或空气中 $\varepsilon_r \approx 1$），其电容为：

$C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}$

增大极板面积、减小板间距、填充高介电常数介质，都能增大电容；而充电电压的大小对电容没有影响——电容是电容器的结构参数，由几何形状和介质决定。

电容器储存的电场能量为：

$W = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CU^2$

这部分能量储存在两板之间的电场中。对于平行板电容器，两板间体积为 $V_0 = Sd$，可以定义电场能量密度（单位体积的能量）：

$u = \frac{W}{V_0} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

这一关系对任意形式的电场普遍成立，不局限于平行板。

例6　平行板电容器的电容与储能

一个平行板电容器，极板面积 $S = 0.020\,\text{m}^2$，板间距 $d = 2.0\times10^{-3}\,\text{m}$，板间为空气（$\varepsilon_r \approx 1$），充电至两端电压 。求：（1）电容；（2）储存的电荷量；（3）储存的电场能量；（4）两板间的场强。

（1）电容：

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85\times10^{-12}\times0.020}{2.0\times10^{-3}} = 8.85\times10^{-11}\,\text{F} \approx 88.5\,\text{pF}$

（2）储存的电荷量：

$Q = CU = 8.85\times10^{-11}\times500 \approx 4.43\times10^{-8}\,\text{C} = 44.3\,\text{nC}$

（3）储存的电场能量：

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}\times8.85\times10^{-11}\times(500)^2 \approx 1.11\times10^{-5}\,\text{J}$

（4）两板间的场强：

$E = \frac{U}{d} = \frac{500}{2.0\times10^{-3}} = 2.5\times10^{5}\,\text{V/m}$

练习题

选择题

第1题　两个点电荷 $q_1 = +4.0\,\mu\text{C}$ 和 $q_2 = -1.0\,\mu\text{C}$ 相距 ，它们之间库仑力的大小为（　　）

A. $0.20\,\text{N}$

B. $0.40\,\text{N}$

C. $0.60\,\text{N}$

D. $1.20\,\text{N}$

第2题　在匀强电场中，将正电荷 $q = 2.0\times10^{-6}\,\text{C}$ 从 $A$ 点移到 $B$ 点，电场力做功 $W = 6.0\times10^{-4}\,\text{J}$，则 、 两点的电势差 为（　　）

A. $-300\,\text{V}$

B. $+300\,\text{V}$

C. $+1.2\times10^{-9}\,\text{V}$

D. $-1.2\times10^{-9}\,\text{V}$

第3题　关于电场线和等势面，以下说法正确的是（　　）

A. 沿等势面移动正电荷，电场力始终做正功

B. 电场线可以是任意形状的曲线，包括闭合曲线

C. 电场线与等势面处处相互垂直

D. 同一等势面上各点的场强大小一定相等

第4题　一个平行板电容器充电后与电源断开，然后将两板间距增大为原来的 $2$ 倍，以下说法正确的是（　　）

A. 电容增大，两板电压不变

B. 电容减小，储存的电荷量不变，两板电压增大为原来的 $2$ 倍

C. 电容减小，储存的电荷量减小，两板电压不变

D. 电容不变，两板电压增大

计算题

第5题　三个点电荷沿 $x$ 轴排列：$q_1 = +3.0\,\mu\text{C}$ 位于 $x = 0$ 处，$q_3 = +2.0\,\mu\text{C}$ 位于 处。求 处（设为点 ）的电场强度大小和方向，以及该点的电势；再求将 的试探电荷从点 移到无穷远处，电场力做了多少功？

第6题　一个平行板电容器，极板面积 $S = 0.050\,\text{m}^2$，板间距 $d = 1.0\times10^{-3}\,\text{m}$，板间填充相对介电常数 ${\epsilon }_r=$ 的绝缘介质。将其充电至两端电压 。

（1）求该电容器的电容和储存的电荷量。

（2）求储存的电场能量。

（3）充电完成后保持与电源相连，将板间介质抽出换为空气，求此时两板间的场强和电容器中储存能量的变化量。

两电荷符号相反，库仑力为引力，大小为 $0.40\,\text{N}$。选 B。

电场力做正功，说明正电荷从高电势处（$A$）向低电势处（$B$）运动，故 $U_A > U_B$，$U_{AB} = +300\,\text{V}$。选 B。

验证板间场强：$E = U/d$，电压增大为 $2$ 倍，间距也增大为 $2$ 倍，场强 $E = 2U/(2d) = U/d$ 保持不变，这与高斯定理一致（板上电荷量不变，场强由面电荷密度决定，面积不变则场强不变）。

选 B。

$q_3$ 在 $P$ 点产生的场强，距离 $r_3 = 0.20\,\text{m}$，方向向左（正电荷向外，对 $P$ 点为向左）： $E_3 = k\frac{|q_3|}{r_3^2} = 9.0\times10^9\times\frac{2.0\times10^{-6}}{(0.20)^2} = 4.5\times10^5\,\text{N/C}$

合场强（取向右为正）： $E = E_1 - E_3 = 3.0\times10^5 - 4.5\times10^5 = -1.5\times10^5\,\text{N/C}$

合场强大小为 $1.5\times10^5\,\text{N/C}$，方向向左（$x$ 轴负方向）。

计算点 $P$ 处的电势：

电势是标量，各电荷的贡献直接代数相加： $U_P = k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_3}{r_3} = 9.0\times10^9\times\frac{3.0\times10^{-6}}{0.30} + 9.0\times10^9\times\frac{2.0\times10^{-6}}{0.20}$ $= 9.0\times10^4 + 9.0\times10^4 = 1.8\times10^5\,\text{V}$

将试探电荷从 $P$ 点移到无穷远处，电场力做的功：

$W = q(U_P - U_\infty) = q \cdot U_P = 1.0\times10^{-6}\times1.8\times10^5 = 0.18\,\text{J}$

电场力做正功 $0.18\,\text{J}$，说明正试探电荷从高电势处向零电势处（无穷远）运动，系统的电势能减少，转化为动能。

$Q = CU = 1.77\times10^{-9}\times200 = 3.54\times10^{-7}\,\text{C} = 354\,\text{nC}$

（2）储存的电场能量：

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}\times1.77\times10^{-9}\times(200)^2 = 3.54\times10^{-5}\,\text{J}$

（3）保持与电源相连（电压恒为 $U = 200\,\text{V}$），抽出介质后：

电容变为： $C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{C}{\varepsilon_r} = \frac{1.77\times10^{-9}}{4.0} = 4.43\times10^{-10}\,\text{F}$

由于电压不变，板间场强： $E = \frac{U}{d} = \frac{200}{1.0\times10^{-3}} = 2.0\times10^5\,\text{V/m}$

（抽出介质前后电压不变、间距不变，场强不变。）

抽出介质后储存的能量： $W' = \frac{1}{2}C'U^2 = \frac{1}{2}\times4.43\times10^{-10}\times(200)^2 = 8.86\times10^{-6}\,\text{J}$

能量变化： $\Delta W = W' - W = 8.86\times10^{-6} - 3.54\times10^{-5} \approx -2.65\times10^{-5}\,\text{J}$

储存的能量减少了约 $2.65\times10^{-5}\,\text{J}$。电容减小后，在相同电压下储存的电荷和能量都减少，多余的电荷通过电源电路流走，能量也随之释放。