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自由粒子、势垒与隧穿效应 | 自在学

自由粒子、势垒与隧穿效应

前面讨论了粒子被“关”在有限空间内的情形——无论是无限深势阱还是谐振子，粒子始终被束缚在某个区域里。现实中，粒子也可以在完全开放的空间中运动，或者遭遇一道能量壁垒。这两种情形，分别引出了“自由粒子的波包”和“量子隧穿”两个核心概念，后者更是现代技术中诸多精密仪器的物理基础。

自由粒子与波包

一个不受任何力的粒子，势能处处为零，薛定谔方程退化为最简单的形式：

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi

这个方程的解是复数平面波：

\psi_k(x) = A e^{ikx}

其中波数 $k$ 与能量的关系为：

E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}

$k$ 可正可负，分别对应向右和向左传播的粒子。加入时间因子之后，完整的波函数是：

\Psi_k(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}, \quad \omega = \frac{\hbar k^2}{2m}

平面波无法归一化

上面的 $\Psi_k$ 有一个麻烦：它在整个空间中振幅恒为 $|A|$ ，对 $|\Psi_k|^2$ 从到积分发散为无穷。这意味着单独一列平面波代表一个真实的、位置确定的粒子。

真实的自由粒子，在某一时刻总是大致处于某个位置附近，而不是均匀散布在整个宇宙中。描述它的方法，是把许多不同 $k$ 的平面波叠加在一起，形成波包（wave packet）。

从平面波到波包

波包的数学形式是一个傅里叶积分：

\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(k)\, e^{i(kx-\omega t)}\, dk

其中 $\phi(k)$ 是每个平面波分量的权重（振幅），由初始时刻 $\Psi(x,0)$ 的傅里叶变换决定：

\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(x,0)\, e^{-ikx}\, dx

直觉上，把许多频率相近的平面波叠加，它们在某个局域位置相互加强，在其他地方相互抵消，就形成了一团局域化的“波形隆起”，这就是波包。

相速度与群速度

一列平面波 $e^{i(kx-\omega t)}$ 的“波峰”以速度 $v_{\text{相}} = \omega/k$ 前进，称为相速度。但相速度并不代表能量或粒子的运动速度。

波包整体轮廓的移动速度，才是粒子真正的运动速度，称为群速度：

v_{\text{群}} = \frac{d\omega}{dk}

对自由粒子， $\omega = \hbar k^2 / (2m)$ ，求导得：

v_{\text{群}} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m}

这正好等于经典力学中粒子的速度。相比之下，相速度为：

v_{\text{相}} = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} = \frac{v_{\text{群}}}{2}

群速度与经典粒子速度 $p/m$ 吻合，说明量子力学在自由粒子问题上自然地与经典力学相衔接。波包的展宽随时间增大，反映了量子不确定性——位置越局域的波包，动量成分越分散，各成分速度不同，波包随时间弥散。

δ 函数势阱

从完全自由走向“几乎自由”，下一步是引入一个极窄但极深的势阱。数学上用 Dirac δ 函数来描述：

V(x) = -\alpha\,\delta(x), \quad \alpha > 0

这相当于在 $x=0$ 处放置了一个无限薄、但吸引力极强的势阱，深度由参数 $\alpha$ 控制。

束缚态（ $E < 0$ ）

当粒子的总能量 $E<0$ ，粒子在势阱中被束缚，在远离 $x=0$ 的区域波函数必须指数衰减。令 $\kappa = \sqrt{-2mE}/\hbar > 0$ ，则：

\psi(x) = \begin{cases} B\,e^{+\kappa x}, & x < 0 \\ B\,e^{-\kappa x}, & x > 0 \end{cases}

这两段在 $x=0$ 处连续，通过积分薛定谔方程跨过 $\delta$ 函数奇点，可以得到一个连接条件：

\psi'(0^+) - \psi'(0^-) = -\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)

代入后，得到唯一确定的 $\kappa$ ：

\kappa = \frac{m\alpha}{\hbar^2}

因此 δ 函数势阱只有一个束缚态，能量为：

E_1 = -\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}

这是一个关键结论：无论 $\alpha$ 多小，δ 势阱总存在一个束缚态。而对应的归一化波函数（一个以 $x=0$ 为顶点、向两侧对称指数衰减的形状）是：

\psi(x) = \sqrt{\kappa}\, e^{-\kappa |x|}

散射态（ $E > 0$ ）

当 $E>0$ ，粒子的能量高于势阱边界，此时粒子不被束缚，可以从无穷远入射、穿越 $x=0$ 区域后继续传播。这类状态称为散射态。

令 $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ，从左入射的波函数写为：

\psi(x) = \begin{cases} e^{ikx} + R\,e^{-ikx}, & x < 0 \\ T\,e^{ikx}, & x > 0 \end{cases}

其中 $R$ 是反射振幅， $T$ 是透射振幅。利用连接条件，可解得：

T = \frac{1}{1 + im\alpha/(\hbar^2 k)}, \quad R = \frac{-im\alpha/(\hbar^2 k)}{1 + im\alpha/(\hbar^2 k)}

透射概率和反射概率为：

\mathcal{T} = |T|^2 = \frac{1}{1 + (m\alpha/\hbar^2 k)^2}, \quad \mathcal{R} = |R|^2 = \frac{(m\alpha/\hbar^2 k)^2}{1 + (m\alpha/\hbar^2 k)^2}

并且满足 $\mathcal{T} + \mathcal{R} = 1$ ，概率守恒。

散射态在能量上是连续的（ $E$ 可取任意正值），束缚态的能量则是离散的（这里只有一个固定的负值能级）。束缚态与散射态的这种对比，在此后所有有限深势问题中反复出现，是量子力学中极为基础的分类框架。

有限深方势阱

δ 函数势阱是一种理想化的极限情形。更贴近实际的模型，是有限深方势阱：势阱有明确的宽度 $2a$ 和有限的深度 $V_0$ ，

V(x) = \begin{cases} -V_0, & |x| < a \\ 0, & |x| > a \end{cases}

与无限深势阱不同，有限深势阱的波函数不在边界处为零，而是向阱外延伸一段距离后才衰减至零。这种“渗漏”现象是量子力学的独特特征，经典粒子绝不可能出现在势能大于其总能量的区域。

偶宇称与奇宇称解

由于势阱关于 $x=0$ 对称，束缚态波函数具有确定的宇称（奇或偶）。

对于偶宇称（偶函数）解，在阱内为余弦形式，阱外为指数衰减：

\psi(x) = \begin{cases} D\,e^{-\kappa x}, & x > a \\ C\cos(lx), & |x| < a \\ D\,e^{+\kappa x}, & x < -a \end{cases}

其中 $l = \sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar$ （阱内波数），（阱外衰减常数）。

在边界 $x=a$ 处，要求 $\psi$ 及其导数均连续，两个条件合并后得到：

l \tan(la) = \kappa

引入无量纲变量 $z = la$ ， $z_0 = \sqrt{2mV_0}\,a/\hbar$ ，上式化为：

\tan z = \sqrt{\left(\frac{z_0}{z}\right)^2 - 1}

这是一个超越方程，无法用代数方法精确求解，需要用图解法——在同一坐标系中画出 $y = \tan z$ 和 $y = \sqrt{(z_0/z)^2-1}$ ，两条曲线的交点就对应一个束缚态能级。

图解法的几何图像

下面用一张示意表格来说明图解法的核心规律：

每当 $z_0$ 经过 $n\pi/2$ 时，就新增一个束缚态。这意味着：势阱至少有一个束缚态（哪怕极浅），但束缚态的数目随 $z_0$ （即势阱“体积”）的增大而增多。

有限深势阱的能级总是低于相同宽度无限深势阱对应能级。原因在于波函数不被硬性约束在 $|x|<a$ 内，有效的“感受范围”比 $2a$ 更宽，波长更长，对应能量更低。

量子隧穿效应

现在把问题反过来——不是向下的势阱，而是向上的势垒（barrier）。考虑一个能量为 $E$ 的粒子从左侧入射，遇到一堵高度为 $V_0 > E$ 、宽度为 $L$ 的矩形势垒：

V(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ V_0, & 0 \leq x \leq L \\ 0, & x > L \end{cases}

在经典力学中，答案是确定的：粒子能量不够，无法越过势垒，全部反射回来，透射概率为零。

量子力学给出了截然不同的答案：即便 $E < V_0$ ，粒子也有一定概率穿透势垒出现在另一侧，这就是量子隧穿效应（quantum tunneling）。

势垒内的波函数

在势垒内部（ $0 < x < L$ ），粒子的“动能”为负，薛定谔方程的解不再是振荡的正弦波，而是指数形式：

\psi_{\text{内}}(x) = F\,e^{-\kappa x} + G\,e^{+\kappa x}, \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}

$\kappa$ 是一个正实数， $e^{-\kappa x}$ 向右衰减， $e^{+\kappa x}$ 向右增长。在宽势垒（ $\kappa L \gg 1$ ）的情形下，增长项可以忽略，波函数主要以的形式穿透势垒。

透射概率公式

对完整的三区域（势垒前、势垒中、势垒后）波函数施加边界连接条件，求解后得到透射概率 $\mathcal{T}$ 。在宽势垒近似下，结果为：

\mathcal{T} \approx e^{-2\kappa L}

其中：

\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}

这是一个极重要的结论：透射概率随势垒宽度 $L$ 和 $\kappa$ （即势垒有多“高、厚”）指数衰减。

下面用数值来感受这个指数衰减的速度：

势垒宽度每增加 $1/\kappa$ ，概率大约下降一个数量级。正因如此，隧穿效应对距离极为敏感，这一点在实际应用中至关重要。

隧穿效应违背了经典直觉，但它是真实的物理现象，已经被大量精密实验所证实。隧穿不是粒子“跳过”势垒，也不是粒子绕道而行，而是波函数本身在势垒中存在非零概率密度的直接结果。

隧穿效应的实际应用

量子隧穿不只是理论上的趣闻，它驱动着一些现代最精密的仪器和最重要的自然过程。

扫描隧道显微镜

1981年，宾尼格和罗雷尔发明了扫描隧道显微镜（STM），并因此获得1986年诺贝尔物理学奖。STM的工作原理完全依赖电子的隧穿效应。

STM 的探针是一根尖端只有单个原子粗细的金属针。将探针靠近导体样品表面，但不与之接触——针尖与样品之间保留约 $0.3 \sim 1 \, \text{nm}$ 的真空间隙。在这个间隙中，电子没有足够的能量越过真空势垒，但由于隧穿效应，仍有少量电子从针尖“隧穿”到样品（或反向），形成隧道电流。

由于 $\mathcal{T} \approx e^{-2\kappa d}$ 对距离 $d$ 极为敏感，针尖与样品的距离相差 $0.1 \, \text{nm}$ （约一个原子直径的十分之一），隧道电流就会变化约一个数量级。通过测量隧道电流并控制探针高度，STM 可以逐点扫描，重建出表面原子级别的三维形貌图像。

α 衰变与盖革-努塔尔定律

某些重核（如铀、钋）会自发放出 α 粒子（由两个质子和两个中子组成，即氦-4核）。从经典力学的角度来看，这是不可能的：α 粒子被核内的强核力束缚，要离开原子核，必须穿越一道由库仑排斥力形成的势垒，而 α 粒子的能量远低于这道势垒的顶部（图像上是一个先升后降的“山包”形状的库仑势垒，高度约 $20\sim 30 \, \text{MeV}$ ，而 α 粒子动能只有约 $4\sim 9 \, \text{MeV}$ ）。

盖革-努塔尔（Geiger-Nuttall）定律给出了 α 衰变半衰期与 α 粒子能量之间的经验关系：粒子能量越高，半衰期越短。例如：

能量从 $8.95 \, \text{MeV}$ 减小到 $4.27 \, \text{MeV}$ ，半衰期从微秒量级增长到亿年量级，跨越了约 $10^{23}$ 倍——这个戏剧性的变化，正是隧穿概率 $e^{-2\kappa L}$ 随能量指数变化的直接体现。

1928年，伽莫夫（Gamow）用量子隧穿理论成功解释了这一规律，这也是量子力学首次被用于解释原子核现象。

量子隧穿是宇宙中许多关键过程的基础：太阳内部的核聚变反应依赖质子穿越库仑势垒（否则太阳的温度不够高，根本无法点燃），半导体中的隧道二极管、闪存芯片的写入与擦除，都离不开电子的隧穿。量子力学的这个“反直觉”特性，深刻影响了现代科技与宇宙学。

练习题

选择题

题目一（考查知识点：群速度与相速度）

对于自由粒子的波包，下列说法正确的是？

A. 波包的移动速度等于相速度 $v_{\text{相}} = \omega/k$

B. 波包的移动速度等于群速度 $v_{\text{群}} = d\omega/dk$ ，且对自由粒子等于 $p/m$

C. 相速度与群速度对自由粒子始终相等

D. 波包在传播过程中形状永远不变

正确答案：B

对自由粒子， $\omega = \hbar k^2/(2m)$ ，相速度 $v_{\text{相}} = \omega/k = \hbar k/(2m)$ ，群速度。两者之比为，并不相等（排除 C）。代表粒子运动的是群速度（排除 A）。由于不同分量速度不同，波包会随时间展宽，形状会变化（排除 D）。

题目二（考查知识点：δ 函数势阱的束缚态数目）

一维 $\delta$ 函数势阱 $V(x) = -\alpha\delta(x)$ （ $\alpha > 0$ ）有多少个束缚态？

A. 零个

B. 一个

C. 两个

D. 无穷多个

正确答案：B

δ 函数势阱只有一个束缚态，对应能量 $E_1 = -m\alpha^2/(2\hbar^2)$ 。与有限深方势阱不同，δ 函数势阱的“深度”与“宽度”的乘积只有一个自由参数 $\alpha$ ，无论取何正值，都恰好支持且只支持一个束缚态。

题目三（考查知识点：量子隧穿对势垒宽度的依赖）

一个电子穿越宽度为 $L$ 、高度为 $V_0$ 的矩形势垒，透射概率约为 $\mathcal{T} \approx e^{-2\kappa L}$ 。当势垒宽度增大为原来的 2 倍时，透射概率变为原来的？

A. $1/2$

B. $e^{-2\kappa L}$ （即原来的 $e^{-2\kappa L}$ 倍）

C. $e^{-4\kappa L}$ （即原来的 $e^{-2\kappa L}$ 倍）

D. $\left(e^{-2\kappa L}\right)^2 = e^{-4\kappa L}$

正确答案：D

原透射概率 $\mathcal{T}_1 = e^{-2\kappa L}$ 。宽度变为 $2L$ 后， $T_{2} = e^{- 2 κ (2 L)} = e^{- 4 κ L} = {(e^{- 2 κ L}}^{}$ 。

题目四（考查知识点：有限深方势阱与无限深方势阱的比较）

将无限深方势阱的“无限高”势墙降低为有限高度 $V_0$ ，则基态能量将如何变化？

A. 不变，因为基态波函数仍然主要在阱内

B. 升高，因为势阱变浅了

C. 降低，因为波函数向阱外渗漏，有效宽度变大，能量降低

D. 变为零，因为粒子可以逃离

正确答案：C

有限深势阱中，波函数不在边界处硬性截断为零，而是以指数形式渗透到阱外一段距离。这相当于波函数的有效“感受范围”比阱宽 $2a$ 更大，波长更长，由 $E = \hbar^2\pi^2/(2mL^2_{\text{有效}})$ 可知能量更低。选项 B 方向相反；选项 D 错误，粒子仍然是束缚的，只是能级位置降低。

计算题

计算题一（考查知识点：δ 函数势阱的束缚态能量）

一维 δ 函数势阱 $V(x) = -\alpha\delta(x)$ 中， $\alpha = 1.5 \, \text{eV}{\cdot}\text{nm}$ ，粒子为电子（质量 $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$ ）。

（1）求束缚态能量 $E_1$ （以 $\text{eV}$ 为单位）。

（2）求衰减常数 $\kappa$ ，并说明波函数在距原点 $1/\kappa$ 处的概率密度是原点处的多少倍。

解题过程：

（1）束缚态能量

公式为：

$E_1 = -\frac{m_e \alpha^2}{2\hbar^2}$

计算题二（考查知识点：量子隧穿概率的计算）

一个能量为 $E = 1.0 \, \text{eV}$ 的电子，撞上一道高度为 $V_0 = 3.0 \, \text{eV}$ 、宽度为 $L = 0.50 \, \text{nm}$ 的矩形势垒。

（1）求衰减常数 $\kappa$ 。

（2）用近似公式 $\mathcal{T} \approx e^{-2\kappa L}$ 估算透射概率。

（3）若势垒宽度增大到 $L' = 1.00 \, \text{nm}$ ，透射概率变为多少？两者相差多少倍？

（ $m_e = 9.11\times10^{-31} \, \text{kg}$ ， $\hbar = 1.055\times10^{-34} \, \text{J}{\cdot}\text{s}$ ，）