经典力学的基石

物理学对运动的研究，始终绕不开一个最基本的问题：运动是相对于什么来描述的？一列高铁从车站出发，站台上的旅客看到车厢向前飞驰，而车厢内的乘客却感到自己静止，窗外的树木在向后飞速移动。两种描述都没有错，只是观测者所在的位置不同。这种对“运动”的相对性认识，是整个力学体系最根本的出发点。

参考系与坐标系

任何运动的描述，都必须先选定一个参考系。

• 参考系是观察者用来描述其他物体位置和运动状态的参照体系。地面、行驶中的火车、飞行中的飞机，都可以作为参考系。

选定了参考系之后，还需要在参考系中建立数学工具——坐标系，才能用数字来精确表达位置和运动。最常用的是三维直角坐标系：选定参考系中的某个固定点作为原点 $O$，沿三个互相垂直的方向建立 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴。空间中任意一点的位置，用 $(x,\ y,\ z)$ 三个数值唯一确定。

下表以高铁运行为例，展示同一情景在不同参考系下的描述差异：

例题

一名乘客坐在以 $60\ \text{km/h}$ 匀速行驶的火车上，以地面为参考系，该乘客的速度是 $60\ \text{km/h}$。若乘客站起来向前走，相对于车厢速度为 $4\ \text{km/h}$，则以地面为参考系，乘客的速度为：

$v_{\text{乘客}} = 60 + 4 = 64\ \text{km/h}$

若乘客向后走，则：

$v_{\text{乘客}} = 60 - 4 = 56\ \text{km/h}$

惯性参考系

参考系分为两大类：惯性参考系与非惯性参考系。

• 惯性参考系（简称惯性系）是牛顿第一定律成立的参考系——在这类参考系中，不受力的物体保持静止或匀速直线运动。

• 非惯性参考系是具有加速度的参考系。在急刹车的汽车里，人会向前倾；在做圆周运动的旋转木马上，人感到被“甩出去”的力——这些都是非惯性系中出现的效果，无法用普通的牛顿第二定律直接解释。

例题

一部电梯正在向上加速，加速度 $a = 2\ \text{m/s}^2$。电梯内站着一名质量 $m = 60\ \text{kg}$ 的乘客。以地面（惯性系）为参考系分析：

乘客受重力 $G = mg = 60 \times 10 = 600\ \text{N}$（向下），支持力 $N$（向上）。由牛顿第二定律：

$N - G = ma$

$N = m(g + a) = 60 \times (10 + 2) = 720\ \text{N}$

从地面这个惯性系来看，分析清晰，结果自洽。乘客感觉体重变重，是因为 $N > G$，而非因为乘客质量增加了。

伽利略变换

有了参考系和坐标系，下一步就是建立两个参考系之间的数学换算规则。

设有两个参考系：$S$ 系（地面）和 $S'$ 系（匀速运动的火车）。$S'$ 系相对于 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向以速度 $$ 匀速运动。规定在 时刻，两个坐标系的原点重合。

经典力学有一个核心假设：时间是绝对的，所有参考系的时钟走速完全一致，即 $t' = t$。在此前提下，两个参考系之间的坐标关系为：

$x' = x - vt$

$y' = y$

$z' = z$

$t' = t$

这四个方程合称伽利略变换（Galilean Transformation）。

对 $x' = x - vt$ 两边对时间求导，得到速度的变换关系：

$u'_x = u_x - v$

$u'_y = u_y,\quad u'_z = u_z$

其中 $u_x$ 是物体在 $S$ 系中沿 $x$ 方向的速度，$u'_x$ 是在 $$ 系中的速度。

例题

地面参考系 $S$ 中，一辆汽车在 $t = 0$ 时位于 $x_0 = 50\ \text{m}$ 处，以 $u = 15\ \text{m/s}$ 向 轴正方向运动。一列火车以 向 轴正方向匀速行驶（ 系， 时原点重合）。

求 $t = 4\ \text{s}$ 时，汽车在 $S'$ 系（火车参考系）中的位置和速度。

$t = 4\ \text{s}$ 时汽车在 $S$ 系中的位置：

$x = x_0 + ut = 50 + 15 \times 4 = 110\ \text{m}$

由伽利略变换：

$x' = x - vt = 110 - 25 \times 4 = 110 - 100 = 10\ \text{m}$

汽车在 $S'$ 系中的速度：

$u' = u - v = 15 - 25 = -10\ \text{m/s}$

负号说明在火车参考系中，汽车向 $x$ 轴负方向运动（即相对于火车在向后退——因为火车比汽车快）。

经典速度叠加法则

从伽利略变换可以直接推导出经典的速度叠加公式。若 $S'$ 系相对于 $S$ 系的速度为 $v$，物体在 $S'$ 系中的速度为 $u'$，则物体在 系中的速度 满足：

$u = u' + v$

这就是经典速度叠加法则，也称为伽利略速度变换。它在日常速度下极为精确，完全符合直观感受：骑自行车以 $5\ \text{m/s}$ 行驶时，向前扔出的球，相对于地面的速度就是车速与投球速度之和。

下表汇总了几个典型的速度叠加场景：

例题

两列火车在同一轨道上相向行驶，甲车速度 $v_1 = 80\ \text{km/h}$，乙车速度 $v_2 = 60\ \text{km/h}$。以甲车为参考系，乙车的速度是多少？

取甲车运动方向为正方向。以地面为 $S$ 系，甲车参考系为 $S'$ 系，$v = 80\ \text{km/h}$。乙车在地面系的速度 $u = -60\ \text{km/h}$（反向）。

$u' = u - v = -60 - 80 = -140\ \text{km/h}$

以甲车为参考系，乙车以 $140\ \text{km/h}$ 的速度迎面驶来。

牛顿相对性原理

坐在一列匀速行驶的火车上，关上窗帘，不看外面，只在车厢内部做力学实验——抛一个球，摆一个钟摆，压缩一根弹簧——这些实验的结果，与在静止的地面上做完全相同。无论火车是以 $100\ \text{km/h}$ 行驶，还是以 $200\ \text{km/h}$ 行驶，实验结果毫无差别。

这就是牛顿相对性原理的核心内容：

• 在所有惯性参考系中，牛顿力学定律的形式完全相同。

这意味着不存在通过任何力学实验来判断“我是否在做匀速运动”的方法——匀速直线运动和静止，在力学上是完全等价的。

例题

一艘飞船以 $v = 800\ \text{m/s}$ 的速度匀速飞行。飞船内，宇航员将一个小球从高度 $h = 5\ \text{m}$ 处由静止释放。以飞船为参考系，小球落地需要多长时间？

以飞船（惯性系）为参考系，飞船内的力学规律与地面完全相同，自由落体公式成立：

$h = \frac{1}{2}g t^2$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1\ \text{s}$

与飞船的飞行速度 $v = 800\ \text{m/s}$ 完全无关，结果与在地面上做同样实验一致。

经典力学的边界

伽利略变换和牛顿相对性原理在日常速度范围内极为精确。但 19 世纪末，物理学家们发现了一个深刻的矛盾：麦克斯韦方程组推导出的光速 $c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ 是一个固定值，但这个速度是相对于哪个参考系的？

按照伽利略速度叠加，不同参考系中测得的光速应该不同——以 $0.5c$ 运动的光源发出的光，在静止观察者眼中应该是 $1.5c$。然而所有精密实验都表明：无论光源怎么运动，真空中的光速始终是同一个 $c$。

这个矛盾动摇了伽利略变换的根基，也促使爱因斯坦重新审视时间与空间的本质——这正是狭义相对论诞生的出发点。

练习题

选择题

题目一（参考系的相对性）

一名乘客坐在匀速行驶的火车上，以火车为参考系，下列说法正确的是：

A. 铁轨是静止的

B. 站台上等候的旅客是静止的

C. 车厢内的座椅是静止的

D. 窗外的树木是静止的

题目二（伽利略速度变换）

一艘快艇相对于水面的速度为 $v_1 = 12\ \text{m/s}$（向正东），同时水流速度为 $v_2 = 5\ \text{m/s}$（向正东）。以地面为参考系，快艇的速度是多少？

A. $7\ \text{m/s}$

B. $12\ \text{m/s}$

C. $17\ \text{m/s}$

D. $60\ \text{m/s}$

题目三（惯性参考系的判断）

下列参考系中，最接近惯性参考系的是：

A. 急刹车的公共汽车

B. 绕地球飞行的空间站（做圆周运动）

C. 匀速直线行驶的高铁（忽略地球自转）

D. 旋转的摩天轮

题目四（牛顿相对性原理）

在一艘匀速飞行的飞船内，宇航员用弹簧秤称量一个物体，示数为 $W$。若飞船速度变为原来的三倍（仍为匀速直线飞行），弹簧秤的示数将：

A. 变为 $3W$

B. 变为 $W/3$

C. 仍为 $W$

D. 无法确定

计算题

计算题一（伽利略变换的坐标与速度计算）

地面参考系 $S$ 中，有一辆汽车在 $t = 0$ 时位于 $x_0 = 100\ \text{m}$ 处，以速度 $u = 20\ \text{m/s}$ 沿 轴正方向匀速行驶。同时，一列火车以 沿 轴正方向匀速行驶，以火车为参考系 （ 时两坐标系原点重合）。

（1）写出伽利略变换的坐标方程；

（2）求 $t = 5\ \text{s}$ 时，汽车在 $S'$ 系（火车参考系）中的位置 $x'$；

（3）求汽车在 $S'$ 系中的速度 $u'$，并解释其物理意义。

计算题二（速度叠加与相对速度的综合应用）

一条河宽 $d = 200\ \text{m}$，河水以 $v_{\text{水}} = 3\ \text{m/s}$ 的速度向正东方向流动。一艘船相对于水的速度大小为 $v_{\text{船}} = 5\ \text{m/s}$。

（1）若船头指向正北（垂直于河岸），以地面为参考系，求船实际运动的速度大小和方向，以及渡河时间和向东漂移的距离；

（2）若船想沿正北方向直接到达正对岸，船头应指向哪个方向（北偏西多少度）？此时渡河所需时间是多少？

答案为 C。

（2） $t = 5\ \text{s}$ 时，汽车在 $S$ 系中的位置：

$x = x_0 + ut = 100 + 20 \times 5 = 200\ \text{m}$

由伽利略变换：

$x' = x - vt = 200 - 30 \times 5 = 200 - 150 = 50\ \text{m}$

$t = 5\ \text{s}$ 时，汽车在火车参考系中位于 $x' = 50\ \text{m}$ 处。

（3） 汽车在 $S'$ 系中的速度：

$u' = u - v = 20 - 30 = -10\ \text{m/s}$

负号表明：以火车为参考系，汽车在向 $x$ 轴负方向运动，即相对于火车，汽车在向后退——这是因为火车（$30\ \text{m/s}$）比汽车（$20\ \text{m/s}$）快，站在火车上看，汽车确实在“后退”。

合速度大小：

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34} \approx 5.83\ \text{m/s}$

方向（北偏东）：

$\tan\theta = \frac{v_x}{v_y} = \frac{3}{5} = 0.6 \implies \theta \approx 31°$

渡河时间（北向分量不变）：

$t = \frac{d}{v_y} = \frac{200}{5} = 40\ \text{s}$

向东漂移距离：

$\Delta x = v_{\text{水}} \times t = 3 \times 40 = 120\ \text{m}$

（2） 要使合速度方向为正北，船头必须偏向西北方向，使船速的东向分量恰好抵消水流：

设船头偏西的角度为 $\alpha$（即船头方向为北偏西 $\alpha$）：

$v_{\text{船}} \sin\alpha = v_{\text{水}}$

$\sin\alpha = \frac{3}{5} = 0.6 \implies \alpha = 37°$

船头应指向北偏西 $37°$。

此时实际向北的速度（合速度北向分量）：

$v_{\text{北}} = v_{\text{船}} \cos\alpha = 5 \times \frac{4}{5} = 4\ \text{m/s}$

渡河时间：

$t = \frac{d}{v_{\text{北}}} = \frac{200}{4} = 50\ \text{s}$