经典物理的困境

19世纪末，物理学界弥漫着一种乐观的气息。牛顿力学统治力学领域已有两百年，麦克斯韦又将电场与磁场统一为一套简洁的方程。许多科学家相信，物理学大厦已经建成，剩余的工作不过是在已有框架内修缮细节。然而，正是在这片自信之中，一个看似微小的问题悄然浮现：光，到底是相对于什么传播的？这个问题，最终动摇了整个经典物理的根基。

以太：光传播的假想载体

19世纪的物理学家非常熟悉一个道理：波的传播需要介质。声波在空气中传播，水面波在水中传播，弦上的横波需要弦本身。离开了介质，波就无法存在。

1865年，麦克斯韦证明光是一种电磁波。既然是波，自然也应该有传播介质。于是，物理学家们提出了“以太”（Ether）这一概念：一种充满整个宇宙空间、无处不在的神秘物质，是光波传播的载体。

为了让“以太”满足光的传播特性，人们为它赋予了一系列奇特的性质：

这些性质之间存在明显的矛盾：既要刚性极强，又要密度极低，还要对物质毫无阻力——这样的“以太”在物理上几乎是不可能存在的。但在没有更好理论之前，它仍然被当时物理学界广泛接受。

例题

弹性介质中的波速公式为 $v = \sqrt{E/\rho}$，其中 $E$ 为弹性模量，$\rho$ 为密度。声音在空气中的传播速度约为 $v_{\text{声}} = 340\ \text{m/s}$，光在真空中的速度为 $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$。粗略估计（假设以太与空气密度相同），“以太”的弹性模量应比空气大多少倍？

在密度相同的假设下：

$\frac{E_{\text{以太}}}{E_{\text{空气}}} = \left(\frac{c}{v_{\text{声}}}\right)^2 = \left(\frac{3 \times 10^8}{340}\right)^2 \approx (8.8 \times 10^5)^2 \approx 7.7 \times 10^{11}$

“以太”的弹性模量要比空气大约 $7.7 \times 10^{11}$ 倍——比最坚硬的钢铁还要硬数亿倍，却又对行星运动毫无影响。这一数字本身，就已经揭示了“以太”假说的荒诞之处。

麦克斯韦方程与光速的困境

1865年，麦克斯韦从他的电磁场方程组出发，推导出了电磁波的传播速度：

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$\varepsilon_0$ 是真空电容率。将已知数值代入：

$c = \frac{1}{\sqrt{4\pi \times 10^{-7} \times 8.85 \times 10^{-12}}} \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$

这个数值与当时测量到的光速完全吻合。麦克斯韦从纯粹的电磁学理论，推导出了光速的精确值，从而证明光就是电磁波——这是19世纪物理学最伟大的成就之一。

然而，随之而来的是一个深刻的矛盾。

在伽利略变换的框架下，速度是相对的：同一物体，在不同参考系中测得的速度不同。一颗以 $500\ \text{m/s}$ 飞行的子弹，从追赶它的飞机上看，速度可能只有 $100\ \text{m/s}$。但麦克斯韦方程给出的光速 $c$ 是一个固定数值，没有指明这个速度是相对于哪个参考系而言的。

两种可能的解释，都面临严重问题：

经典速度叠加与恒定光速之间，存在根本性的冲突：

例题

天文学家观测一个双星系统，两颗恒星绕共同质心旋转。某时刻，星A以速度 $v = 2 \times 10^5\ \text{m/s}$ 朝向地球运动，星B以同样速度背向地球运动。按照经典速度叠加，两颗星发出的光到达地球时速度各是多少？实际结果又是什么？

按经典速度叠加：

$u_A = c + v = 3 \times 10^8 + 2 \times 10^5 = 3.002 \times 10^8\ \text{m/s}$

$u_B = c - v = 3 \times 10^8 - 2 \times 10^5 = 2.998 \times 10^8\ \text{m/s}$

若此预测成立，经过数百光年的旅途，两束光的到达时间差将累积到数年，双星系统在地球上看来将呈现严重混乱的轨道图像。而实际观测表明双星轨道完全正常，两束光抵达地球的速度均为 $c$——光速与光源速度完全无关。

迈克尔逊-莫雷实验

如果以太真实存在，地球绕太阳公转时，必然在以太中穿行。就像骑自行车时感受到迎面的风，地球穿越以太也应该产生“以太风”。1887年，美国物理学家迈克尔逊（Albert Michelson）和化学家莫雷（Edward Morley）设计了一个精密实验，专门用来探测这股“以太风”。

实验装置

实验装置称为迈克尔逊干涉仪。光源发出的光，经半透半反镜分成两束，分别沿两条互相垂直的等长臂传播，经镜面反射后重新汇合，产生干涉条纹。

如果以太存在，两臂光的往返时间不同，汇合后就会产生相位差，干涉条纹发生偏移。将仪器旋转 $90°$ 后偏移方向反转，从而确认以太风的存在。

预期的时间差计算

设臂长为 $L$，地球相对以太的速度为 $v \approx 3 \times 10^4\ \text{m/s}$（地球公转速度），光速为 $c$。

沿运动方向往返时间（顺向光速 $c+v$，逆向光速 $c-v$）：

$t_1 = \frac{L}{c+v} + \frac{L}{c-v} = \frac{2Lc}{c^2 - v^2} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2}$

垂直方向往返时间（光路呈等腰三角形）：

$t_2 = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

由于 $v/c \approx 10^{-4} \ll 1$，利用近似展开得到时间差：

$\Delta t = t_1 - t_2 \approx \frac{Lv^2}{c^3}$

对应的干涉条纹偏移量（$\lambda$ 为光的波长）：

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} \approx \frac{Lv^2}{c^2 \lambda}$

以实验数据 $L \approx 11\ \text{m}$，$\lambda = 590\ \text{nm}$ 代入：

$\Delta n \approx \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^2 \times 590 \times 10^{-9}} \approx 0.19$

旋转 $90°$ 前后两次测量累计偏移约 $0.37$ 个条纹，以当时仪器可分辨精度 $0.01$ 个条纹，完全可以测量到。

实验结果

偏移量：零。

迈克尔逊和莫雷反复测量，更换仪器，在不同季节、不同时间重复实验，始终没有观察到任何条纹偏移。以下是几次主要观测的结果对比：

例题

以迈克尔逊-莫雷实验数据为基础，$L = 11\ \text{m}$，地球公转速度 $v = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$，$c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$，黄光波长 。

（1）计算 $v/c$ 的比值；（2）利用近似公式 $\Delta t \approx Lv^2/c^3$ 计算预期时间差；（3）计算预期条纹偏移量 $\Delta n = c\Delta t/\lambda$。

解：

$\frac{v}{c} = \frac{3 \times 10^4}{3 \times 10^8} = 10^{-4}$

$\Delta t \approx \frac{Lv^2}{c^3} = \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^3} = \frac{11 \times 9 \times 10^8}{2.7 \times 10^{25}} \approx 3.7 \times 10^{-16}\ \text{s}$

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \times 3.7 \times 10^{-16}}{590 \times 10^{-9}} \approx 0.19$

预期约 $0.19$ 个条纹偏移，而实际测量结果为零，远低于仪器分辨精度的约 $1\%$。

洛伦兹收缩：一次失败的修补

实验结果令物理学家陷入困惑。既然不愿放弃以太，那只能想办法解释为什么“以太风”探测不到。

1889年，菲茨杰拉德（George FitzGerald）提出了一个大胆的猜想：物体在运动方向上会发生收缩，收缩的比例恰好抵消以太风的影响。1892年，洛伦兹（Hendrik Lorentz）独立推导出同样的结论，并给出了数学公式——物体在运动方向上的长度按以下比例收缩：

$L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

其中 $L_0$ 是物体静止时的长度，$v$ 是运动速度。这个公式（即“洛伦兹-菲茨杰拉德收缩”）在数值上恰好能消除迈克尔逊-莫雷实验中预期的时间差——如果干涉仪沿运动方向的臂按这个比例缩短，两臂光程之差就恰好变为零。

不同速度下的收缩效果如下：

然而，这个修补方案存在根本性的缺陷：洛伦兹收缩是专门为解释这一实验而设计的假设，没有任何独立的物理机制支撑，只是“恰好”消除了矛盾。就像为了解释为什么温度计读数总是正确的，就假设存在一个专门干扰温度计的精灵——理论上自洽，却毫无预测能力和普遍意义。

例题

按照洛伦兹收缩假说，地球以公转速度 $v = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ 相对以太运动，地球直径在运动方向上的收缩量是多少？地球半径约 $R = 6.4 \times 10^6\ \text{m}$。

直径 $D = 2R = 1.28 \times 10^7\ \text{m}$，利用近似公式 $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$（）：

$\Delta D = D \cdot \frac{v^2}{2c^2} = 1.28 \times 10^7 \times \frac{(3 \times 10^4)^2}{2 \times (3 \times 10^8)^2} = 1.28 \times 10^7 \times 5 \times 10^{-9} \approx 0.064\ \text{m}$

地球直径收缩约 $6.4\ \text{cm}$——对直径 $1.28 \times 10^7\ \text{m}$ 的地球而言，这是原长的五十亿分之一，任何宏观仪器都无从测量。

经典物理大厦的裂缝

到19世纪末，物理学家面对的局面可以用下表来概括：

每一次“修补”都带来新的矛盾。真正的出路不在于继续修补，而在于重新审视基础假设本身。爱因斯坦没有问“如何解释以太风为何测不到”，而是问“时间和空间究竟是什么”——这一转变，是物理学史上最深刻的思想革命之一。

练习题

选择题

题目一（以太假说的性质）

19世纪物理学家要求“以太”具有极高弹性（刚性极强）的原因是：

A. 光能在真空中传播，真空弹性最大

B. 以太密度极大，需要高弹性来保持形状

C. 光速极高，根据波动理论，介质刚性越大，波速越快

D. 以太对行星运动无阻力，需要弹性来补偿

题目二（麦克斯韦方程与速度叠加的矛盾）

麦克斯韦方程推导出光速 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$，这与经典力学速度叠加产生矛盾，根本原因是：

A. 麦克斯韦方程只适用于真空，不适用于介质

B. 麦克斯韦方程给出的光速是固定常数，而经典速度叠加要求速度随参考系变化

C. 伽利略变换只适用于力学，电磁学本来就不适用

D. 光源的运动方向与速度都会影响光速的大小

题目三（迈克尔逊-莫雷实验）

迈克尔逊-莫雷实验的核心结论是：

A. 以太存在，并随地球一起运动（以太拖拽）

B. 地球相对以太的速度非常小，仅凭当时仪器精度不够

C. 没有发现预期的干涉条纹偏移，无法探测到“以太风”的存在

D. 光速在平行和垂直地球公转方向上略有不同，与以太理论一致

题目四（洛伦兹收缩假说的本质）

洛伦兹-菲茨杰拉德收缩假说的根本缺陷是：

A. 收缩量太小，任何实验都无法验证

B. 该假说是专为解释迈克尔逊-莫雷实验而设计的，没有独立的物理机制，不能预测其他新现象

C. 收缩公式在数学上存在错误

D. 洛伦兹只考虑了长度变化，完全没有考虑时间的变化

计算题

计算题一（迈克尔逊-莫雷实验的预期偏移量）

迈克尔逊-莫雷实验中，干涉仪臂长 $L = 11\ \text{m}$，地球公转速度 $v = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$，光速 $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$，使用波长 的黄光。

（1）计算沿运动方向往返时间 $t_1 = \dfrac{2Lc}{c^2 - v^2}$；

（2）计算垂直方向往返时间 $t_2 = \dfrac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}}$；

（3）利用近似 $(1-x)^{-1} \approx 1+x$ 和 $(1-x)^{-1/2} \approx 1 + x/2$（令 ），证明时间差约为 ，并计算其数值；

（4）计算预期条纹偏移量 $\Delta n = c\Delta t/\lambda$。

计算题二（洛伦兹收缩量的计算与对比）

一艘飞船静止时长度为 $L_0 = 100\ \text{m}$，按照洛伦兹收缩公式 $L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$，。

（1）当飞船以地球公转速度 $v_1 = 3 \times 10^4\ \text{m/s}$ 运动时，利用近似 $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$（），计算收缩量 ；

（2）当飞船以 $v_2 = 0.6c$ 运动时，精确计算飞船的长度 $L_2$ 及收缩量 $\Delta L_2$；

（3）比较两种情况，说明在日常速度下洛伦兹收缩为何完全感知不到。

（1） 沿运动方向往返时间：

$t_1 = \frac{2Lc}{c^2 - v^2} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2} = \frac{2 \times 11}{3 \times 10^8} \times \frac{1}{1 - 10^{-8}}$

$t_1 \approx 7.333 \times 10^{-8} \times (1 + 10^{-8}) \approx 7.333 \times 10^{-8}\ \text{s}$

（2） 垂直方向往返时间：

$t_2 = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx \frac{2L}{c}\left(1 + \frac{v^2}{2c^2}\right)$

$t_2 \approx 7.333 \times 10^{-8} \times (1 + 5 \times 10^{-9}) \approx 7.333 \times 10^{-8}\ \text{s}$

（3） 时间差：

$\Delta t = t_1 - t_2 \approx \frac{2L}{c}\left[\frac{1}{1-\beta^2} - \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right]$

$\approx \frac{2L}{c}\left[(1+\beta^2) - \left(1 + \frac{\beta^2}{2}\right)\right] = \frac{2L}{c} \cdot \frac{\beta^2}{2} = \frac{L\beta^2}{c} = \frac{Lv^2}{c^3}$

数值计算：

$\Delta t = \frac{11 \times (3 \times 10^4)^2}{(3 \times 10^8)^3} = \frac{11 \times 9 \times 10^8}{2.7 \times 10^{25}} \approx 3.7 \times 10^{-16}\ \text{s}$

（4） 预期条纹偏移量：

$\Delta n = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \times 3.7 \times 10^{-16}}{590 \times 10^{-9}} = \frac{1.11 \times 10^{-7}}{5.9 \times 10^{-7}} \approx 0.19$

考虑旋转 $90°$ 前后两次测量的总偏移量约为 $2\Delta n \approx 0.37$ 个条纹。而实验仪器精度为 $0.01$ 个条纹，完全可以测量到，但实际结果为零。

$\Delta L_1 = L_0 \cdot \frac{v_1^2}{2c^2} = 100 \times \frac{10^{-8}}{2} = 5 \times 10^{-7}\ \text{m} = 500\ \text{nm}$

收缩量约为 $500\ \text{nm}$（纳米级），仅为飞船原长的五十亿分之一，远小于可见光波长，任何宏观仪器都无法测量。

（2） $v_2 = 0.6c$ 时，精确计算：

$L_2 = L_0\sqrt{1 - (0.6)^2} = 100 \times \sqrt{1 - 0.36} = 100 \times \sqrt{0.64} = 100 \times 0.8 = 80\ \text{m}$

$\Delta L_2 = L_0 - L_2 = 100 - 80 = 20\ \text{m}$

飞船长度缩短 $20\ \text{m}$，收缩量达原长的 $20\%$，非常显著。

（3） 对比：

洛伦兹收缩只有在接近光速时才变得显著。在地球公转速度这样的日常速度下，收缩量约为原长的五十亿分之一，完全超出任何测量手段的分辨极限，因此在日常生活中根本感知不到。