洛伦兹变换

爱因斯坦的两条假设已经告诉我们，「同时」不是绝对的——在一个参考系里同时发生的两件事，在另一个参考系里未必同时。既然时间本身都不再绝对，经典力学用了两百多年的伽利略变换就不再正确。它建立在「$t' = t$」这个绝对时间假设之上，而这个假设已经被推翻。

真正符合光速不变原理和相对性原理的坐标变换，就是洛伦兹变换。它描述的是两个惯性参考系之间，空间坐标和时间坐标的正确换算规则。

为什么需要新的变换

伽利略变换的核心只有两条方程：

$x' = x - vt, \quad t' = t$

第二个方程 $t' = t$ 隐含着「时间对所有参考系完全相同」的假设，这在低速世界里与实验完全吻合。但一旦涉及光速，矛盾便立刻出现。

在地面系 $S$ 中，一束光沿 $x$ 轴正方向传播，其位置满足 $x = ct$。按伽利略速度叠加，在以速度 $v$ 运动的 $S'$ 系中，这束光的速度应为 $u^{\mathrm{\prime }}=c-$，与 有关。而光速不变原理要求任何惯性系中光速均为 ，这直接与伽利略变换矛盾。

新的变换必须同时满足两个要求：

洛伦兹变换的推导

设 $S$ 系（地面）与 $S'$ 系（飞船）在 $t = t' = 0$ 时原点重合，$S'$ 系以速度 沿 轴正方向匀速运动。

第一步：变换必须是线性的

若变换不是线性的，匀速直线运动在换系后可能变成加速运动，破坏惯性系的定义。设空间变换为：

$x' = \gamma(x - vt)$

其中 $\gamma$ 是一个待定系数，称为洛伦兹因子，是速度 $v$ 的函数。当 $\gamma = 1$ 时退化为伽利略变换。

第二步：利用光速不变原理定出时间变换

在 $t = 0$ 时刻，两原点重合，同时从原点发出一个光信号。在 $S$ 系中，光满足 $x = ct$。在 $S'$ 系中，同一束光必须满足 $x' = ct'$。要使这两个方程通过一个线性变换联系起来，时间变换应取如下形式：

$t' = \gamma\left(t - \frac{v}{c^2}x\right)$

验证：将 $x = ct$ 代入，

$x' = \gamma(ct - vt) = \gamma t(c - v)$

$t' = \gamma\left(t - \frac{v}{c^2} \cdot ct\right) = \gamma t\left(1 - \frac{v}{c}\right)$

于是：

$\frac{x'}{t'} = \frac{c(1 - v/c)}{1 - v/c} = c \checkmark$

光速不变原理得到满足。

第三步：利用对称性确定 $\gamma$ 的数值

从 $S'$ 系的角度看，$S$ 系以速度 $-v$ 运动，因此逆变换为：

$x = \gamma(x' + vt')$

将正变换代入逆变换：

$x = \gamma\left[\gamma(x - vt) + v\gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)\right] = \gamma^2 x\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$

要使等式成立：

$\gamma^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = 1 \implies \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

推导完成。洛伦兹变换的完整形式如下：

例题

一艘飞船以 $v = 0.6c$ 相对地面匀速飞行（$t = t' = 0$ 时两原点重合）。在地面系 $S$ 中，一次爆炸发生在 $t = 0$、 处。求飞船参考系 中，这次爆炸的时间坐标 和空间坐标 。

$v = 0.6c$，$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0.36}} = \dfrac{1}{0.8} = 1.25$

$x' = \gamma(x - vt) = 1.25 \times (900 - 0) = 1125\ \text{m}$

$t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) = 1.25 \times \left(0 - \frac{0.6c \times 900}{c^2}\right) = 1.25 \times \left(-\frac{540}{3 \times 10^8}\right) \approx -2.25 \times 10^{-6}\ \text{s}$

负的 $t'$ 表明：在飞船参考系中，这次爆炸发生在 $t' = 0$ 之前约 $2.25\ \mu\text{s}$，这正是同时性相对性在具体计算中的体现。

洛伦兹因子的数值规律

洛伦兹因子 $\gamma$ 是整个相对论运动学的核心参数：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

它描述了运动参考系相对于静止参考系在时间和空间上「扭曲」的程度。$\gamma$ 的几个关键性质值得记住：

例题

计算 $v = 0.5c$、$v = 0.9c$、$v = 0.99c$ 三种情况下的洛伦兹因子，并对比增长幅度。

$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.25}} = \frac{1}{\sqrt{0.75}} \approx 1.155$

$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.81}} = \frac{1}{\sqrt{0.19}} \approx 2.294$

$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9801}} = \frac{1}{\sqrt{0.0199}} \approx 7.089$

速度仅从 $0.5c$ 增加到 $0.99c$，增量不到 $0.5c$，但 $\gamma$ 却增大了约 $6.1$ 倍。越接近光速，$\gamma$ 的增长越急剧——这种非线性增长正是光速上限难以突破的数学根源。

下表给出更完整的 $\gamma$ 数值，包括日常速度下的极小效应：

逆变换与对称性

洛伦兹变换具有非常优美的对称性。从 $S'$ 系的视角来看，$S$ 系以速度 $-v$ 运动，只需将正变换中的 $v$ 替换为 $-v$，便得到逆变换：

$x = \gamma(x' + vt'), \quad t = \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)$

由于 $\gamma$ 只依赖 $v^2$，正负号不影响其数值，因此正变换和逆变换共用同一个 $\gamma$。两套变换在形式上高度对称，区别仅在于 $v$ 的符号和所用的坐标带不带撇。这种对称性正是相对性原理的数学体现——$S$ 系和 $S'$ 系地位平等，没有哪个更「特殊」。

例题

飞船以 $v = 0.8c$ 相对地面飞行，$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 \approx 1.667$。在飞船系 中，一次事件发生在 、 处。用逆变换求该事件在地面系 中的坐标。

$x = \gamma(x' + vt') = 1.667 \times \left(600 + 0.8 \times 3 \times 10^8 \times 2 \times 10^{-6}\right)$

$= 1.667 \times (600 + 480) = 1.667 \times 1080 \approx 1800\ \text{m}$

$t = \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right) = 1.667 \times \left(2 \times 10^{-6} + \frac{0.8c \times 600}{c^2}\right)$

$= 1.667 \times \left(2 \times 10^{-6} + \frac{480}{3 \times 10^8}\right) = 1.667 \times 3.6 \times 10^{-6} \approx 6 \times 10^{-6}\ \text{s}$

该事件在地面系中发生在 $t = 6\ \mu\text{s}$、$x = 1800\ \text{m}$ 处。

向伽利略变换的退化

当 $v \ll c$ 时，$v^2/c^2 \to 0$，洛伦兹因子趋近于 $1$：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1$

此时正变换退化为：

$x' \approx x - vt$

$t' \approx t - \frac{vx}{c^2} \approx t \quad \left(\text{因为 } \frac{vx}{c^2} \text{ 极其微小}\right)$

这正是伽利略变换。第二个方程的修正项 $vx/c^2$ 虽然不严格为零，但在日常速度和距离范围内，其数值小到任何仪器都无从测量。

例题

一列高铁以 $v = 80\ \text{m/s}$ 行驶。在地面系中，某事件发生于 $t = 0$、$x = 1000\ \text{m}$ 处。分别用洛伦兹变换和伽利略变换计算时间坐标 $t'$，并比较差异。

时间修正项：

$\frac{vx}{c^2} = \frac{80 \times 1000}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{8 \times 10^4}{9 \times 10^{16}} \approx 8.9 \times 10^{-13}\ \text{s}$

约 $0.89$ 皮秒的时间差在任何工程应用中均无从分辨。这正是牛顿力学在日常世界里仍然精准可靠的根本原因——相对论的修正存在，只是在低速条件下极其微小。

练习题

选择题

题目一（洛伦兹因子的计算）

一艘飞船以 $v = 0.6c$ 相对地面飞行，洛伦兹因子 $\gamma$ 的值为：

A. $0.8$

B. $1.0$

C. $1.25$

D. $1.67$

题目二（洛伦兹变换与伽利略变换的关系）

关于洛伦兹变换与伽利略变换，下列说法正确的是：

A. 两者完全等价，只是写法不同

B. 伽利略变换是洛伦兹变换在速度远小于光速时的近似

C. 洛伦兹变换只适用于速度接近光速的情况

D. 只有在速度超过光速时，两种变换才有明显差异

题目三（横向坐标的不变性）

$S'$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴方向运动，在洛伦兹变换中，下列正确的是：

A. $x$、$y$、$z$ 三个方向的坐标都会发生变化

B. 只有 $x$ 方向坐标发生变化，$y$ 和 $z$ 方向严格不变

C. $y$ 方向略有收缩，$z$ 方向不变

D. $y$ 和 $z$ 方向都有微小变化，但可以忽略

题目四（逆变换的形式）

在逆洛伦兹变换（从 $S'$ 系变回 $S$ 系）中，与正变换相比，发生改变的是：

A. $\gamma$ 的值变为 $1/\gamma$

B. 速度 $v$ 的符号由正变负

C. 空间坐标和时间坐标同时乘以 $-1$

D. 所有变量的下标从带撇换成不带撇，其余完全不变

计算题

计算题一（洛伦兹变换的坐标计算）

一艘飞船以 $v = 0.8c$ 相对地面向 $x$ 轴正方向飞行（$t = t' = 0$ 时两坐标系原点重合）。在地面参考系 $S$ 中，发生了两个事件：

事件 $A$：$t_A = 0$，$x_A = 0$

事件 $B$：$t_B = 5 \times 10^{-6}\ \text{s}$，$x_B = 1200\ \text{m}$

（1）计算洛伦兹因子 $\gamma$；

（2）利用洛伦兹变换，求两个事件在飞船参考系 $S'$ 中的时间坐标 $t_A'$ 和 $t_B'$；

（3）计算两系中的时间差 $\Delta t = t_B - t_A$ 与 $\Delta t' = t_B' - t_A'$，比较并说明其物理意义。

计算题二（逆变换与自洽性验证）

飞船以 $v = 0.6c$ 相对地面飞行。在飞船参考系 $S'$ 中，两个事件的坐标如下：

事件 $P$：$t_P' = 0$，$x_P' = 0$

事件 $Q$：$t_Q' = 4 \times 10^{-6}\ \text{s}$，$x_Q^{\mathrm{\prime }}=900$

（1）利用逆洛伦兹变换，将事件 $Q$ 的坐标变换到地面系 $S$ 中；

（2）将（1）的结果代入正变换，验证能否还原 $S'$ 系中事件 $Q$ 的原始坐标；

（3）计算两系中两事件的时间差 $\Delta t$ 与 $\Delta t'$，说明大小关系及其物理含义。

故选 C。

（2） 对事件 $A$（$t_A = 0$，$x_A = 0$）：

$t_A' = \gamma\left(t_A - \frac{vx_A}{c^2}\right) = 1.667 \times 0 = 0$

对事件 $B$（$t_B = 5 \times 10^{-6}\ \text{s}$，$x_B = 1200\ \text{m}$）：

$t_B' = \gamma\left(t_B - \frac{vx_B}{c^2}\right) = 1.667 \times \left(5 \times 10^{-6} - \frac{0.8c \times 1200}{c^2}\right)$

$= 1.667 \times \left(5 \times 10^{-6} - \frac{960}{3 \times 10^8}\right) = 1.667 \times \left(5 \times 10^{-6} - 3.2 \times 10^{-6}\right)$

$= 1.667 \times 1.8 \times 10^{-6} = 3.0 \times 10^{-6}\ \text{s}$

（3） 时间差比较：

$\Delta t = 5 \times 10^{-6}\ \text{s}, \quad \Delta t' = 3 \times 10^{-6}\ \text{s}$

地面系中的时间差（$5\ \mu\text{s}$）大于飞船系中的时间差（$3\ \mu\text{s}$）。在飞船参考系中，两个事件之间经历的时间更短。这是时间膨胀效应的前奏——运动参考系中的「本地时间」（固有时）总是最短的，静止系观测到的时间间隔反而更长。

（1） 逆变换（$S' \to S$）：

$x_Q = \gamma(x_Q' + vt_Q') = 1.25 \times \left(900 + 0.6 \times 3 \times 10^8 \times 4 \times 10^{-6}\right)$

$= 1.25 \times (900 + 720) = 1.25 \times 1620 = 2025\ \text{m}$

$t_Q = \gamma\left(t_Q' + \frac{vx_Q'}{c^2}\right) = 1.25 \times \left(4 \times 10^{-6} + \frac{0.6c \times 900}{c^2}\right)$

$= 1.25 \times \left(4 \times 10^{-6} + \frac{540}{3 \times 10^8}\right) = 1.25 \times (4 + 1.8) \times 10^{-6} = 7.25 \times 10^{-6}\ \text{s}$

事件 $Q$ 在地面系：$x_Q = 2025\ \text{m}$，$t_Q = 7.25\ \mu\text{s}$。

（2） 验证——将地面系坐标代回正变换：

$x_Q' = \gamma(x_Q - vt_Q) = 1.25 \times (2025 - 0.6 \times 3 \times 10^8 \times 7.25 \times 10^{-6})$

$= 1.25 \times (2025 - 1305) = 1.25 \times 720 = 900\ \text{m} \checkmark$

$t_Q' = \gamma\left(t_Q - \frac{vx_Q}{c^2}\right) = 1.25 \times \left(7.25 \times 10^{-6} - \frac{0.6 \times 3 \times 10^8 \times 2025}{(3 \times 10^8)^2}\right)$

$= 1.25 \times (7.25 - 4.05) \times 10^{-6} = 1.25 \times 3.2 \times 10^{-6} = 4 \times 10^{-6}\ \text{s} \checkmark$

原始坐标完全还原，正变换与逆变换完全自洽。

（3） 时间差比较：

事件 $P$ 在地面系：$t_P = 0$，$x_P = 0$（原点对原点，坐标均为零）。

$\Delta t = t_Q - t_P = 7.25 \times 10^{-6}\ \text{s}, \quad \Delta t' = t_Q' - t_P' = 4 \times 10^{-6}\ \text{s}$

地面系时间差（$7.25\ \mu\text{s}$）大于飞船系时间差（$4\ \mu\text{s}$）。两个事件在飞船参考系中均发生于 $x' = 0$ 处，飞船系测得的时间差即为固有时。地面系观测到的时间间隔被拉长，这就是时间膨胀——固有时是所有参考系中测得的最短时间间隔。