时间膨胀与长度收缩

洛伦兹变换给出了两个参考系之间坐标和时间的精确换算规则。从这套规则出发，可以直接推导出两个令人惊讶的物理效应：运动中的时钟走得更慢，运动中的尺子在运动方向上变短。这两个效应不是仪器误差，也不是感知幻觉，而是时空结构本身的性质，并且都有严格的实验证据支撑。

固有时与时间膨胀

时钟的走速取决于它所处的运动状态。一只静止的时钟和一只运动中的时钟，在相同情况下测量同一段时间，结果并不相同。

与某个物体始终在同一位置的时钟，测量的时间叫做该物体的固有时（proper time），记作 $\Delta t_0$。固有时的关键在于「同地」——时钟在同一个地点先后经历两次事件（比如心跳的「第一下」和「第二下」发生在同一位置），两次事件之间的时间差就是固有时。

• 固有时：时钟与两次事件处于同一地点时测得的时间间隔，是该时钟在所有参考系中读数最短的值。

设 $S'$ 系中有一只静止的时钟，连续两次滴答发生在同一地点（$\Delta x' = 0$），时间间隔为 $\Delta t_0$（固有时）。在相对 $S'$ 系以速度 $v$ 运动的 $S$ 系中，由洛伦兹变换可以推出：

$\Delta t = \gamma \Delta t_0$

其中 $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1$。由于 ，始终有 。在 系的观测者看来， 系中的时钟走得比 系慢，这就是。

下面给出了不同相对速度下的 $\gamma$ 值，以及运动时钟相对于静止时钟慢了多少：

例题一

一艘飞船以 $v = 0.8c$ 相对地球飞行，飞船上的宇航员测得自己的心跳为每分钟 $70$ 次。在地球观测者看来，宇航员每分钟心跳多少次？

$v = 0.8c$ 对应的洛伦兹因子：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.667$

飞船上 $1$ 分钟（固有时 $\Delta t_0 = 60\ \text{s}$）对应地球上的时间：

$\Delta t = \gamma \Delta t_0 = 1.667 \times 60 \approx 100\ \text{s}$

宇航员在 $100\ \text{s}$ 内跳了 $70$ 次，换算成每分钟：

$\frac{70}{100} \times 60 = 42\ \text{次/分钟}$

在地球观测者看来，宇航员心跳变慢了——这不是宇航员生病，而是飞船参考系里的时间本身就走得更慢。

μ 子：时间膨胀的实验证据

μ 子（muon）是一种不稳定的基本粒子，在静止状态下平均寿命约为 $\tau_0 = 2.2\ \mu\text{s}$。宇宙射线轰击高层大气时，在距地面约 $15\ \text{km}$ 的高空产生大量 μ 子，这些 μ 子以约 $0.998c$ 的速度向地面飞来。

先来做一个经典估算：按照 $\tau_0 = 2.2\ \mu\text{s}$ 计算，μ 子在衰变前能飞行的最大距离为：

$d_{\text{经典}} = v \cdot \tau_0 = 0.998 \times 3\times10^8\ \text{m/s} \times 2.2\times10^{-6}\ \text{s} \approx 659\ \text{m}$

不到 $700\ \text{m}$，远不够抵达地面（$15\ \text{km}$）。经典物理预测，地面探测器几乎不会探测到来自高空的 μ 子。

然而实验结果是：地面探测到了大量 μ 子，数量与相对论预言高度吻合。

相对论的解释

$v = 0.998c$ 对应的洛伦兹因子：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.998^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.996004}} = \frac{1}{\sqrt{0.003996}} \approx 15.8$

在地面参考系中，μ 子的寿命由于时间膨胀被延长为：

$\tau = \gamma \tau_0 = 15.8 \times 2.2\ \mu\text{s} \approx 34.8\ \mu\text{s}$

μ 子在这段时间内能飞行的距离：

$d = v \cdot \tau = 0.998 \times 3\times10^8 \times 34.8\times10^{-6} \approx 10\ 430\ \text{m} \approx 10.4\ \text{km}$

对于速度更接近 $c$ 的 μ 子，飞行距离可以超过 $15\ \text{km}$，轻松抵达地面。

固有长度与长度收缩

时间在运动中会「变慢」，空间在运动方向上同样会「变短」。

与一把尺子相对静止的观测者，测量到的尺子长度称为该尺子的固有长度（proper length），记作 $L_0$。固有长度是所有参考系中对该尺子测得的最大值。

• 固有长度：与尺子相对静止的参考系中测得的长度，是所有参考系中测量结果的最大值。

当一把尺子以速度 $v$ 沿其长度方向运动时，运动方向上的长度变为：

$L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

由于 $\gamma \geq 1$，始终有 $L \leq L_0$——运动中的尺子，在运动方向上比静止时更短，这就是长度收缩（洛伦兹收缩）。

例题二

一艘飞船的固有长度为 $L_0 = 500\ \text{m}$，以 $v = 0.6c$ 相对太空站飞过。太空站上的观测者测得飞船长度是多少？

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.64}} = \frac{1}{0.8} = 1.25$

$L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{500}{1.25} = 400\ \text{m}$

太空站观测者看到飞船只有 $400\ \text{m}$ 长，比飞船本身的固有长度短了 $100\ \text{m}$。

横向方向为何不收缩

长度收缩只发生在运动方向上，垂直于运动方向的尺寸完全不变。

用对称性来理解这一点：设 $S$ 和 $S'$ 两个参考系沿 $x$ 轴方向有相对运动，各自在 $y$ 方向各有一把固有长度均为 $h$ 的尺子。$S$ 系看 $S^{}$ 的尺子，若 方向发生收缩，则 的尺子在 眼中更短；但运动是相对的， 看 的尺子也应该更短——这意味着两把尺子互相看对方都更短，而当两把尺子在同一地点正面相遇时，哪把更短是客观事实，不可能同时成立两种相反的结论。因此，垂直方向不存在长度收缩。

例题三

一个正方体，边长 $a = 2\ \text{m}$，以 $v = 0.8c$ 沿 $x$ 轴方向飞过静止观测者。静止观测者看到正方体的形状如何？

$v = 0.8c$ 时 $\gamma = 1.667$。沿 $x$ 方向（运动方向）：

$L_x = \frac{a}{\gamma} = \frac{2}{1.667} \approx 1.2\ \text{m}$

$y$ 方向和 $z$ 方向不变，仍为 $2\ \text{m}$。

静止观测者看到的是一个长方体：$x$ 方向长 $1.2\ \text{m}$，$y$ 和 $z$ 方向各 $2\ \text{m}$，在运动方向上被「压扁」了。

时间膨胀与长度收缩的对称关系

这两个效应并非彼此独立，而是来自同一套洛伦兹变换，互为表里。μ 子的例子最能说明这一点。

从地面参考系看：大气层厚度为固有长度 $H_0 = 15\ \text{km}$，μ 子寿命由于时间膨胀变为 $\tau = \gamma \tau_0 \approx 34.8\ \mu\text{s}$，有足够时间飞越 。

从 μ 子参考系看：μ 子自身静止，大气层以 $v = 0.998c$ 向自己扑来，大气层厚度发生长度收缩：

$H = \frac{H_0}{\gamma} = \frac{15\ \text{km}}{15.8} \approx 0.95\ \text{km}$

μ 子只需以固有寿命 $\tau_0 = 2.2\ \mu\text{s}$ 等待不到 $1\ \text{km}$ 厚的大气层飞过去，当然来得及。

两种视角对「μ 子是否到达地面」这一物理事实给出了完全相同的答案：

• 时间膨胀和长度收缩是同一个洛伦兹变换的两个侧面，换一个参考系，用的效应不同，但物理结论完全相同。

例题四

一艘飞船以 $v = 0.8c$ 飞往距地球 $d_0 = 4\ \text{光年}$ 的恒星（$1\ \text{光年} =$ 光在真空中走 $1$ 年的距离，速度单位用 ，时间单位用「年」）。

从地球参考系看，飞行时间为：

$\Delta t = \frac{d_0}{v} = \frac{4\ \text{光年}}{0.8c} = 5\ \text{年}$

从飞船参考系看，地球到恒星的距离发生长度收缩（$\gamma = 1.667$）：

$d = \frac{d_0}{\gamma} = \frac{4}{1.667} \approx 2.4\ \text{光年}$

飞船飞越这段距离需要的固有时：

$\Delta t_0 = \frac{d}{v} = \frac{2.4\ \text{光年}}{0.8c} = 3\ \text{年}$

也可以用时间膨胀直接验算：$\Delta t_0 = \Delta t / \gamma = 5/1.667 = 3\ \text{年}$，结果完全一致。

练习题

选择题

题目一（时间膨胀的基本计算）

一艘飞船以 $v = 0.6c$ 相对地球飞行（$\gamma = 1.25$），飞船上的时钟走了 $1$ 小时，地球上的时钟走了多长时间？

A. $0.8$ 小时

B. $1$ 小时

C. $1.25$ 小时

D. $1.5$ 小时

题目二（长度收缩的方向性）

一根固有长度 $L_0 = 3\ \text{m}$ 的杆子以速度 $v = 0.8c$ 运动，下列说法正确的是：

A. 无论杆子朝哪个方向放置，观测者都测得其长度缩短为 $L_0/\gamma$

B. 只有当杆子沿运动方向放置时，观测者才测得其长度为 $L_0/\gamma$；垂直运动方向放置时长度不变

C. 杆子在任何方向都不收缩，只有时间会发生变化

D. 杆子在运动方向上变长，垂直方向上变短

题目三（μ 子实验的理解）

μ 子在自身参考系中的平均寿命为 $\tau_0 = 2.2\ \mu\text{s}$，以 $v = 0.995c$ 在大气层中运动（此速度下 $\gamma \approx 10$）。在地面参考系中，μ 子的平均寿命约为多少？

A. $0.22\ \mu\text{s}$

B. $2.2\ \mu\text{s}$

C. $22\ \mu\text{s}$

D. $220\ \mu\text{s}$

题目四（时间膨胀与长度收缩的统一）

关于时间膨胀和长度收缩，以下说法正确的是：

A. 时间膨胀是真实的物理效应，长度收缩只是一种视觉幻觉

B. 长度收缩是真实的物理效应，时间膨胀只是一种感知误差

C. 两者都是真实的物理效应，来自同一个洛伦兹变换，互相联系

D. 两者是互相矛盾的效应，对同一个物理事实只能用其中一个来解释

计算题

计算题一（时间膨胀的综合应用）

一艘飞船从地球出发，以 $v = 0.8c$ 飞往距地球 $d = 12\ \text{光年}$ 的恒星（用「光年」和「年」为单位计算，$1\ \text{光年}$ 即光速飞行 $1$ 年的距离）。

（1）计算此速度下的洛伦兹因子 $\gamma$；

（2）在地球参考系中，飞船抵达目的地需要多少年？

（3）在飞船参考系中，宇航员经历的固有时是多少年？

计算题二（时间膨胀与长度收缩的双重视角）

μ 子在大气层顶（距地面 $H_0 = 10\ \text{km}$）产生，以 $v = 0.99c$ 向地面飞来，固有寿命 $\tau_0 = 2.2\ \mu\text{s}$。已知 。

（1）计算 $v = 0.99c$ 时的洛伦兹因子 $\gamma$；

（2）从地面参考系出发：计算地面系中 μ 子的寿命，以及在该寿命内 μ 子能飞行的距离，并与经典预言对比；

（3）从 μ 子参考系出发：计算 μ 子眼中的大气层厚度，判断 μ 子以固有寿命能否飞越，并与（2）的结论对比。

运动中的时钟走得慢，地球上的时钟走了更长的时间，故选 C。

杆子垂直运动方向放置时，测得长度仍为 $3\ \text{m}$，不发生变化。选项 A 范围过宽，C、D 均错，故选 B。

地面观测者看到 μ 子寿命延长了 $10$ 倍，有充足时间飞越数千米的大气层，故选 C。

（2） 地球参考系中，飞船以 $v = 0.8c$ 飞越 $d = 12\ \text{光年}$：

$\Delta t = \frac{d}{v} = \frac{12\ \text{光年}}{0.8c} = \frac{12}{0.8}\ \text{年} = 15\ \text{年}$

在地球看来，飞行历时 $15$ 年。

（3） 飞船上的固有时（宇航员的主观时间）由时间膨胀公式给出：

$\Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{15}{1.667} \approx 9\ \text{年}$

也可以用飞船参考系中的长度收缩来验算：飞船参考系中地球到恒星的距离为 $d' = d/\gamma = 12/1.667 \approx 7.2\ \text{光年}$，飞越时间 $\Delta t_0 = 7.2/0.8 = 9\ \text{年}$，结果一致。

宇航员在飞船上经历了约 $9$ 年，而地球上已过去 $15$ 年。两者相差 $6$ 年，这是时间膨胀带来的真实差异。

（2） 地面参考系——时间膨胀：

μ 子寿命（时间膨胀）：

$\tau = \gamma \tau_0 = 7.09 \times 2.2\ \mu\text{s} \approx 15.6\ \mu\text{s}$

μ 子在此时间内飞行的距离：

$d = v \cdot \tau = 0.99 \times 3\times10^8\ \text{m/s} \times 15.6\times10^{-6}\ \text{s} \approx 4630\ \text{m} \approx 4.63\ \text{km}$

经典预言（无时间膨胀）：

$d_{\text{经典}} = v \cdot \tau_0 = 0.99 \times 3\times10^8 \times 2.2\times10^{-6} \approx 653\ \text{m}$

对比如下：

相对论预言的飞行距离是经典预言的约 $7$ 倍，大量 μ 子可以穿越更厚的大气层，与实验吻合。

（3） μ 子参考系——长度收缩：

大气层在 μ 子参考系中的厚度：

$H = \frac{H_0}{\gamma} = \frac{10\ \text{km}}{7.09} \approx 1.41\ \text{km}$

μ 子以固有寿命 $\tau_0 = 2.2\ \mu\text{s}$ 等待大气层飞过，大气层在此时间内相对 μ 子移动的距离：

$d' = v \cdot \tau_0 = 0.99 \times 3\times10^8 \times 2.2\times10^{-6} \approx 653\ \text{m}$

与 $H = 1410\ \text{m}$ 对比，此速度下 μ 子飞越不到一半的大气层就已衰变（$v = 0.99c$ 时 $\gamma$ 不够大）；换用 $v = 0.998c$（$\gamma \approx 15.8$）时，大气层收缩至约 $950\ \text{m}$，μ 子完全可以飞越。

两种视角的结论完全一致——说明时间膨胀与长度收缩是同一物理规律在不同参考系下的体现，二者相辅相成，不可分割。