相对论动力学：动量、力与能量

经典力学建立了动量守恒和能量守恒的完整体系，这套体系在日常速度下精确成立。然而当物体速度接近光速时，经典公式给出的结果开始与实验偏离，粒子加速器里的数据一再告诉物理学家：必须修正动量和能量的定义。这一修正的过程，最终引出了 $E = mc^2$ 这个改变了人类对能量认知的方程。

经典动量在高速下遇到了什么问题

经典力学中，动量定义为质量与速度的乘积：$p = mv$。动量守恒定律是经典力学的基石之一，在低速碰撞、爆炸等过程中得到无数次验证。

粒子加速器中，电子被加速到接近光速。实验观测发现：按照经典公式 $p = mv$ 计算出的动量，在粒子速度超过约 $0.1c$ 之后就开始偏离实测值，速度越高，偏差越大。如果坚持使用经典公式，在两个高速粒子碰撞的实验中，动量守恒定律会明显不成立。

问题的根源在于洛伦兹变换。经典动量 $p = mv$ 是在伽利略变换下推导出来的，而伽利略变换已经被证明是洛伦兹变换在低速情况下的近似。在高速情况下，必须重新推导动量的定义，使其满足洛伦兹变换下的守恒性。

下表展示了一个质量 $m = 1\ \text{kg}$ 的物体在不同速度下，经典动量与相对论动量的对比：

速度越高，两种计算结果的差距越显著。

相对论动量的定义

在洛伦兹变换下，要使动量守恒成立，动量必须重新定义为：

$\vec{p} = \gamma m \vec{v} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

其中 $m$ 是粒子的静止质量（rest mass），即粒子静止时的质量，是一个与参考系无关的固有量；$\gamma$ 是洛伦兹因子。

• 相对论动量：$\vec{p} = \gamma m \vec{v}$，比经典动量多了一个 因子。速度越高， 越大，动量增长越快，趋近于无穷大。

例题一

一个质子（静止质量 $m_p = 1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$）被加速到 $v = 0.9c$。计算其相对论动量，并与经典动量比较。

$v = 0.9c$ 时的洛伦兹因子为：

相对论动量为：

经典动量（不乘以 $\gamma$）为：

可见，相对论动量约为经典动量的 $2.294$ 倍。粒子加速器中测量到的偏转，与相对论动量的预测吻合，与经典动量预测不同。

相对论动能

经典动能 $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$ 同样需要修正。从相对论动量出发，可以推导出相对论动能的表达式：

$E_k = (\gamma - 1)mc^2$

这个公式的含义是：动能等于 $\gamma$ 与 $1$ 之差，再乘以 $mc^2$。当 $v \to c$ 时，$\gamma \to \infty$，动能趋于无穷大——这说明要把有质量的粒子加速到光速，需要无穷多的能量，光速是有质量粒子速度的上限。

低速极限的验证

当 $v \ll c$ 时，将 $\gamma$ 展开为泰勒级数：

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \cdots$

代入相对论动能：

$E_k = (\gamma - 1)mc^2 \approx \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \cdot mc^2 = \frac{1}{2}mv^2$

低速时完全退化为经典动能公式，经典力学再次成为相对论的近似。

例题二

一个电子（静止质量 $m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$）被加速到 $v = 0.8c$。分别用经典公式和相对论公式计算其动能，对比两者差异。

$v = 0.8c$ 时 $\gamma = 1.667$。

相对论动能：

$E_k = (\gamma - 1)mc^2 = (1.667 - 1) \times 9.11\times10^{-31}\ \text{kg} \times (3\times10^8\ \text{m/s})^2$

$E_k = 0.667 \times 9.11\times10^{-31} \times 9\times10^{16}\ \text{J} \approx 5.47\times10^{-14}\ \text{J}$

经典动能：

$E_{k,\text{经典}} = \frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{1}{2} \times 9.11\times10^{-31} \times (0.8 \times 3\times10^8)^2$

$= \frac{1}{2} \times 9.11\times10^{-31} \times 5.76\times10^{16} \approx 2.62\times10^{-14}\ \text{J}$

粒子加速器在设计电子束能量时，必须使用相对论动能公式，否则实际能量会远高于预期。

静止能量与质能方程

相对论动能 $E_k = (\gamma - 1)mc^2$ 可以改写为：

$E_k = \gamma mc^2 - mc^2$

定义粒子的总能量为：

$E = \gamma mc^2$

则动能 $E_k = E - mc^2$，其中 $mc^2$ 是一个固定的量，称为粒子的静止能量（rest energy）。当粒子静止时（$v=0$，），总能量等于静止能量：

$E_0 = mc^2$

这就是著名的质能方程。它揭示了质量与能量之间的等价关系：质量本身就是一种能量的储存形式，$1\ \text{kg}$ 的质量对应着 $c^2 = 9\times10^{16}\ \text{J}$ 的静止能量——相当于约 $2000$ 万吨 TNT 的爆炸能量。

例题三

一粒葡萄干的质量约为 $m = 1\ \text{g} = 10^{-3}\ \text{kg}$。计算其静止能量，并与中国某核电站一天的发电量（约 $2\times10^{13}\ \text{J}$）比较。

$E_0 = mc^2 = 10^{-3}\ \text{kg} \times (3\times10^8\ \text{m/s})^2 = 9\times10^{13}\ \text{J}$

$1\ \text{g}$ 物质的静止能量约是一座核电站 $4$ 天发电量之和。当然，没有任何已知技术能将静止能量百分之百转化为可用能量；核能利用的只是极小一部分质量亏损所对应的能量。

核能：质量亏损与结合能

原子核由质子和中子组成。测量表明，原子核的质量总是小于其组成核子质量的简单加和，这个差值称为质量亏损（mass defect），记作 $\Delta m$。

根据质能方程，这部分质量亏损对应着能量：

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2$

这个能量就是将原子核拆散为单独核子所需要的总能量，称为结合能（binding energy）。结合能越大，原子核越稳定。

以铀-235 核裂变为例

一个铀-235 核（$^{235}_{92}\text{U}$）在吸收一个中子后发生裂变，典型反应之一为：

$^{235}_{92}\text{U} + ^1_0\text{n} \to ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3\,^1_0\text{n}$

裂变前后，产物的总质量比反应物的总质量少了约 $\Delta m \approx 3.2\times10^{-28}\ \text{kg}$（约为铀核质量的 $0.09\%$）。

释放的能量：

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2 = 3.2\times10^{-28}\ \text{kg} \times (3\times10^8\ \text{m/s})^2 \approx 2.88\times10^{-11}\ \text{J}$

每次裂变约释放 $\approx 200\ \text{MeV}$（兆电子伏）的能量。

核反应释放的能量是化学反应的数百万倍，根源正是质量亏损——哪怕极小的质量变化，乘以 $c^2$ 后也对应着巨大的能量。

例题四

氘（$^2_1\text{H}$，质量 $m_d = 2.01410\ \text{u}$）和氚（$^3_1\text{H}$，质量 ）发生聚变反应，生成氦-4（，质量 ）和一个中子（）。已知原子质量单位 。计算此反应的质量亏损和释放能量。

反应物总质量：$m_d + m_t = (2.01410 + 3.01605)\ \text{u} = 5.03015\ \text{u}$

产物总质量：$m_{\text{He}} + m_n = (4.00260 + 1.00867)\ \text{u} = 5.01127\ \text{u}$

质量亏损：

$\Delta m = 5.03015\ \text{u} - 5.01127\ \text{u} = 0.01888\ \text{u}$

换算为千克：

$\Delta m = 0.01888 \times 1.66054\times10^{-27}\ \text{kg} \approx 3.135\times10^{-29}\ \text{kg}$

释放能量：

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2 = 3.135\times10^{-29} \times 9\times10^{16}\ \text{J} \approx 2.82\times10^{-12}\ \text{J} \approx 17.6\ \text{MeV}$

能量-动量关系

综合相对论总能量 $E = \gamma mc^2$ 和相对论动量 $p = \gamma mv$，可以推导出一个不含速度 $v$ 的关系式：

$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$

这是相对论中最重要的能量-动量关系式，适用于任何粒子，包括静止质量为零的光子。

对于静止粒子（$v = 0$，$p = 0$）：

$E = mc^2$

退化为质能方程。

对于光子（$m = 0$，以光速 $c$ 传播）：

$E = pc$

光子没有静止质量，其能量完全由动量决定。

下图汇总了不同粒子的能量-动量关系：

例题五

一个电子（静止质量对应能量 $m_e c^2 = 0.511\ \text{MeV}$）以动量 $p$ 运动，已知 $pc = 1.500\ \text{MeV}$。求该电子的总能量和动能。

由能量-动量关系：

$E = \sqrt{(pc)^2 + (m_e c^2)^2} = \sqrt{1.500^2 + 0.511^2}\ \text{MeV}$

$E = \sqrt{2.250 + 0.261}\ \text{MeV} = \sqrt{2.511}\ \text{MeV} \approx 1.585\ \text{MeV}$

动能：

$E_k = E - m_e c^2 = 1.585 - 0.511 = 1.074\ \text{MeV}$

练习题

选择题

题目一（相对论动量的计算）

一个质子（静止质量 $m_p$）以速度 $v = 0.6c$（此时 $\gamma = 1.25$）运动，其相对论动量是经典动量的多少倍？

A. $1$ 倍（两者相等）

B. $1.25$ 倍

C. $0.8$ 倍

D. $1.5$ 倍

题目二（质能方程的理解）

下列关于质能方程 $E = mc^2$ 的说法，正确的是：

A. 该方程说明质量可以凭空“消失”并转化为纯能量

B. 静止质量越大的物体，其静止能量越大，二者成正比

C. 该方程只适用于核反应，在普通物体上不成立

D. 方程中的 $m$ 是运动质量，随速度增大而增大

题目三（核能与质量亏损）

铀-235 核裂变时，反应前后质量亏损约为铀核质量的 $0.09\%$。一座核电站每年消耗铀-235 约 $1000\ \text{kg}$，则每年通过质量亏损释放的能量约为多少量级？（光速 $c = 3\times10^8\ \text{m/s}$，只估算数量级）

A. $10^{11}\ \text{J}$

B. $10^{13}\ \text{J}$

C. $10^{15}\ \text{J}$

D. $10^{17}\ \text{J}$

题目四（能量-动量关系与光子）

光子（静止质量为零）的能量为 $E$，则其动量大小为：

A. $0$

B. $mc$（$m$ 为任意质量）

C. $E/c$

D. $Ec$

计算题

计算题一（相对论动量与动能的综合计算）

一个电子（静止质量 $m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$，$m_e c^2 \approx 0.511\ \text{MeV}$）在加速器中被加速，最终速度为 。已知 。

（1）计算此速度下的洛伦兹因子 $\gamma$；

（2）计算电子的相对论动量 $p$（用 $\text{kg} \cdotp \text{m/s}$ 和 $\text{MeV}/c$ 两种单位表达）；

（3）计算电子的相对论动能 $E_k$（用 $\text{MeV}$ 表达），并与经典动能比较。

计算题二（质量亏损与能量释放）

氦-4 原子核（$^4_2\text{He}$）由 $2$ 个质子和 $2$ 个中子组成。

已知：质子质量 $m_p = 1.007276\ \text{u}$，中子质量 $m_n = 1.008665\ \text{u}$，氦-4 核质量 $m_{\text{He}} = 4.001506\ \text{u}$，（即 对应能量 ）。

（1）计算组成氦-4 核的 $2$ 个质子和 $2$ 个中子的质量之和；

（2）计算氦-4 核的质量亏损 $\Delta m$；

（3）计算氦-4 核的结合能 $\Delta E$（用 $\text{MeV}$ 表达）；

（4）计算每个核子的平均结合能，并说明氦-4 核是否比较稳定（铁核的平均核子结合能约 $8.8\ \text{MeV}$，氦-4 的平均核子结合能约为 $7\ \text{MeV}$，可与铁核对比）。

两者之比：

$\frac{p}{p_{\text{经典}}} = \frac{\gamma m_p v}{m_p v} = \gamma = 1.25$

相对论动量比经典动量大 $\gamma = 1.25$ 倍，故选 B。

数量级约为 $10^{16}$ 至 $10^{17}\ \text{J}$，最接近选项 D。

（注：实际核电站因热效率约 $30\%$，实际发电量约为 $10^{16}\ \text{J}$ 量级，此题考查数量级估算，选 D。）

$E^2 = (pc)^2 \implies p = \frac{E}{c}$

光子的动量为 $p = E/c$，故选 C。光子虽然没有静止质量，但携带动量，这一点在光压、康普顿散射等实验中均有验证。

（2） 相对论动量：

$p = \gamma m_e v = 7.09 \times 9.11\times10^{-31}\ \text{kg} \cdotp 0.99 \cdotp 3\times10^8\ \text{m/s}$

$p \approx 7.09 \times 9.11\times10^{-31} \cdotp 2.97\times10^8\ \text{kg} \cdotp \text{m/s}$

$p \approx 1.92\times10^{-21}\ \text{kg} \cdotp \text{m/s}$

换算为 $\text{MeV}/c$（注：$1\ \text{MeV}/c = 5.34\times10^{-22}\ \text{kg} \cdotp \text{m/s}$）：

$p = \gamma m_e v = \gamma \cdotp \frac{v}{c} \cdotp m_e c = 7.09 \cdotp 0.99 \cdotp 0.511\ \text{MeV}/c \approx 3.59\ \text{MeV}/c$

（3） 相对论动能：

$E_k = (\gamma - 1)m_e c^2 = (7.09 - 1) \cdotp 0.511\ \text{MeV} = 6.09 \cdotp 0.511\ \text{MeV} \approx 3.11\ \text{MeV}$

经典动能：

$E_{k,\text{经典}} = \frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{1}{2} \cdotp 0.99^2 \cdotp m_e c^2 \approx \frac{1}{2} \cdotp 0.980 \cdotp 0.511\ \text{MeV} \approx 0.250\ \text{MeV}$

在 $v = 0.99c$ 时，相对论动能是经典动能的约 $12$ 倍，差距极为显著。粒子加速器如果按经典公式设计，实际能量将远超预期，磁铁偏转半径也会完全错误。

$= 2.014552 + 2.017330 = 4.031882\ \text{u}$

（2） 质量亏损：

$\Delta m = m_{\text{组成}} - m_{\text{He}} = 4.031882 - 4.001506 = 0.030376\ \text{u}$

（3） 结合能（利用 $1\ \text{u} \leftrightarrow 931.5\ \text{MeV}$）：

$\Delta E = \Delta m \times 931.5\ \text{MeV/u} = 0.030376 \times 931.5\ \text{MeV} \approx 28.3\ \text{MeV}$

（4） 每核子平均结合能：

$\bar{E} = \frac{\Delta E}{A} = \frac{28.3\ \text{MeV}}{4} \approx 7.07\ \text{MeV/核子}$

氦-4 的平均核子结合能约 $7\ \text{MeV}$，低于铁核但远高于轻核，属于较稳定的轻核，这正是氦-4 在宇宙中大量存在的原因之一。