速度叠加与多普勒效应

时间膨胀和长度收缩揭示了运动如何改变时间和空间的测量结果。自然而然的下一个问题是：速度本身在不同参考系之间如何换算？经典力学给出的答案是直接相加，但高速情况下这个答案会出错。与此同时，运动还会改变波的频率——光也不例外，这就是多普勒效应，它甚至成为人类认识宇宙膨胀的关键工具。

经典速度叠加遇到的麻烦

在日常生活中，速度的叠加规则简单直观。一列火车以 $v = 30\ \text{m/s}$ 向前行驶，车厢里的乘客以 $u' = 5\ \text{m/s}$ 向车头走去，地面上的人看这位乘客的速度就是：

$u = u' + v = 5 + 30 = 35\ \text{m/s}$

这就是伽利略速度叠加法则，完全符合直觉，数百年来从未出过问题。

麻烦出现在高速场合。设有两艘飞船，各自相对地球以 $0.8c$ 的速度向相反方向飞去。按照经典叠加，两艘飞船之间的相对速度应该是 $0.8c + 0.8c = 1.6c$，超过了光速。而根据相对论，任何有质量的物体都不可能以超过光速的速度运动。经典叠加公式在这里给出了矛盾的结果。

相对论速度叠加公式

洛伦兹变换不仅给出了坐标和时间的换算规则，对速度的换算同样有严格的推论。

设参考系 $S'$ 相对参考系 $S$ 沿 $x$ 轴正方向以速度 $v$ 运动。在 $S'$ 系中，某物体沿 $x$ 轴方向的速度为 ，则在 系中该物体的速度为：

$u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'v}{c^2}}$

反过来，如果在 $S$ 系中测得速度为 $u$，换算到 $S'$ 系：

$u' = \frac{u - v}{1 - \dfrac{uv}{c^2}}$

两式分子与经典叠加完全相同，唯一的区别是分母多了一项 $\dfrac{u'v}{c^2}$（或 $\dfrac{uv}{c^2}$）。当 和 都远小于 时，分母趋近于 ，公式自动退化为经典叠加。

例题一

两艘飞船从地球出发，分别向相反方向飞行，各自相对地球的速度均为 $0.8c$。从飞船 A 上看，飞船 B 的速度是多少？

取 $S$ 系为地球，飞船 A 的速度为 $v = 0.8c$（作为 $S'$ 系的运动速度）。飞船 B 在 $S$ 系中的速度为 $u = -0.8c$（负号表示反向）。代入公式：

$u' = \frac{u - v}{1 - \dfrac{uv}{c^2}} = \frac{-0.8c - 0.8c}{1 - \dfrac{(-0.8c)(0.8c)}{c^2}} = \frac{-1.6c}{1 + 0.64} = \frac{-1.6c}{1.64} \approx -0.976c$

从飞船 A 上看，飞船 B 的速度约为 $0.976c$，而不是经典预言的 $1.6c$，始终低于光速。

例题二

飞船以 $v = 0.6c$ 相对地球飞行，船上向前发射一枚探测器，探测器相对飞船的速度为 $u' = 0.5c$。地球上的人看到探测器的速度是多少？

$u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'v}{c^2}} = \frac{0.5c + 0.6c}{1 + \dfrac{(0.5c)(0.6c)}{c^2}} = \frac{1.1c}{1 + 0.30} = \frac{1.1c}{1.30} \approx 0.846c$

经典叠加会给出 $0.5c + 0.6c = 1.1c$，相对论叠加给出约 $0.846c$，两者相差明显——这是因为速度已经相当可观，分母的修正项不可忽略。

光速的不可超越性

相对论速度叠加公式有一个优美的性质：将光速代入，结果依然是光速。

设 $S'$ 系中有一束光，速度 $u' = c$，$S'$ 系以速度 $v$ 相对 系运动。在 系中光的速度：

$u = \frac{c + v}{1 + \dfrac{cv}{c^2}} = \frac{c + v}{1 + \dfrac{v}{c}} = \frac{c(1 + v/c)}{1 + v/c} = c$

无论参考系 $S'$ 以多快的速度运动，光速在 $S$ 系中始终是 $c$，这正是爱因斯坦第二假设（光速不变原理）在速度叠加层面的完美体现。

进一步可以证明：只要 $u' < c$ 且 $v < c$，叠加后的速度 $u$ 必然也小于 $c$。这意味着有质量的物体无论怎样加速、怎样叠加速度，都不可能达到光速。

例题三

粒子 A 相对地球以 $0.9c$ 运动，粒子 A 向前发射粒子 B，粒子 B 相对粒子 A 的速度为 $0.9c$。地球上的人看粒子 B 的速度是多少？

$u = \frac{0.9c + 0.9c}{1 + \dfrac{(0.9c)(0.9c)}{c^2}} = \frac{1.8c}{1 + 0.81} = \frac{1.8c}{1.81} \approx 0.9945c$

即便两级叠加，结果依然是约 $0.9945c$，距光速还有差距，永远无法突破。

相对论多普勒效应

生活中的多普勒效应随处可见：救护车鸣笛靠近时，听到的音调比实际更高；远离时，音调偏低。这是声波频率随相对运动变化的结果。光同样存在多普勒效应，但与声音有本质区别——声音依赖介质（空气），光在真空中传播，没有介质，因此光的多普勒效应完全由相对论决定，与谁在运动（光源还是观测者）无关，只取决于两者之间的相对速度。

设光源与观测者之间的相对速度为 $v$，光源的固有频率为 $f_0$，令 $\beta = v/c$：

当光源与观测者相互靠近时，观测到的频率升高（蓝移）：

$f = f_0\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$

当光源与观测者相互远离时，观测到的频率降低（红移）：

$f = f_0\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$

由于 $c = f\lambda$，频率降低意味着波长变长，颜色向红端偏移，这就是「红移」名称的由来。

例题四

一颗恒星以 $v = 0.1c$ 相对地球运动，方向正对着地球（靠近）。恒星发出某谱线的固有频率 $f_0 = 6.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$。地球上测到的频率是多少？

$\beta = 0.1$，靠近时：

$f = f_0\sqrt{\frac{1 + 0.1}{1 - 0.1}} = 6.0 \times 10^{14} \times \sqrt{\frac{1.1}{0.9}} = 6.0 \times 10^{14} \times \sqrt{1.222}$

$\sqrt{1.222} \approx 1.106$

$f \approx 6.0 \times 10^{14} \times 1.106 \approx 6.64 \times 10^{14}\ \text{Hz}$

频率升高约 $10.6\%$，光谱线向高频（蓝端）移动，这是可以用光谱仪直接测量的。

宇宙红移与哈勃定律

1929年，美国天文学家埃德温·哈勃（Edwin Hubble）系统地测量了大量遥远星系的光谱，发现一个规律性的现象：几乎所有遥远星系的光谱都向红端偏移，而且距离越远的星系，红移量越大。

这意味着遥远星系正在远离地球，且退行速度 $v$ 与距离 $d$ 成正比：

$v = H_0 \cdot d$

其中 $H_0$ 称为哈勃常数，现代测量值约为 $H_0 \approx 70\ \text{km/s/Mpc}$（每百万秒差距的退行速度约为 $70\ \text{km/s}$，$1\text{ Mpc}\approx$）。

这个规律的物理含义不是星系都在「逃离地球」，而是宇宙空间本身在整体膨胀。宇宙膨胀使两个星系之间的距离随时间增大，光在传播过程中随宇宙空间拉伸，波长被拉长，频率降低，产生宇宙学红移。

例题五

一个星系距地球 $d = 200\ \text{Mpc}$，用哈勃定律（$H_0 = 70\ \text{km/s/Mpc}$）估算其退行速度，并用多普勒公式估算其某条固有波长 $\lambda_0 = 656\ \text{nm}$ 的氢谱线实际观测波长。

退行速度：

$v = H_0 \cdot d = 70\ \text{km/s/Mpc} \times 200\ \text{Mpc} = 14\ 000\ \text{km/s} = 1.4 \times 10^4\ \text{km/s}$

$\beta = \frac{v}{c} = \frac{1.4 \times 10^4}{3 \times 10^5} \approx 0.0467$

红移（远离），观测波长 $\lambda > \lambda_0$。由于 $\beta$ 较小，近似用 $\lambda \approx \lambda_0(1 + \beta)$：

$\lambda \approx 656 \times (1 + 0.0467) \approx 656 \times 1.0467 \approx 687\ \text{nm}$

氢的这条谱线从红色区域（$656\ \text{nm}$）红移到更深红处（约 $687\ \text{nm}$），波长增加约 $31\ \text{nm}$，这种变化完全在光谱仪的测量精度范围内。

练习题

选择题

题目一（相对论速度叠加的基本计算）

飞船 A 以 $0.6c$ 相对地球向右运动，飞船 A 上向右发射一枚探测器，探测器相对飞船 A 的速度为 $0.6c$。地球上观测到探测器的速度是多少（$\beta_1 = 0.6$，$\beta_1^2 = 0.36$）？

A. $1.2c$

B. $0.882c$

C. $0.6c$

D. $0.8c$

题目二（光速不变性的验证）

在某参考系 $S'$ 中，有一束光以速度 $c$ 沿 $x$ 轴正方向传播。$S'$ 系相对地面参考系 $S$ 以 $v=$ 的速度沿 轴正方向运动。在地面参考系 中，这束光的速度是多少？

A. $1.9c$

B. $0.1c$

C. $c$

D. $\dfrac{c + 0.9c}{1.9}$

题目三（多普勒效应方向判断）

地球上的天文台观测到某遥远星系发出的氢谱线，发现其谱线位置相比地球上氢气的对应谱线向长波方向（红端）移动。以下对该星系运动状态的判断正确的是：

A. 该星系正在以某速度靠近地球

B. 该星系相对地球静止

C. 该星系正在以某速度远离地球

D. 无法从谱线偏移判断星系的运动状态

题目四（哈勃定律的应用）

已知哈勃常数 $H_0 = 70\ \text{km/s/Mpc}$，某星系距地球 $d = 500\ \text{Mpc}$。按哈勃定律，该星系相对地球的退行速度约为多少？

A. $70\ \text{km/s}$

B. $500\ \text{km/s}$

C. $35\ 000\ \text{km/s}$

D. $350\ 000\ \text{km/s}$

计算题

计算题一（速度叠加的综合运用）

在地球参考系中，飞船 A 向右以 $v_A = 0.75c$ 飞行，飞船 B 向左以 $v_B = 0.75c$ 飞行（即相对地球的速度为 $-0.75c$）。

（1）按经典速度叠加，从飞船 A 看飞船 B 的速度是多少？

（2）按相对论速度叠加公式，从飞船 A 看飞船 B 的速度是多少？（取 $S'$ 系为飞船 A 所在参考系）

（3）说明两个结果的差异及其物理意义。

计算题二（多普勒效应的定量计算）

氢原子在实验室中发出一条谱线，波长 $\lambda_0 = 486\ \text{nm}$（蓝绿色）。天文观测中，某星系的这条谱线测得波长为 $\lambda = 510\ \text{nm}$。

（1）这是红移还是蓝移？该星系是在靠近还是远离地球？

（2）用近似公式 $\Delta\lambda / \lambda_0 \approx v/c$ 估算该星系的退行速度（$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0$）；

（3）若哈勃常数 $H_0 = 70\ \text{km/s/Mpc}$，估算该星系距地球的距离（单位：$\text{Mpc}$）。

经典叠加会给出 $1.2c$，超越光速，是错误的。相对论给出约 $0.882c$，故选 B。

无论 $S'$ 系以何种速度运动，光在任意惯性参考系中的速度均为 $c$，这正是光速不变原理的体现，故选 C。

选项 D 的 $350\ 000\ \text{km/s}$ 超过了光速（$c \approx 300\ 000\ \text{km/s}$），在哈勃定律的简单线性形式下对应距离约 $5000\ \text{Mpc}$，已经超越可观测宇宙的边界，属于需要更精确宇宙学处理的范围。

即飞船 B 以 $1.5c$ 的速度向左飞离，超越了光速。

（2） 相对论速度叠加：

取地面为 $S$ 系，飞船 A 为 $S'$ 系（$S'$ 相对 $S$ 以 $v = +0.75c$ 运动）。飞船 B 在 $S$ 系中的速度 $u = -0.75c$。

$u' = \frac{u - v}{1 - \dfrac{uv}{c^2}} = \frac{-0.75c - 0.75c}{1 - \dfrac{(-0.75c)(0.75c)}{c^2}} = \frac{-1.5c}{1 + 0.5625} = \frac{-1.5c}{1.5625} \approx -0.960c$

从飞船 A 看，飞船 B 以约 $0.960c$ 的速度向左飞离，始终低于光速。

（3） 差异分析：

速度越接近光速，分母的修正项 $\dfrac{uv}{c^2}$ 越大，对叠加结果的「压制」越显著，使得两个亚光速物体的相对速度始终保持在光速以下。这正是光速作为宇宙速度上限的数学保证。

波长变长，向红端偏移，为红移，说明该星系正在远离地球。

（2） 估算退行速度：

$\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} \approx \frac{v}{c}$

$v \approx c \cdot \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = 3 \times 10^5\ \text{km/s} \times \frac{24}{486} = 3 \times 10^5 \times 0.04938 \approx 14\ 815\ \text{km/s}$

约为 $1.48 \times 10^4\ \text{km/s}$，即约 $0.049c$。

（3） 估算距离：

由哈勃定律 $v = H_0 d$：

$d = \frac{v}{H_0} = \frac{14\ 815\ \text{km/s}}{70\ \text{km/s/Mpc}} \approx 212\ \text{Mpc}$

该星系距地球约 $212\ \text{Mpc}$，折算成光年约为 $212 \times 3.26 \times 10^6 \approx 6.9 \times 10^8$ 光年，即近 $7$ 亿光年之遥。这么远的距离，用光谱红移来测量，是目前天文学中最可靠的方法之一。